2024-2025学年河南省许昌市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省许昌市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z(1−i)=1+i，则复数z的虚部为(

)A.i B.1 C.−1 D.−i2.已知平面向量a，b，其中|a|=2，|b|=3，a，b的夹角是A.4 B.2 C.27 3.某市某月10天的空气质量指数为35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，这组数据的第80百分位数是(

)A.85 B.86 C.98.5 D.1114.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，b=2，sinB=217，则cosA=A.2114 B.5714 5.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是(

)A.若m//α，n⊂α，则m//n

B.若m⊥α，m⊥n，则n//α

C.若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，则α//β

D.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面6.已知复数z满足|z+2i|=1，则z⋅z−的最小值为A.1 B.2 C.3 D.47.甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为12，丙每次投篮投中的概率为35，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为(

)A.310 B.720 C.258.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是棱A1D1，C1D1的中点，过点B作与直线MN平行的平面α(A.(4,62] B.(4,32+2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A=“取出的鞋不成双”，事件B=“取出的鞋都是左脚的”，事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是(

)A.D⊆A B.A=C∪D C.B与D互斥 D.C与D对立10.为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则(

)A.a的值为0.030

B.抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间

C.2000名考生中约有10名成绩优秀

D.估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间11.已知圆锥SO的底面半径为6cm，其母线SA长24cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有(

)A.截面SAB最大面积为3615cm2

B.若∠AOB=π4，则直线SB与平面SOA所成角的正弦值为24

C.当三棱锥O−SAB的体积最大时，其外接球的表面积为612πcm2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知e1，e2为平面内不相等的两个单位向量，|a|=43313.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______．14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若(a2−b2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinC+3acosC=3b．

(1)求A；

(2)若△ABC16.(本小题15分)

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AD=4，AB=23，点E为DD117.(本小题15分)

某市为推广新能源汽车，对潜在用户进行年龄抽样调查，共收集100份有效数据.所有数据均已从小到大排列，前70个数据已经处理完成，剩下数据为：46，46，47，47，48，48，48，50，50，50，50，50，51，51，52，53，53，54，54，54，55，55，56，57，58，59，60，62，63，63．年龄区间(岁)频数[15,25)12[25,35)28[35,45)30[45,55)[55,65]

(1)补充完整表格和频率分布直方图，并估计该市新能源汽车潜在用户的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)现用分层抽样从年龄在35～65岁新能源汽车的潜在用户中抽取6名幸运客户，再从这6名幸运客户中选取2人赠送购车补贴，求获得购车补贴的2名幸运客户中恰好有一人年龄在[45,55)的概率．18.(本小题17分)

如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD=2，AB=BD=5，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点，点F在BD上．

(1)证明：AC⊥BD；

(2)求直线BD与平面ACD所成角的正弦值；

(3)当△AFC19.(本小题17分)

已知任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(−1,0)，B(2,0)，将点B绕点O(O为坐标原点)沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中0<θ<π2，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q．

