2024-2025学年福建省漳州市高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省漳州市高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i是虚数单位，i2⋅z=2+i，则|z|=(

A.3 B.5 C.3 D.2.如图，▵O′A′O′A′=2A.2 B.2C.22 3.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.π6 B.π4 C.π34.已知平面向量a→,b→的夹角是60∘，a=1,3A.2 B.6 C.235.漳州市博物馆是了解漳州深厚文化底蕴的理想之地，博物馆共有三层，每个楼层都展示了不同的文化主题．现甲、乙两人各自选择一个楼层参观，假设每个人选择哪个楼层参观是等可能的，则甲乙在不同楼层参观的概率为(    )．A.23 B.12 C.136.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，A1B1A.203 B.283 C.287.为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩(满分为100分)，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则(    )．

A.频率分布直方图中的m的值为0.15

B.该年级物理成绩的众数的估计值为80分

C.该年级物理成绩的平均数的估计值为75分

D.若物理成绩排名前70％的学生适合选报物理，则适合选报物理的学生此次成绩应不低于62分8.在▵ABC中，AB=7，BC=8，AC=9，AM是BC边上的中线，则向量AM在向量BC上的投影向量为(

)．A.16BC B.15BC C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.(多选)α,β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的是(

)A.若α//β,m⊂α，则m//β B.若m//α,n⊂α，则m//n

C.若m⊥α,m//n，则n⊥α D.10.四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是(    )．A.平均数为3，中位数为4 B.平均数为3，方差为1

C.平均数为4，极差为4 D.平均数为2，第80百分位数为411.已知▵ABC内接于圆O，AB=AC=4，设AO=xAB+yAC(x,y∈A.AO⋅AC=8 B.若cosA=14，则圆O的面积为725π

C.若x+y=1，则圆O三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，数量之比为2:3:4，现采用分层抽样的方法抽取36个产品进行分析，则B型号产品被抽取的数量等于13.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，A=π3，B=5π1214.已知三棱锥P−ABC，满足PA=PB=PC=AB=3，AC=2CB=2，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积等于

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知i为虚数单位，复数z满足z−3i1−i(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．16.(本小题15分在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(1,1)，B(2,−(1)求向量AB与向量OA夹角的余弦值；(2)点C是线段AB的三等分点，求点C的坐标．17.(本小题15分)给定两个数组An=x1,x2,⋯,xn与(1)当n=3时，写出T3(2)记I=(1,2,3)，求XT318.(本小题17分)在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2b−c=2acosC(1)求A；(2)若D为BC中点，且AD=7，求(3)若▵ABC是锐角三角形，求▵ABC19.(本小题17分《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在四面体P−ABC中，PA⊥底面ABC，平面PAC⊥平面(1)求证：四面体P−ABC为鳖臑；(2)若PA=4，AC=BC=2，M是PB的中点．(ⅰ)求MC与平面PAB所成角的正弦值；(ⅱ)已知D，E分别在线段AM，BC上移动，若DE//平面PAC，求线段DE长度的最小值．

答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】根据i2=−1【详解】因为i2⋅z=2+i，所以所以|z|=故选：B2.【答案】A

【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，分析出原图形中OA,OB的位置及数量关系，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】在直观图▵O′A′B所以O在直观图▵O′A′B′中，所以在原图形▵OAB中，OB在x轴上，且OB=在直观图▵O′A′B′中，所以在原图形▵OAB中，OA在y轴上，且OA=2并且在原图形▵OAB中，OA所以S▵故选：A3.【答案】C

【解析】【分析】利用正方体的特点，将异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，角形A1BC1为等边三角形，故A1C1【详解】正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC//A1C1，异面直线AC与BC1的所成角即为A1C故选：C【点睛】熟悉正方体的特点，以及求异面直线夹角通常转化为共面直线夹角来解决，注意几何图形的特点．4.【答案】C

