2024-2025学年河南省信阳市高一下学期期末质量监测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省信阳市高一下学期期末质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z与52+i互为共轭复数，则复数z的虚部为(

)A.1 B.i C.−1 D.−2.下列命题中正确的是(

)A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a//α

B.若直线a//平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行

C.若直线a//直线b，直线b//平面α，则直线a//平面α

D.若直线a//3.设平面向量a=(4,2),b=(m,−1)，若a与b不能作为平面向量的一组基底，则aA.2 B.−10 C.−6 D.04.如图，在▵ABC中，点D是BC的中点，AE=3ED，则BE=(

)

A.−23AB+C.58AB+5.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是(

)A.若m⊥α，n⊥m，则n/\!/α B.若m/\!/α，n/\!/β，α/\!/β，则m/\!/n

C.若α⊥β，n/\!/α，则n⊥β D.6.数据x1,x2,x3⋯,x10的平均数为A.0.8 B.6 C.6.4 7.将一个直角边长分别为3，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为(

)A.9π2 B.9π C.25π D.8.已知非零向量a，b的夹角为锐角，c为b在a方向上的投影向量，且c=2a=2，设b+c−a与b的夹角为A.32 B.235 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=−2+mi(m∈R)A.若z1在复平面对应的点位于第二象限，则m>2

B.若z1为纯虚数，则m=2

C.|z|的最小值为2

D.存在m∈10.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，A.点A到平面A1BC的距离为22

B.平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1P

C.三棱锥11.在锐角▵ABC中，设a，b，c分别表示角A，B，C对边，a=1，bcosA−cosA.B=2A

B.b的取值范围是2,2

C.当b=32时▵ABC的外接圆半径为277

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正六边形ABCDEF的边长为2，则AC⋅BF=

13.已知函数f(x)=loga(x−1)+3的图象经过定点A，且幂函数g(x)的图象过点A，则g(2)=

14.在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=2，AD=4，∠BAD=π3，∠BCD=2π3，若二面角P−AB−D为π四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(1,x),(1)若a→//b(2)若a与c的夹角是钝角，求x的取值范围．16.(本小题15分已知函数f(x)=Asin(1)求f(x)的解析式及单调递增区间；(2)将函数y=f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后得到函数y=g(x)图象，若不等式g(x)−m≤4对任意x∈[0,17.(本小题15分)人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组[50,60)，第2组[60,70)，第3组[70,80)，第4组[80,90)，第5组[90,100]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求a；(2)求样本数据的中位数与第35百分位数；(3)已知直方图中成绩在[80,90)内的平均数为85，方差为10，[90,100]内的平均数为95，方差为15，求成绩在[80,100]内的平均数与方差．18.(本小题17分在▵ABC中，角A,B,C，所对的边分别为a，b，c，a(1)求cos∠ABC(2)已知AD=2DC，BD=1019.(本小题17分)如图，四棱锥M−ABCD中，平面MAD⊥平面ABCD，▵MAD是边长为6的等边三角形，AD//BC，BC=2AD，点N在棱MD上，且(1)求证：MB//平面NAC；(2)已知AC⊥①若二面角M−AC−D的正切值为2，求三棱锥M−ACD的体积；②若∠ADC=θ，设直线NC与平面ABCD所成的角为β，若π4≤θ≤π3答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】由复数的除法运算化简，结合共轭复数的概念即可求得答案．【详解】由题意可得52+因为z与52+所以z=2+i，即z的虚部为1故选：A．2.【答案】D

【解析】【分析】对于A，由线面位置关系的定义判断，对于B，由线面平行的性质判断，对于C，由线面平行的判定定理判断，对于D，由线面平行的定义判断【详解】对于A，当直线a与平面α相交于点P时，除了点P外，直线上的无数个点都不在平面α内，所以A错误，对于B，当直线a//平面α时，直线a与平面α内直线平行或异面，所以B对于C，当直线a//直线b，直线b//平面α，则直线a//平面α，或直线a在平面α对于D，当直线a//平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以D故选：D3.【答案】B