(1)若θ=π4，求向量AC的坐标；

(2)求△AOP面积的最大值；

(3)若AQ答案解析1.【答案】B

【解析】解：复数z满足z(1−i)=1+i，

则z=1+i1−i=(1+i)2(1+i)(1−i)=2i2=i，虚部为12.【答案】B

【解析】解：由已知，|a|=2，|b|=3，a，b的夹角是π6，

则|a−2b|=3.【答案】C

【解析】解：把已知数据从小到大排序为：35、53、54、58、72、80、85、86、111、125，

因为10×80%=8，所以第80百分位数是排列后数据中的第8个数和第9个数的平均数，即为86+1112=98.5．

故选：C．

根据百分位数的计算方法求得正确答案．4.【答案】B

【解析】解：因为a=1，b=2，sinB=217，

所以由正弦定理得1sinA=2217,sinA=2114=327，

由于a<b5.【答案】D

【解析】解：若m/​/α，n⊂α，则m/​/n或m与n异面，所以A选项错误；

若m⊥α，m⊥n，则n/​/α或n⊂α，所以B选项错误；

若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，

但没说明m与n为相交直线，则α/​/β不一定成立，所以C选项错误；

若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，所以D选项正确．

故选：D．

根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．6.【答案】A

【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，

|z+2i|=|z−(−2i)|=1，表示(a,b)与(0,−2)的距离为1，

所以z的轨迹是以(0,−2)为圆心，半径为1的圆，如下图所示，

z⋅z−=a2+b2，表示(a,b)到原点的距离的平方，其最小值为12=17.【答案】C

【解析】解：由题意，第4次是丙投篮的情况有：

①甲投2次，乙投1次，则第4次是丙投篮，

概率为(12×12)×12=18，

②甲投1次，乙投2次，则第4次是丙投篮，

概率为12×(12×12)=18，

③甲投1次，乙投1次，丙连投2次，

概率为18.【答案】D

【解析】解：情况一、当截面为三角形时，如图，

易知此时周长l∈(4,62],

情况二、当截面与AA1，CC1，DD1相交于E，F，G，

此时平面α为平面BEGF，即MN/​/平面BEGF，

又M，N分别是棱A1D1，C1D1的中点，所以MN/​/A1C1，

AC/​/A1C1，即MN//AC，

又AC⊄平面BEGF，所以AC/​/平面BEGF，

又平面AA1C1C∩平面BEGF=EF，所以AC/​/EF，

所以四边形ACFE为矩形，则AE=CF，即BE=BF，

又易得四边形BEGF为平行四边形，所以四边形BEGF为菱形，

当G接近D时，此时周长接近8，当G与D1重合时，此时周长达到最大45，

所以此时l∈(8,45]；

情况三、当E，F往上，截面为五边形BEHIF，过点B作JK//AC，设AE=a，a∈(1,2)，

又AC/​/平面BEHIF，B∈JK，所以JK⊂平面BEHIF，

又JK//AC，所以AJ=CK=2，

易得△EJA～△EHA1，

所以AEA1E=AJA1H=EJEH，

即a2−a=2A1H=EJEH⇒A1H=4−2aa=9.【答案】ABC

【解析】解：柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，

记事件A=“取出的鞋不成双”，事件B=“取出的鞋都是左脚的”，

事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，

对于A，事件A是“取出的鞋不成双”，

事件D是“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，

D发生时A一定发生，∴D⊆A，故A正确；

对于B，事件C是“取出的鞋都是一只脚的”，包含“都是左脚”和“都是右脚”，

∴事件D是“一只左脚一只右脚但不成双”，

A(不成双)就是“都是一只脚(C)”或“一只左脚一只右脚但不成双(D)”，

∴A=C∪D，故B正确；

对于C，事件B(都是左脚)与事件D(一只左脚一只右脚但不成双)不可能同时发生，

∴B与D互斥，故C正确；

对于D，事件C(都是一只脚)与事件D(一只左脚一只右脚但不成双)，

除了C和D的情况，

还有“取出的鞋是一双”的情况，∴C与D不对立，故D错误．

故选：ABC．

根据事件的关系对选项进行分析，从而确定正确答案．

本题考查互斥事件、对立事件、事件的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】ABD

【解析】解：依题意，(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

解得a=0.030，故A选项正确；

根据频率分布直方图，90−50=40，100−40=60，

所以极差介于40分至60分之间，故B选项正确；

因为90分以上频率为0.1，

所以2000名考生中约有2000×0.1=200人成绩优秀，故C选项错误；

成绩介于70分至90分之间的频率为0.3+0.25=0.55，

所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，故D选项正确．

故选：ABD．

根据频率之和为1求出a的值，再由极差、优秀率、频率等知识对选项进行分析判断即可．

本题考查频率分布直方图的应用，属于中档题．11.【答案】ACD

【解析】解：选项A.易知圆锥的高为SO=SA2−OA2=615cm，

因为S△SAB=12SA⋅SB⋅sin∠ASB，所以∠ASB为锐角，

又易知轴截面等腰三角形的顶角为锐角，

所以当AB为底面直径时，截面SAB面积最大，

且Smax=12×2×6×615=3615cm2，所以A选项正确；

选项B.过点B作BD⊥OA，交OA于点D连接SD，BD，

因为SO⊥底面OAB，所以SO⊥BD，

又BD⊥OA，SO∩OA=O，所以BD⊥平面SOA，

所以∠BSD为直线SB与平面SOA所成角，

由题意知△DOB为等腰直角三角形，

所以BD=OB⋅sinπ4=32cm，又SB=SA=24，

所以sin∠BSD=BDSB=3224=28，所以B选项错误；

选项C.因为三棱锥O−SAB的体积V=13S△SAB⋅SO，

所以当∠AOB=π2时，S△OAB最大为18，体积也最大，

此时其外接球半径为R=OA2+OB2+OS22=36+36+5402=317cm，

所以外接球表面积为4πR2=612πcm2，所以C选项正确

选项D.因为侧面展开图圆心角为12.【答案】12【解析】解：已知e1，e2为平面内不相等的两个单位向量，|a|=433，且a⋅e1=2，

则a⋅e1=|a|⋅1⋅cos〈a,e1〉=433cos〈a,e1〉=2,cos〈a,e1〉=313.【答案】112【解析】解：由题意斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，