【解析】【分析】先求出a及a·b的值，再求出a+2【详解】因为a=1,因为平面向量a，b的夹角为60°所以a·因为a+2所以a+2故选：C5.【答案】A

【解析】【分析】列举出所有情况，结合古典概型公式求解．【详解】由题知，甲乙可能参观的可能是{11,12,13,21,22,23,31,32,33}，共9种情况，在不同楼层的情况为{12,13,21,23,31,32}，共6种情况，根据古典概型计算公式，甲乙在不同楼层参观的概率是69故选：A6.【答案】B

【解析】【分析】先做出二面角A1−AB−D的平面角∠M1MO，由∠【详解】

如图所示，设上下底面的中心分别为O1,O，取A1B1连接O1因为ABCD−A1B且O1M1⊥A则∠M1MO即为二面角A过M1作M1H所以O1O//M因为O1M1所以HM=OM−OH=2−1=1，所以在等腰直角三角形M1HMV棱台故选：B7.【答案】D

【解析】【分析】A选项由小长方形的面积之和是1可求出m，B选项根据最高的长方形中点值判断，C选项根据平均数公式求解，D选项先判断30％【详解】A选项，由小长方形的面积之和是1，得到10(0.005+0.01+2m+0.025+0.030)=1，解得m=0.015，A选项错误；B选项，由图可知，众数的估计值是75，B选项错误；C选项，由图可知，平均值是45×0.1+55×D选项，物理成绩排名前70％的学生，等效于求解图中30％由图[40,60]的频率是0.25，[40,70]的频率是0.5，故设其为x，则(x−60)×0.025+0.25=0.3，解得x=62，故选：D8.【答案】C

【解析】【分析】先求出AM=【详解】由题意得，AM=AM⋅根据投影向量的计算公式，向量AM在向量BC上的投影向量是AM⋅故选：C9.【答案】AC

【解析】【分析】根据空间中直线与平面的关系，对选项逐一进行判断即可．【详解】A，若α/\!/β,m⊂α，则m//β，B，若m/\!/α,n⊂α，则m，n有可能平行、相交或异面，B不正确．C，若m⊥α,m/\!/n，由线面垂直的判定定理可得，n⊥α，D，若α⊥β,α∩β=n,m⊥n，因为m不一定在平面α内，所以故选：AC．10.【答案】AC

【解析】【分析】对于A，由平均数为3，中位数为4，列出符合条件的点数1,1,1,4,4,4,6，即可判断；对于B，由平均数为x=3，方差为s2=1，n=7，利用方差公式得到i=17xi−32=7×1=7，即可判断；对于C，由平均数为4，极差为4，列出符合条件的点数2,2,4,4,4,6,6，即可判断；对于D，首先计算出第80百分位数是第6个数，若平均数为2，得到i=17x【详解】对于A，假设这7个数据从小到大排列为a1若平均数为3，中位数为4，则17即a1若a7=6，可以取所以A选项可能出现了点数6；对于B，若平均数为x=3，方差为s2=1则由方差公式s2=1若xi=6，则(6−3)2=9所以B选项不可能出现了点数6；对于C，设最大值为xmax，最小值为x若极差为4，则有xmax若平均数为4，则有17i=17若xmax=6，则xmin=2，满足平均数为4，极差为4的条件，所以C选项可能出现了点数6；对于D，因为7×80％=5.6，所以第若平均数为2，则i=17xi=14，若第6个数是4，第那么前5个数的点数和为4，而骰子的点数最小为1，所以D选项不可能出现了点数6．故选：AC11.【答案】ACD

【解析】【分析】根据三角形外心性质可判断A；利用同角三角函数的平方关系求出sinA，利用余弦定理得到a，再利用正弦定理求出外接圆的半径可判断B；利用三点共线得到BC为外接圆的直径可判断C；取AB的中点F，AG上靠近C的一个三等分点G，由已知得O,F,G三点共线，利用外心性质结合余弦定理可判断D【详解】设▵ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则c=b=4对于A，因为▵ABC内接于圆O，所以圆O是▵即O为▵ABC各边垂直平分线的交点，设AC的垂直平分线与AC交于点M

