专题19.1算术平方根与平方根（高效培优讲义）数学沪教版2024八年级上册

专题19.1算术平方根与平方根教学目标知道算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根；了解平方根，会用根号表示数的平方根；会求一个数的平方根；3.了解开平方与平方互为逆运算；4.掌握算术平方根的小数点移动问题，算术平方根、平方根的其他应用。教学重难点1.重点（1）知道算术平方根、平方根的概念与表示，会求一个数的算术平方根或平方根；（2）算术平方根的双重非负性的应用，利用平方根解方程等；（3）利用算术平方根、平方根求参数。2.难点（1）概念辨析：由平方都开平方，引出算术平方根、平方根的概念；抽象思想；（2）算术平方根、平方根的综合应用。知识点1算术平方根1.问题引入：已知一个正方形的边长，可以通过平方运算求出它的面积.反过来，已知正方形的面积，它的边长应该如何计算?2.算术平方根①算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数x叫作a的算术平方根.②a的算术平方根记为“”，读作“根号a”.a叫作被开方数.③因为0的平方是0,所以规定0的算术平方根是0,记为=0.要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0；可简记为算术平方根的“双重非负性”。【即学即练】1．下列说法正确的是（

）【答案】A【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案．【详解】A、表示25的算术平方根，故A正确；C、2的算术平方根为，故C错误；D、是2的算术平方根，故D错误；故选：A．2．求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)；(4)14．【答案】(1)30(2)1(3)(4)【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键．（1）根据算术平方根的定义即可解答；（2）根据算术平方根的定义即可解答；（3）根据算术平方根的定义即可解答；（4）根据算术平方根的定义即可解答；∴900的算术平方根为30；∴1的算术平方根为1；的算术平方根为.3．的算术平方根是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了算术平方根，先根据算术平方根的定义化简，进而求出算术平方根即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键．∴的算术平方根是，故选：．【答案】5【分析】本题考查了学生能否熟练掌握非负数的性质并应用于解题，根据非负数的性质求出，的值，然后代入求值即可．故答案为：5．知识点2算术平方根小数点移动问题1.被开方数与算术平方根的数量关系①我们知道，如果x²=a,那么(10x)²=100a.这说明一个数扩大为原来的10倍，它的平方就扩大为原来的100倍.②反过来，一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍.一个数缩小为原来,它的算术平方根就缩小为原来2.算术平方根小数点移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位.【即学即练】【答案】1.01【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可．故答案为：1.01．【点睛】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．【分析】根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左向右移动1个位数”可知答案．【点睛】本题考查了求算术平方根，掌握规律是解题的关键．知识点3平方根1.问题引入①问（题）：已知一个数的平方等于100,那么这个数是多少?②设（未知数）：设这个数是x,③列（方程）：根据已知条件，得x²=100.转化：因为10²=100,(一10)²=100,所以这个数是10或一10.等价于：这实际上是“已知一个数的平方，求这个数”的问题.2.平方根①平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a叫作被开方数.②开平方：求一个数a的平方根的运算叫作开平方.例如，求64的平方根，就是要对64进行开平方运算，64是被开方数.开平方与平方互为逆运算.3.平方根的特点①正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根；②0的平方根是0;③负数没有平方根.4.平方根的表示正数a的两个平方根可以用符号“±”表示.其中，“+”表示a的正的平方根，即a的算术平方根；“”表示a的负的平方根，读作“负根号a”.0的平方根记为“”,=0.思考：根据一个数的算术平方根可以写出它的负的平方根吗?为什么?可以；因为正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根，那么他的负的平方根就是这个数的算术平方根的相反数。【即学即练】1．下列说法错误的是（

）A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是C．是25的一个平方根 D．25的平方根是5【答案】D【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的性质逐项判断即可．【详解】A．4是16的一个平方根，说法正确，不符合题意；B．81的平方根是，说法正确，不符合题意；C．是25的一个平方根，说法正确，不符合题意；D．25的平方根是，说法错误，符合题意；故选：D．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】本题考查了平方根的定义．根据有理数的乘方和绝对值的性质进行计算并判断出各数的正负情况，再根据正数和0有平方根解答．【详解】解：0有平方根，综上所述，一定有平方根的数共有4个．故选：B．【答案】【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据平方根的定义，即可求解．故答案为：．4．16的平方根是．【答案】【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．根据平方根的定义进行解答即可．【详解】解：16的平方根是，故答案为：．【答案】64故答案为：64．6．求下列各式中的值．【分析】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用．（1）直接求361的平方根即可；知识点4平方根和算术平方根的区别与联系2.联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.3.算术平方根等于它本身的数是0或1；平方根等于它本身的数是0。*4.平方根的性质【即学即练】1．下列说法正确的是（