可得O′C′=22+22=22，所以原图中OC=42，

也即圆台的高为42，

14.【答案】(【解析】解：根据题意可知，(a2−b2)sinA=2S，则(a2−b2)sinA=2×12bcsinA，

∵sinA≠0(A是三角形内角，0<A<π)，等式两边约去sinA得a2−b2=bc，

由余弦定理得b2+c2−2bccosA−b2=bc，c2−2bccosA−bc=0，

两边除以c得c−2bcosA−b=0，即c=b(2cosA+1)，

由正弦定理得sinC=(2cosA+1)sinB，

∵A+B+C=π，∴C=π−(A+B)，sinC=sin(π−(A+B))=sin(A+B)，

则sin(A+B)=(2cosA+1)sinB，展开sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB+sinB，即sin(A−B)=sinB，

∵△ABC是锐角三角形，∴A−B=B(A−B=π−B会导致A=π，舍去)，

则A=2B，15.【答案】π3；

2．【解析】(1)由asinC+3acosC=3b，

结合正弦定理得sinAsinC+3sinAcosC=3sinB，

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinAsinC+3sinAcosC=3(sinAcosC+cosAsinC)，

整理得sinAsinC=3cosAsinC，

因为0<C<π，sinC>0，所以sinA=3cosA，

所以tanA=sinAcosA=3，结合A∈(0,π)，可得A=π3．

(2)由题意得S△ABC=1216.【答案】证明见解析；

217【解析】解：(1)连接BD，交AC于点O，连接OE，

由题可知O为AC的中点，

又因为E为DD1的中点，

所以OE/​/BD1．

又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，

所以BD1//平面ACE．

(2)在矩形ABCD中，过D作DH⊥AC于点H，连接EH，

由题可知ED⊥平面ABCD，所以ED⊥AC，

又因为DH⊥AC，且DH∩ED=D，DH，ED⊂平面EHD，

所以AC⊥平面EHD，由于EH⊂平面EHD，

所以AC⊥EH．

所以∠EHD即为二面角E−AC−D的平面角．

在矩形ABCD中，因为AD=2，AB=23，所以DC=23，

AC=AD2+DC2=4，

由AC⋅DH=AD⋅DC得DH=3，

在Rt△EDH中，又由ED=1217.【答案】表格及作图见解析，38.8；

815．【解析】(1)由题可知，数据落在[45,55)的共有20个数据，落在[55,65]的共有10个数据．年龄区间(岁)频数[15,25)12[25,35)28[35,45)30[45,55)20[55,65]10所以[45,55)的频率为：20100=0.2，频率组距=0.210=0.02．

[55,65]的频率为：10100=0.1，频率组距=0.110=0.01．

所以潜在用户的平均年龄约为：

x−=20×12+30×28+40×30+50×20+60×10100=38.8(岁)．

(2)利用分层抽样从[35,45)中抽取：6×3030+20+10=3(人)，分别记为a，b，c；

从[45,55)中抽取：6×2030+20+10=2(人)，分别记为d，e；

从[55,65]中抽取：6×1030+20+10=1(人)，记为f．

则从6名幸运客户中选取2人赠送购车补贴，样本空间为：

Ω={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}，共15个样本点．

记“恰有一个年龄在[45,55)”为事件B18.【答案】证明见解析；

255；

【解析】(1)证明：因为AD=CD，E是AC的中点，所以AC⊥DE．

因为CD=AD，∠BDC=∠BDA，BD=BD，根据全等三角形边角边的判定，

所以△ADB≌△CDB，

所以AB=CB，所以AC⊥BE，

因为DE∩BE=E，DE，BE⊂平面BED，

所以AC⊥平面BED，

因为BD⊂平面BED，所以AC⊥BD．

(2)因为AD⊥CD，AD=CD=2，

所以△ACD是等腰直角三角形，所以AC=2，DE=1．

依题意AB=BC=5，所以BE=2，

则DE2+BE2=BD2，所以DE⊥BE，

又因为AC⊥BE，AC∩DE=E，AC，DE⊂平面A