则AO⋅AC=对于B，若cosA=14由余弦定理得a2=b设▵ABC外接圆的半径为R则由正弦定理得2R=asinA所以圆O的面积为π42对于C，因为AO=xAB+yAC(x,y即▵ABC外接圆的圆心在BC上，所以▵则a=b2+c2=4对于D，取AB的中点F，AG上靠近C的一个三等分点G，则AB=2因为AO=xAB+y因为4x+3y=2，则2x+32y=1

因为OF⊥AB，AF=2，所以在Rt▵AFG中，cos∠在▵ABC中，a所以BC=a=22，故故选：ACD12.【答案】12

【解析】【分析】根据分层抽样的计算公式求解即可．【详解】由题意，抽取B型号商品的数量为：36×故答案为：1213.【答案】6【解析】【分析】根据三角形内角和得C=π【详解】因为A=π3，B=5根据正弦定理asinA=故答案为：14.【答案】9π【解析】【分析】设三棱锥外接球的半径为R，先判断出▵ABC为直角三角形，再判断出点P在平面ABC上的射影O1是AC的中点，在Rt▵PO1A中，求出【详解】因为AC=2,CB=1,所以▵ABC又因为PA=PB=PC=3，所以点P在平面O1是▵ABC外接圆的圆心，即设三棱锥P−ABC的外接球的球心为O，半径为R，则有O1O⊥所以在Rt▵PO在Rt▵OO1所以由勾股定理可知OA2=OO1所以三棱锥P−ABC的外接球的表面积S=4π故答案为：915.【答案】解：(1)因为z−3i所以z−3i=所以z=m−2+(m+5)i若z为纯虚数，则m−2=0m+5≠0，解得m=2(2)由(1)知，z=m−2+(m+5)i若z在复平面内对应的点位于第二象限，则m−2<0m+5所以m的取值范围为(−5,2)．

【解析】(1)先利用复数的除法和乘法运算得到z=m−2+(m+5)i(2)根据复数的实部小于零，虚部大于零求解即可．16.【答案】解：(1)因为点O为坐标原点，A(1,1)，B(2,−1)，所以AB=(1则cosAB所以向量AB与向量OA夹角的余弦值为−(2)若点C是线段AB的三等分点，则AC=2CB或AC=当AC=2CB时，则x−1=2(2−x)y−1=2(−1−y)，解得x=53当AC=12则x−1=12(2−x)y−1=1故点C的坐标为53,−1

【解析】(1)结合平面向量的夹角公式，即可求解；(2)设C(x,y)，由已知得AC=2CB或17.【答案】解：(1)T3的所有可能情况为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(2)因为I=(1,2,3)，由(1)知，T3的所有可能情况有6当T3=(1,2,3)时，当T3=(1,3,2)时，当T3=(2,1,3)时，当T3=(2,3,1)时，当T3=(3,1,2)时，当T3=(3,2,1)时，所以满足XT3,I=2的有(1,3,2)，所以XT3

【解析】(1)根据题意直接写出所有可能的排列即可；(2)根据“差异量”的定义，写出满足XT3,I18.【答案】解：(1)因为2b−c=2acosC，由正弦定理得即2sin所以2sin所以2cosAsinC−sin所以2cosA−1=0，得cosA=12(2)因为D为BC中点，所以AD=则AD2所以7=14c2+4+2c⋅2由余弦定理得a2=b所以▵ABC的周长为a+b+c=2(3)在▵ABC中，由正弦定理得c所以c=b所以S根据题意得0<B<所以tanB∈33所以S▵所以▵ABC的取值范围是

【解析】(1)利用正弦定理将边化角，再化简即可得到角A；(2)由题意可得AD=12AB+(3)由正弦定理用B表示出c，再代入三角形的面积公式S▵ABC=19.【答案】解：(1)如图，在平面PAC内过点A作AH⊥PC于点因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AH⊂所以AH⊥平面PBC因为BC⊂平面