）A．的平方根是 B．的算术平方根是C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】本题考查了平方根与算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键．【详解】解：A、负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意；B、负数没有算术平方根，故原说法错误，不符合题意；D、0的平方根与算术平方根都是0，故原说法正确，符合题意；故选：D．2．的平方根是（

）A．9 B．9和 C．3 D．3和【答案】D【分析】本题考查了求一个数的算术平方根和平方根，正确理解题意是解题的关键．则9的平方根为，故选：D．题型01求算术平方根【典例1】．求下列各数的算术平方根：(1)121；(2)1.44；(3)；【答案】(1)11；(2)1.2；(3)；(4)．【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．根据算术平方根的定义逐题求解即可．∴121的算术平方根是11；∴1.44的算术平方根是1.2；【变式1】．求下列各数的算术平方根．(1)64；(3)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据算术平方根的定义解答即可．

（2）根据算术平方根的定义解答即可．（3）根据算术平方根的定义解答即可．（4）根据算术平方根的定义解答即可．本题考查了算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键．∴64的算术平方根为8，∴的算术平方根为，∴81的算术平方根为9，【答案】44故答案为4，4【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，掌握求算术平方根的方法是解本题的关键．题型02算术平方根的概念辨析【典例1】．“16的算术平方根”这句话用数学符号表示为（

）【答案】B【分析】本题考查了算术平方根的基本性质，关键在于要通过题意正确选出答案．观察并分析题目从选项中找到16的算术平方根，选出正确选项即可．【详解】解：16的算术平方根为，故选：B．【变式1】．下列说法正确的是（

）【答案】A【分析】本题考查了算数平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案．【详解】A、表示5的算术平方根，故A正确；C、2的算术平方根为，故C错误；D、4是16的算术平方根，故D错误；故选：A．【变式2】．下列说法正确的是（

）A．7是的算术平方根 B．是的算术平方根【答案】A【分析】根据算术平方根的含义逐一分析即可．【详解】解：7是的算术平方根，表述正确，故A符合题意；是的算术平方根，原表述错误，故B不符合题意；故选A．【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，掌握求解一个数的算术平方根是解本题的关键．题型03求平方根【典例1】．下列各数的平方根：(1)；(2)；(5)．【答案】(1)(2)(4)【分析】根据平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，计算即可．【点睛】本题考查平方根的定义和性质，本题的解答关键在熟练记忆平方根的定义．平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【变式1】．（1）9的平方根等于；（2）的平方根是；（3）的平方根是．【答案】【分析】根据平方根的定义即可得出答案．故答案为：；；．【点睛】本题考查了平方根的定义．理解一个正数的平方根有两个，并且解题中不要漏解是本题的关键．题型04利用平方根解方程【典例1】．求下列各式中x的值．【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．【变式1】．求下列各式中的x值：【分析】通过移项，二次项系数化为1，再直接开平方，即可求解．解得：x=;解得：x=或；解得：x=或；【点睛】本题主要考查解二次方程，掌握平方根的意义，是解题的关键．【变式2】．求下列各式中的值．【分析】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用．（1）直接求361的平方根即可；题型05平方根中被开方数的取值范围【典例1】．下列各数中没有平方根的是（

）A．π B． C．0 D．【答案】D【分析】根据负数没有平方根，解答即可．本题考查了平方根的特点，熟练掌握特点是解题的关键．【详解】解：由负数没有平方根，得没有平方根，其余有，故选：D．【变式1】．下列各数中一定没有平方根的是（

）【答案】C【分析】此题考查了平方根，一个正数有两个平方根，且互为相反数，0的平方根是0．据此进行解答即可．故选：C．【变式2】．若数字有两个平方根，则一定是（

）A．正数 B．负数 C．整数 D．分数【答案】A【分析】本题主要考查的是平方根有关的知识，熟记并灵活地掌握负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键；根据负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，本题即可解决【详解】A．选项A正数一定有2个平方根，符合题意，正确；B．选项B负数没有平方根，错误；C．选项C整数既包括正整数也包括负整数，不一定有平方根，错误；D．选项D分数既包括正分数也包括负分数，不一定有平方根，错误；故选：A．题型06平方根的概念辨析【典例1】．求的平方根，下列式子正确的是（

