2024-2025学年广西北海市高一下学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西北海市高一下学期期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=4+2i，则|z|=(

)A.22 B.25 C.2.在△ABC中，BC=12，A=120∘，则△ABC的外接圆的面积为(

)A.48π B.64π C.78π D.96π3.“x=π4+2kπ(k∈Z)”是“tanx=1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为(

)A.49π B.64π C.98π D.128π5.已知向量|a|=1，|b|=2，它们的夹角为23A.4 B.12 C.2 D.26.已知m，n，l是不重合的三条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，则下列说法中错误的是(

)A.若m⊥α，n//α，则m⊥n B.若l⊥β，m⊂α，l⊥m，则α//β

C.若α//γ，β//γ，则α//β D.若α⊥β，γ⊥β，α∩γ=l，则l⊥β7.素面高足银杯(如图1)是唐代时期的一件文物.银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体(假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略)，如图2所示.已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为22πr23，则球的半径与圆柱的高之比为(

)

A.38 B.16 C.498.已知α,β均为锐角，sinα=2sinβcosα+β，则A.3 B.2 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z满足z2−i=1+i，则(

)A.|z|=10 B.z=3+i

C.z的虚部为110.已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有(

)A.cos(B+C)=cosA

B.sin(A+C)=sinB

C.若sinA>sinC11.已知函数fx=sinωx+φω>0,φA.若fx的最小正周期为π2，则ω=4

B.若fx的图象关于点π3,0中心对称，则ω=1+3kk∈N

C.若fx在0,2π3上单调递增，则ω的取值范围是0,1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a∈R，复数z1=a+3i，z2=2+i，若z1z213.设a和b是两个不共线的向量，若AB=3a−kb，CB=a+3b，CD=2a−b，且14.在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面PAB，PC=2，PA=PB=1，AB=2，点G是空间内的一个点，且PG=1，则点G到平面ABC的距离的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知sin(−θ)(1)求tanθ的值(2)求tan2θ和tan(16.(本小题15分)已知向量a=(4,−2)，b(1)若a⊥(2a+b(2)若ma+4b=(8,−10)，求向量a17.(本小题15分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+b(1)求角C的大小;(2)若CA⋅(AB−AC18.(本小题17分)

如图，某小区有一块扇形草地OAB，OA=100，∠AOB=π2，为了给小区的小孩有一个游玩的地方，物业要在其中圈出一块矩形场地PQNM作为儿童乐园使用，其中点M，N在弧AB上，点P，Q分别在线段OA，OB上，且AB//MN，设∠MON=θ(0<θ<(1)若θ=π6，求矩形PQNM(2)求矩形PQNM的面积的最大值，并求出此时弧MN的长度．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，PB=PD，PA=3，PC=3，点F为棱(1)求证：AF⊥BD;(2)求二面角B−PA−D的余弦值;(3)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值．

参考答案1.B

2.A

3.A

4.D

5.C

6.B

7.A

8.C

9.CD

10.BC

11.AC

12.3213.12

14.5315.(1)由诱导公式及同角函数的基本关系，有sin有−tanθ=−3.可得(2)由tanθ=3，有tan有tanπ故有tan2θ=−34

16.解：(1)因为a=(4,−2)，b=(1,x)，所以2a+b=2(4,−2)+(1,x)=(9,x−4)，

又a⊥(2a+b)，

所以a⋅(2a+b)=4×9−2(x−4)=0，解得x=22;

(2)因为ma+4b=m(4,−2)+4(1,x)=(4m+4,−2m+4x)=(8,−10)，

所以4m+4=817.解：(1)因为acosB+bcosA=2ccosC，

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，

即sin(A+B)=2sinCcosC，

所以sinC=2sinCcosC，

又C∈(0,π)，所以sinC>0，

所以cos18.解：(1)作

OH⊥MN

，垂足为

H

，交

PQ

于

E

，由于四边形

PQNM

为矩形，即

M

，

N

关于直线

OH

对称，则

∠MON=π6

，

∠MOH=π12

，则

MN=2×100sinπ而

∠AOB=π2

，故

▵OEP

为等腰直角三角形，则

OE=PE=故

EH=OH−OE=100cosπ则

S=MN⋅EH=10000(2sin (2)因为

∠MON=θ0<θ<π2

，则

MN=200sinθ2

，

OH=100故

▵OEP

为等腰直角三角形，则

OE=PE=12故

EH=OH−OE=100cosθ则矩形

PQNM

的面积

S=MN⋅EH=10000=100002sinθ+π4−1

，

因为

0<θ<π2

，所以当

θ+π4=π所以

Smax=100002−1

，此时弧

MN

19.(1)证明：连接AC交BD于点O，再连接PO，如图所示，

在△PBD中，PB=PD，O是BD的中点，所以PO⊥BD，

又四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，所以BD=2，AC=23，BD⊥AC，

又AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，

又AF⊂平面PAC，所以AF⊥BD;

(2)解：因为PA=3，PC=3，AC=23，所以PA⊥PC，∠PCA=30∘，

所以PO=3，又PO⊥BD，所以PB=PD=PO2+OB2=2．

取PA的中点M，连接MB，MD，如图所示．

在△BAP中，BA=2，BP=2，AP=3，点M是PA的中点，所以BM⊥PA，

BM=AB2−(PA2)2=1