2024-2025学年福建省莆田市高一下学期期末质量调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省莆田市高一下学期期末质量调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1−3i，则|z|=A.2 B.3 C.2 2.现有男志愿者120人，女志愿者80人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为15的样本，则女志愿者应抽取的人数是(

)A.6 B.7 C.8 D.93.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

C.若m//α，m4.若向量a,b满足a⊥b,a=3,A.32 B.43 C.35.若P(A∪B)=0.9,P(A)=0.7,P(B)=0.5，则P(A∩A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.26.为了测量某建筑物CD的高度，选取与该建筑物底部C在同一水平面内的两个测量点A,B.现测得∠BAC=30∘,∠ABC=105∘,AB=90米，在点B处测得该建筑物顶部D的仰角为30A.152米 B.156米 C.307.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.从中不放回地依次随机摸出2个球.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号为奇数”，则(

)A.A与B对立 B.A与B互斥但不对立

C.A与B相互独立 D.A与B既不互斥也不独立8.已知三棱锥P−ABC的底面ABC与侧面PAB均是边长为2的正三角形，且平面PAB⊥平面ABC，则该三棱锥外接球的表面积是(

)A.53π B.103π C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若向量a=(2,0),b=−1,A.a+b=4 B.a⋅b=−2

C.b在a上的投影向量为−10.若复数z1满足z1+2−i1−i=1+i，复数zA.z1的实部是−2

B.z1在复平面上对应的点位于第四象限

C.z2的共轭复数是1−i

D.复数z满足z−11.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在棱CC1上，且CE=λCA.当λ=12时，平面AD1E截该正方体所得的截面面积为18

B.当λ=12时，点D到平面AD1E的距离为23

C.当λ=14，且BF//平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在四边形ABCD中，AD//BC,AB⊥BC,BC=2AD=2AB=2，以AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为13.已知一组数据x1,x2,⋯,x10的平均数和方差均为1.若y14.已知点G是▵ABC的重心，过点G的直线分别交边AB,AC于点E,F，设AB=mAE，AC=nAF，则m+n=

；若AB=6,BC=8,B=π3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)寒假期间某学校团委组织学生开展志愿服务活动，假期过后对学生的志愿服务时长(单位：小时)作一次随机抽样调查，画出频率分布直方图如图所示.根据志愿服务时长从长到短，时长在前34％

(1)求a的值，并估计该校学生志愿服务时长的平均数(同一组数中的数据用该组区间的中点值作为代表)；(2)试估计至少需要参加多少小时的志愿服务活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号．16.(本小题15分)如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C(1)证明：A1C//(2)求异面直线AB1与A17.(本小题15分记▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m=a,(1)求角A；(2)若a=23，点E为▵ABC的内心，求18.(本小题17分)如图，正方形ABCD所在的平面与直角梯形CDEF所在的平面互相垂直，已知CD//EF，CD⊥CF,EF=2CD=2CF=4，点P

(1)求证：平面PDF⊥平面ADE(2)当直线DP与平面CDEF所成的角的正切值为2时，求二面角P−CF−D的大小．19.(本小题17分黑棋和白棋从数轴的原点出发.每次移动由甲和乙各抛掷一枚质地均匀的硬币决定：若甲掷出正面，则黑棋向右移动一个单位；若甲掷出反面，则黑棋不移动.若乙掷出正面，则白棋向右移动一个单位；若乙掷出反面，则白棋不移动．(1)若甲抛掷3次，求黑棋离开原点的概率；(2)若甲乙各抛掷2次，求黑棋比白棋向右移动更远的概率；(3)现黑棋落后白棋一个单位，若甲再抛掷10次，乙再抛掷9次，求最终黑棋不落后于白棋的概率．

参考答案1.C

2.A

3.D

4.D

5.B

6.B

7.C

8.C

9.BC

10.ACD

11.ACD

12.7313.5214.316

15.解：(1)由4×解得a=0.07，平均数x=12=21.92；(2)依题意知所求时长为这组数据的第66百分位数，因为4×4×所以第66百分位数y位于[22,26)内，所以0.52+(y−22)×解得y=0.66−0.52所以至少需要参加24个小时的志愿活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号“．

16.解：(1)证明：连接A1B交AB1于∵侧面ABB1A1为平行四边形，又点D为BC的中点，∴DE又DE⊂平面AB1∴A1C(2)由(1)得DE//A1C,∴∠在棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，在▵B1DE∴异面直线AB1与A1

17.解：(1)由题意得asin由正弦定理得sinA因为B∈0,π，所以sin所以tanA=3，又A(2)解法一：由(1)知A=π3，因为点E为所以∠EBC由三角形内角和定理得∠BEC=在▵BCE中，由余弦定理得a2=E所以EB2+E所以EB⋅EC≤4，当且仅当所以▵BCE的面积所以▵BCE的面积的最大值为解法二：设▵ABC的内切圆半径为r所以▵ABC的面积S又S▵ABC=因为点E为▵ABC所以S▵在▵ABC中，由余弦定理得a2=所以(b+c)2−3bc=12，即3bc=(b+c)解得b+c≤43，当且仅当b=c=2所以S▵所以▵BCE的面积的最大值为

18.解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD,AD⊂∴AD⊥平面

又DF⊂平面CDEF取EF中点G，连接DG，由已知得DG=FC=2,DG⊥∴DE=DF=22,又AD⊂平面ADE,DE⊂平面ADE,AD∩DE=D，又DF⊂平面PDF,∴平面PDF⊥(2)连接CE，过点P作PO⊥CE于点O，过O作OH⊥CF于点由(1)得AD⊥平面ABCD，又AD//BC又CE⊂平面CDEF,∴BC∴∠PDO为直线DP与平面CDEF所成的角．∴tan∠解法一：设POBC=EOEC∴tan2∴PO=∵PO⊥平面CDEF,CF⊂∴PO又CF⊥OH,PO⊂平面POH,OH∴CF⊥平面又PH⊂平面POH,∴CF∴tan∠PHO=POOH=1,∴

解法二：设POBC=EO又CE=由余弦定理得cos∠DEC=即8+20−42×2∴PO=∵PO⊥平面CDEF,CF⊂又CF⊥OH,PO⊂平面POH,OH∴CF⊥平面又PH⊂平面POH,∴CF∴tan∠PHO=POOH=1,∴

19.解：(1)解法一：记事件Ai=”甲第i次掷出正面“，Bi=”乙第则以上事件都相互独立，且PA设事件A=”黑棋离开原点“，则P(A)=1−P=1−1解法二：用1表示硬币”正面朝上“，0表示硬币”反面朝上“，则甲抛掷3次硬币的样本空间Ω=且各个样本点出现的可能性相等，nΩ设事件A=”黑棋离开原点“，则A=(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)，所以n(A)=7所以P(A)=n(A)(2)设事件B=”黑棋比白棋向右移动更远“，则由题意知B=”甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数“解法一：事件B包含A1且它们两两互斥，所以P(B)=P=P==解法二：事件B包含”甲掷出1次正面，乙掷出0次正面“和”甲掷出2次正面，乙掷出0次或1次正面“，甲掷出1次正面，乙掷出0次正面的概率为2×甲掷出2次正面，乙掷出0次或1次正面的概率为12所以P(B)=2(3)解法一：设事件C=”最终黑棋不落后于白棋“，甲抛掷10次掷出正面的次数为X，乙抛掷9次掷出正面的次数为Y，则P(C)=P(X=P(9−X=P(10−X≤9−Y)=P(=P(=PC即P(C)=PC又P(C)+PC所以P(C)=1解法二：设事