）【答案】B【分析】根据平方根的定义，即可列出代数式．【详解】解：∵的平方根是，故选：B．【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题．【变式1】．下列说法错误的是（

）A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是C．是25的一个平方根 D．25的平方根是5【答案】D【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的性质逐项判断即可．【详解】A．4是16的一个平方根，说法正确，不符合题意；B．81的平方根是，说法正确，不符合题意；C．是25的一个平方根，说法正确，不符合题意；D．25的平方根是，说法错误，符合题意；故选：D．【变式2】．下列说法正确的是（）A．是的平方根 B．0.2是0.4的平方根C．－2是－4的平方根 D．是的平方根【答案】D【分析】根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根．C.－4没有平方根，故该选项不正确，不符合题意；故选D【点睛】本题考查了平方根的定义，理解平方根的定义是解题的关键．【变式3】．下列说法正确的是（

）A．可以平方的数一定也可以开平方 B．平方根有负数，所以负数有平方根C．把4开平方得到的结果为 D．没有平方根【答案】C【分析】根据负数没有平方根，正数的平方根有两个（一正一负）进行逐一判断即可得到答案．【详解】解：负数可以平方，但不可以开平方，故A错误；负数没有平方根，故B错误；故选C．【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键在于能够熟练掌握，负数没有平方根，正数的平方根有两个（一正一负，互为相反数），0的平方根是0．【变式4】．下列说法正确的是()A．只有正数才有平方根B．负数没有平方根C．1的平方根是它本身D．－9的平方根是±3【答案】B【分析】根据平方根的定义即可求解．【详解】A.非负数有平方根，故此选项错误；B.负数没有平方根，正确；C.1的平方根是±1，故此选项错误；D.－9没有平方根，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义．【变式5】．下列叙述中，正确的是（

）C．一个数总有两个平方根 D．是的一个平方根【答案】D【分析】根据平方根和算术平方根的定义进行判断．负数没有平方根，0的平方根只有一个，故选项C错误；的平方根有两个，分别是a和，所以是的一个平方根，故选项D正确.故选D.【点睛】本题主要考查了平方根概念的运用．如果x2＝a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a＝0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．A．①②④ B．②⑤ C．③④⑥ D．②④【答案】D【分析】本题考查了平方根，解题的关键是注意任何正数都有个平方根，的平方根是，负数没有平方根．利用平方根的定义依次进行判断即可．【详解】解：①中，由于有平方根为，故①错误；②中，的平方根是，故是的一个平方根，故②正确；故正确的是②④．故选：D．题型07算术平方根与平方根的运算（数学符号型）【典例1】．下列计算正确的是（

）【答案】B【分析】根据算术平方根的含义逐一分析即可．故选B【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，掌握求解算术平方根的方法是解本题的关键．【变式1】．下列选项中，正确的是（

）【答案】D【分析】本题考查了算术平方根的，平方根的求解，根据算术平方根，平方根的定义进行计算即可．故选：D．【变式2】．的相反数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了相反数、求一个数的算术平方根，先求算术平方根，再根据相反数的定义即可得出答案．故的相反数为，故选：C．【变式3】．下列计算正确的是（

）【答案】C【分析】本题考查了求一个数的平方根，算术平方根，掌握平方根，算术平方根的计算是解题的关键．根据求一个数的平方根，算术平方根的计算方法计算即可求解．故选：C．【变式4】．下列式子错误的是（）【答案】B【分析】本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义与性质．根据平方根、算术平方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可．故选：B．【变式5】．求下列各式的值：【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键．（1）根据算术平方根定义计算；（2）根据平方根定义计算；（3）根据算术平方根定义计算；（4）根据平方根定义计算．（4）解：原式；题型08已知一个数的平方根，求这个数A． B． C． D．【答案】D故选：D．【点睛】本题考查平方根的性质，熟练掌握正数的平方根的特点，是解题的关键．【答案】故答案为：．【答案】169本题考查了平方根，解方程，熟练掌握平方根，解方程是解题的关键．故答案为：169．题型09算术平方根的估算【典例1】．估计的值在（