【解析】解：因为a与b不能作为平面向量的一组基底，所以a//b，又a=(4,2)所以4×(−1)=2m，故m=−2，所以b=(−2,−1)所以a→故选：B．4.【答案】D

【解析】【分析】根据平面向量基本定理得到答案．【详解】点D是BC的中点，AE=3BE=故选：D．5.【答案】D

【解析】【分析】根据直线、平面间的位置关系判断．【详解】若m⊥α，n⊥m，则n/\!/α或若m/\!/α，n/\!/β，则m与n平行，相交或异面，选项B错误；若α⊥β，n/\!/α，则n⊥β，或n/\!/β，或若m⊥α，n/\!/β，α/\!/β，选项D正确．首先得m⊥β，n/\!/β，由线面平行的性质定理知β内有直线c//n，而故选：D．6.【答案】B

【解析】【分析】根据平均数的计算公式求出新数据的平均数，再根据方差的计算公式求出新数据的方差，最后根据标准差与方差的关系求出新数据的标准差．【详解】数据x1,x2即x1+则数据x1,x2,x方差S标准差为6故选B．7.【答案】A

【解析】【分析】由题可得内切球半径即为圆锥轴截面内切圆半径，据此可得答案．【详解】由题知所得圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，该圆锥内切球半径即为圆锥轴截面半径．设圆锥内切球的半径为r，则圆锥轴截面面积为12(5+5+6)r=1所以，球的体积V=4故选：A．8.【答案】C

【解析】【分析】由题意可得c=2a，a=1，从而可得b+c【详解】解：因为c=2a，c为b在所以c=2则b+c−设b=x由题意可得a=1则a+b=则cosθ=当且仅当5+x2=故选：C．9.【答案】AC

【解析】【分析】对于A，由复数几何意义可判断选项正误；对于B，由纯虚数概念可判断选项正误；对于C，由复数模计算公式可得答案；对于D，由共轭复数概念结合题意可判断选项正误．【详解】对于A，z1=1+iz=1+i−2+mi对于B，若z1为纯虚数，则−2−m=0,m−2≠0,解得m=−对于C，|z|=(−2)2+对于D，若z1与z互为共轭复数，则−2=−2−m,故选：AC．10.【答案】BC

【解析】【分析】根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项．【详解】A选项，四边形ABB1A1是正方形，所以但AM与BC不垂直，所以AM与平面A1BC不垂直，所以A到平面A1BC的距离不是B选项，根据三棱柱的性质可知，平面ABC//平面A1B1C设平面A1PC与平面ABC的交线为l，根据线面平行的性质定理可知A1C选项，由于B1C1//BC,B1C1⊄平面A1BC，BC⊂平面AD选项，设Q是BC的中点，由于A1C=A1B,AC=AB，所以A1Q⊥BC,AQ⊥BC故选：BC11.【答案】ACD

【解析】【分析】由a=1对bcosA−cosB=1进行化简得bcosA−acosB=a，在利用正弦定理可以推出B=2A；再由▵ABC为锐角三角形化简出A的取值范围，且根据正弦定理化简出b=2cosA可判断出b的取值范围；同样根据b=32，加上b=2cosA，求出sinA，再利用正弦定理即可求出【详解】对于A：a=1，且bcosA−cos由正弦定理得：sinB即sin(B−A)=∴B−A=A或B−A+A=π(∴B=2A，故A对于B：由正弦定理asin则b=a∵△ABC为锐角三角形，则0<A∴π6<A<对于C：∵b=2cosA∴cosA=34由正弦定理asinA=2R，求得R=277对于D：sin=sin2A+λcos∵π6<要使得sinB−2λsin2此时，当sin(2A+φ)有最大值时，即2A+φ=1+λ2sin(2A+φ)−λλ=tanφ=tan∴tan2A>∴λ的取值范围为0,33故选：ACD．12.【答案】−6

【解析】【分析】根据正六边形，可得向量夹角及模长，计算即可得解．【详解】如图：根据正六边形的结构特征，可知CE=而CE与AC的夹角为120∘，AC则AC故答案为：−613.【答案】3

