2024-2025学年河南省许昌市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省许昌市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z(1−i)=1+i，则复数z的虚部为(

)A.i B.1 C.−1 D.−i2.已知平面向量a，b，其中|a|=2，|b|=3，a，b的夹角是A.4 B.2 C.27 3.某市某月10天的空气质量指数为35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，这组数据的第80百分位数是(

)A.85 B.86 C.98.5 D.1114.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，b=2，sinB=217，则cosA=A.2114 B.5714 5.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是(

)A.若m//α，n⊂α，则m//n

B.若m⊥α，m⊥n，则n//α

C.若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，则α//β

D.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面6.已知复数z满足|z+2i|=1，则z⋅z−的最小值为A.1 B.2 C.3 D.47.甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为12，丙每次投篮投中的概率为35，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为(

)A.310 B.720 C.258.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是棱A1D1，C1D1的中点，过点B作与直线MN平行的平面α(A.(4,62] B.(4,32+2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A=“取出的鞋不成双”，事件B=“取出的鞋都是左脚的”，事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是(

)A.D⊆A B.A=C∪D C.B与D互斥 D.C与D对立10.为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则(

)A.a的值为0.030

B.抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间

C.2000名考生中约有10名成绩优秀

D.估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间11.已知圆锥SO的底面半径为6cm，其母线SA长24cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有(

)A.截面SAB最大面积为3615cm2

B.若∠AOB=π4，则直线SB与平面SOA所成角的正弦值为24

C.当三棱锥O−SAB的体积最大时，其外接球的表面积为612πcm2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知e1，e2为平面内不相等的两个单位向量，|a|=43313.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______．14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若(a2−b2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinC+3acosC=3b．

(1)求A；

(2)若△ABC16.(本小题15分)

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AD=4，AB=23，点E为DD117.(本小题15分)

某市为推广新能源汽车，对潜在用户进行年龄抽样调查，共收集100份有效数据.所有数据均已从小到大排列，前70个数据已经处理完成，剩下数据为：46，46，47，47，48，48，48，50，50，50，50，50，51，51，52，53，53，54，54，54，55，55，56，57，58，59，60，62，63，63．年龄区间(岁)频数[15,25)12[25,35)28[35,45)30[45,55)[55,65]

(1)补充完整表格和频率分布直方图，并估计该市新能源汽车潜在用户的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)现用分层抽样从年龄在35～65岁新能源汽车的潜在用户中抽取6名幸运客户，再从这6名幸运客户中选取2人赠送购车补贴，求获得购车补贴的2名幸运客户中恰好有一人年龄在[45,55)的概率．18.(本小题17分)

如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD=2，AB=BD=5，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点，点F在BD上．

(1)证明：AC⊥BD；

(2)求直线BD与平面ACD所成角的正弦值；

(3)当△AFC的面积最小时，求三棱锥19.(本小题17分)

已知任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(−1,0)，B(2,0)，将点B绕点O(O为坐标原点)沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中0<θ<π2，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q．

(1)若θ=π4，求向量AC的坐标；

(2)求△AOP面积的最大值；

(3)若参考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.D

6.A

7.C

8.D

9.ABC

10.ABD

11.ACD

12.1213.11214.(15.(1)由asinC+3acosC=3b，

结合正弦定理得sinAsinC+3sinAcosC=3sinB，

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinAsinC+3sinAcosC=3(sinAcosC+cosAsinC)，

整理得sinAsinC=3cosAsinC，

因为0<C<π，sinC>0，所以sinA=3cosA，

所以tanA=sinAcosA16.解：(1)连接BD，交AC于点O，连接OE，

由题可知O为AC的中点，

又因为E为DD1的中点，

所以OE//BD1．

又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，

所以BD1//平面ACE．

(2)在矩形ABCD中，过D作DH⊥AC于点H，连接EH，

由题可知ED⊥平面ABCD，所以ED⊥AC，

又因为DH⊥AC，且DH∩ED=D，DH，ED⊂平面EHD，

所以AC⊥平面EHD，由于EH⊂平面EHD，

所以AC⊥EH．

所以∠EHD即为二面角E−AC−D的平面角．

在矩形ABCD中，因为AD=2，AB=23，所以DC=23，

AC=AD2+DC2=4，

由AC17.(1)由题可知，数据落在[45,55)的共有20个数据，落在[55,65]的共有10个数据．年龄区间(岁)频数[15,25)12[25,35)28[35,45)30[45,55)20[55,65]10所以[45,55)的频率为：20100=0.2，频率组距=0.210=0.02．

[55,65]的频率为：10100=0.1，频率组距=0.110=0.01．

所以潜在用户的平均年龄约为：

x−=20×12+30×28+40×30+50×20+60×10100=38.8(岁)．

(2)利用分层抽样从[35,45)中抽取：6×3030+20+10=3(人)，分别记为a，b，c；

从[45,55)中抽取：6×2030+20+10=2(人)，分别记为d，e；

从[55,65]中抽取：6×1030+20+10=1(人)，记为f．

则从6名幸运客户中选取2人赠送购车补贴，样本空间为：

Ω={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}，共1518.(1)证明：因为AD=CD，E是AC的中点，所以AC⊥DE．

因为CD=AD，∠BDC=∠BDA，BD=BD，根据全等三角形边角边的判定，

所以△ADB≌△CDB，

所以AB=CB，所以AC⊥BE，

因为DE∩BE=E，DE，BE⊂平面BED，

所以AC⊥平面BED，

因为BD⊂平面BED，所以AC⊥BD．

(2)因为AD⊥CD，AD=CD=2，

所以△ACD是等腰直角三角形，所以AC=2，DE=1．

依题意AB=BC=5，所以BE=2，

则DE2+BE2=BD2，所以DE⊥BE，

又因为AC⊥BE，AC∩DE=E，AC，DE⊂平面ACD，所以BE⊥平面ACD．

所以∠BDE即为直线BD与平面ACD所成的角．

在Rt△BED中，sin∠BDE=BEBD=255，

所以直线BD与平面ACD所成角的正弦值为255．

(3)因为AC⊥DE，BE⊥DE，且AC∩BE=E，AC，BE⊂平面ABC，

所以DE⊥平面ABC．

由(1)已证△ADB≌△CDB，所以∠FBA=∠FBC，

因为BF=BF，∠FBA=∠FBC，AB=CB，根据全等三角形边角边的判定，

所以△FBA≌△FBC，

所以AF=CF，E是AC的中点，所以EF⊥AC，

因为S△AFC=12AC⋅EF，所以当EF最短时，△AFC的面积最小．

当EF⊥BD时，EF最短，过E作EF⊥BD，垂足为F，

在Rt△BED中，12BE⋅DE=12BD⋅EF，解得EF=219.(1)已知θ=π4，点B(2,0)绕原点O逆时针旋转θ得到点C，根据向量旋转公式，

可得OC=(2cosπ4−0×sinπ4,2sinπ4+0×cosπ4)=(2,2)，

又因