）．A．6与7之间 B．5与6之间 C．4与5之间 D．3与4之间【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根，利用夹逼法估算即可．故选：B．A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间【答案】A故选：A．题型10算术平方根的非负性【答案】【分析】根据非负数的性质可列出关于x、y的方程，解方程即可求解．故答案为：，．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和一元一次方程的解法，解题关键是根据非负性列出方程，准确解方程．【答案】【分析】根据题意，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出原式的值．故答案为：．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及算术平方根的非负数性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型11利用算术平方根与平方根求参数【答案】【答案】【分析】本题主要考查平方根、算术平方根等知识点，掌握其基本概念和解方程的基本步骤是解题关键．根据平方根和算术平方根的概念列方程求得和y的值，然后代入求得其求平方根即可．【答案】【变式3】．若一个自然数的算术平方根是，则它的下一个自然数的算术平方根是（

）【答案】C【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是，∴这个自然数是，故选：C．题型12算术平方根、平方根的实际应用【典例1】．一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长扩大为原来的倍．【答案】【分析】设该正方形的边长为x，求出扩大后的面积，然后根据算术平方根的概念求出扩大后的边长，进行求解即可．【详解】解：设该正方形的边长为x，则其面积是，其面积的a倍是，∴它的边长扩大为原来的倍．故答案为：．【点睛】此题考查了运用算术平方根解决图形问题的能力，关键是能准确理解问题间的数量关系运用算术平方根知识列式求解．【答案】∴它到达地面需要的时间是．【点睛】本题主要考查了平方根的应用，将实际问题转化成数学问题成为解答本题的关键．【答案】不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面，理由见解析【分析】设桌面的长为4xcm，宽为3xcm，由题可得：4x•3x=768，解得x=8，求出长方形的长和宽分别为32，24，而正方形木板的边长是30，所以做不到．【详解】解：不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面．理由如下：设桌面的长为4xcm，宽为3xcm，由题可得，4x•3x=768，整理得，x2=64，解得，x=±8，∵桌面的长和宽为正数，∴x=8不合题意，舍去，∴x=8，∴4×8=32（cm），3×8=24（cm），∵正方形木板的面积为900cm2，∴正方形木板的边长为30cm，∵32＞30，∴桌面的长为32cm不合题意，∴不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面．【点睛】本题考查了算术平方根的应用，本题的关键是：设出桌面的长为4xcm，宽为3xcm，根据长方形面积为768cm2列出方程．题型13小数点移动问题；规律题【分析】根据被开方数扩大倍，算术平方根扩大，可得答案．【点睛】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大倍，算术平方根扩大．A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536【答案】A【分析】根据平方根小数点的移动规律解答．故选：A．【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位．x1.611.621.631.641.652.59212.62442.65692.68962.7225A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间【答案】B故选：B【点睛】本题考查算术平方根的估值．确定被开方数的范围是解题关键．【分析】根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可．【点睛】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推断出相应的数字规律，是解题的关键．一、单选题1．“的平方根是”，用式子来表示就是()【答案】A【分析】根据平方根的定义，即可列出代数式．【详解】解：∵的平方根是，故选：A．【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题．2．用式子表示“9的平方根等于”正确的是（

）【答案】D【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可.故选：D.3．的算术平方根是（

）【答案】D【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出答案．【详解】解：的算术平方根是，故选：D．4．下列说法正确的是（

）．A．4是的算术平方根 B．0的算术平方根是0【答案】B【分析】根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断选项，即可．【详解】A.4是16的算术平方根，故原选项错误；B.0的算术平方根是0，故原选项正确；D.没有算术平方根，故原选项错误，故选B．【点睛】本题主要考查算术平方根以及平方根的定义和性质，掌握负数没有平方根，零的平方根是零，正数有两个平方根，是解题的关键．A．2个 B．4个 C．5个 D．7个【答案】C【分析】由于负数没有平方根，所以只要所给数中的负数淘汰即可解决问题．【详解】解：∵13＞0，π＞0，0=0，4＜0，（3）2=9＞0，32=9＜0，|3|=3＜0，（3）=3＞0，3.14π＜0，∴有平方根的个数是13，π，0，（3）2，（3），共5个．故选：C．【点睛】本题主要考查的是平