2017-2018学年高中数学新人教版必修2教案第3章3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离

3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(重点)2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3．掌握两点间的距离公式并会简单应用．(重点)[基础·初探]教材整理1两直线的交点坐标阅读教材P102～P103“探究”以上部分，完成下列问题．已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线方程组成的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))有惟一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0，,y＝y0，))则两直线相交，交点坐标为(x0，y0)．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是()A．(4,1) B．(1,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))【解析】由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,2x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(1,3).))即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3))).【答案】C教材整理2两点间的距离阅读教材P104“练习”以下至P105“例3”以上部分，完成下列问题．1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2．两点间距离的特殊情况(1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.已知点A(－1,2)，点B(2,6)，则线段AB的长为__________．【解析】由两点间距离公式得|AB|＝eq\r(2＋12＋6－22)＝5.【答案】5[小组合作型]两直线的交点问题直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程.【精彩点拨】先求出交点，再由点斜式求方程或设出过交点的直线系方程，由待定系数法求方程．【自主解答】法一联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，))即直线l过点(－1,3)．因为直线l的斜率为eq\f(3,2)，所以直线l的方程为y－3＝eq\f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.法二因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，所以eq\f(1＋λ,3)＝eq\f(λ－1,－2)≠eq\f(4－2λ,4)，解得λ＝eq\f(1,5)，所以直线l的方程为eq\f(6,5)x－eq\f(4,5)y＋eq\f(18,5)＝0，即3x－2y＋9＝0.1．解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解．2．过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2)．[再练一题]1．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．【解】法一由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝eq\f(2,－2)＝－1.故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.法二∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.两点间距离公式的应用已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．【精彩点拨】(1)先依据已知条件，画出草图，判断△ABC的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状；(2)结合三角形形状求解．【自主解答】(1)法一∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．(2)△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)|AC|·|AB|＝eq\f(1,2)×2eq\r(13)×2eq\r(13)＝26.1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．[再练一题]2．若等腰三角形ABC的顶点A是(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长．【解】因为|AD|＝eq\r(5－32＋4－02)＝2eq\r(5).在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝eq\r(|AD|2＋|BD|2)＝eq\r(20＋4)＝2eq\r(6).所以等腰△ABC的腰长为2eq\r(6).[探究共研型]坐标法的应用探究1在如图3­3­1所示平面直角坐标系中，你能用代数方法证明等腰梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|吗？图3­3­1【提示】设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝eq\r(b－02＋c－02)＝eq\r(b2＋c2).|BD|＝eq\r(a－b－a2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.探究2已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝eq\f(1,2)|BC|.【提示】以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)，斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋b,2)，\f(0＋c,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(c,2))).由两点间距离公式得|BC|＝eq\r(0－b2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，|AM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(b,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(c,2)))2)＝eq\f(1,2)eq\r(b2＋c2)，故|AM|＝eq\f(1,2)|BC|.在△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．【精彩点拨】eq\x(建立适当的坐标系)eq\o(→,\s\up10(“形”化到“数”),\s\do5())eq\x(坐标表示A、B、C、D各点)→eq\x(代数计算)eq\o(→,\s\up10(“数”化到“形”),\s\do5())eq\x(几何关系)【自主解答】以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．1．坐标法的定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．[再练一题]3．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．【证明】取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于()A．5 B.eq\r(37)C.eq\r(13) D．4【解析】|MN|＝eq\r(2＋12＋1－52)＝5.【答案】A2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6 B.eq\r(2)C．2 D．不能确定【解析】由kAB＝1，得eq\f(b－a,1)＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝eq\r(5－42＋b－a2)＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2).【答案】B3．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．【解析】l1与l2相交，则有eq\f(a,4)≠eq\f(3,6)，∴a≠2.【答案】a≠24．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________.【解析】设A(x,0)，B(0，y)，∵AB的中点为P(2，－1)，∴eq\f(x,2)＝2，eq\f(y,2)＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).【答案】2eq\r(5)5．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l1