【解析】【分析】利用对数型函数图象特征求出点A坐标，进而求出g(2)的值．【详解】函数f(x)=loga(x−1)+3中，当x−1=1，即x=2时，恒有f(x)=3由幂函数g(x)的图象过点，得g(2)=3．故答案为：314.【答案】49π3【解析】【分析】分别取AB，AD的中点R，Q，连接PQ，PR，RQ，可证明PQ⊥平面ABCD，再由RQ⊥AB，从而得到AB⊥平面PQR，可得到AB⊥PR，所以∠PRQ为二面角P−AB−D的平面角，即可求出|PQ|，然后设球心O为PQ上的一点，列方程可以求出三棱锥P−ABD【详解】分别取AB，AD的中点R，Q，连接PQ，PR，RQ，∵PA=PD，∴PQ⊥AD，因为平面平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊂平面PAD，所以PQ⊥因为AB⊂平面ABCD，PQ⊥AB.在▵ABD中，AB=2，∴BD=22+因为点R，Q分别为AB，AD的中点，所以RQ//BD，∵RQ,PQ⊂平面PQR，∴AB⊥平面PQR，又PR⊂∴AB⊥PR，所以∠∴∠PRQ=π4，∴PQ=RQ=1所以，三棱锥P−ABD的外接球的球心O在直线PQ上，由于PQ=3<2，所以设外接球的半径为R，则R−32所以三棱锥P−ABD的外接球的表面积S=4π在四边形ABCD中，由于∠BAD+∠BCD=所以三棱锥P−ABD的外接球即为四棱锥P−ABCD的外接球，故四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为49π故答案为：49π

15.【答案】【详解】(1)若a→/\!/b→，则有1×①当x=0时，a=(1,0),b=(3,0)所以|2②当x=−2时，a=(1所以|2所以|2a−b|(2)若a与c的夹角是钝角，则a⋅c<0，且1×(−3)+5x<01即x的取值范围为−∞,−

【解析】【分析】(1)先根据向量共线的坐标表示求出x的值，进而求出a,b及(2)先分析出若a与c的夹角是钝角，则a⋅c<0，且16.【答案】【详解】(1)由图象可知，A=3，2πω×当x=7π12时，2×7π12因为−π<φ<π所以f(x)=3sin令−π2+2k得π12+kπ所以函数的单调递增区间是π12+kπ,(2)g(x)=3sin当x∈0,π则3sin若不等方式g(x)−m≤4对任意x∈[0,π得m≥−1．

【解析】【分析】(1)根据函数的图象，由最大值确定A，由对称轴和零点的距离确定ω，再由最大值点确定φ，再代入正弦公式的单调递增区间，即可求解；(2)首先求函数g(x)的解析式，根据函数的定义域，利用代入法求函数g(x)的只有，再将不等式恒成立问题，转化为最值问题，列不等式，即可求解．17.【答案】【详解】(1)由(a+0.015+0.020+0.003×2)(2)前三组频率之和为0.05+0.15+0.030=0.5，所以样本数据的中位数为80；前两组频率之和为(0.005+0.015)则样本数据的第35百分位数落在第三组，设第35百分位数为x，则(x−70)×(3)由题意，成绩在[80,90),[90,100]内的人数分别为30，20．设[80,90)内数据的平均数为x，方差为Sx[90,100]内数据的平均数为y，方差为Sy2，总平均数为z，方差为依题意，x=85，y=95，SxS2所以，成绩在[80,100]内的平均数为89，方差为36．

【解析】【分析】(1)由所有矩形面积之和为1可得答案；(2)由(1)中结果可估计中位数与百分位数；(3)由题可得成绩在[80,90),[90,100]内的人数分别为30，20，然后由样本方差估计总体方差计算方法得答案．18.【答案】【详解】(1)解：因为asin由正弦定理，a2所以cos∠ABC=(2)解：由AD=2得BD=所以BD由基本不等式，10=1所以ac≤18，当且仅当c=2a，即a=3，c=6时等号成立．由cos∠