《因式分解法》分层作业

数学第第页《一元二次方程》因式分解法A卷（基础）一、选择题1.一元二次方程x2=x的解为（）A.x1=0，x2=-1 B.x1=x2=1C.x1=0，x2=1 D.x1=x2=0【答案】C【解析】∵x2=x，∴x2-x=0，∴x(x-1)=0，∴x1=0，x2=1，故答案为：C．【知识点】因式分解法.【难度】★【题型】选择题2.方程4x2-25=0的根是（）A.x=254 B.x=C.x=52 D.x1=-52，x【答案】D【解析】∵4x2-25=0，∴(2x+5)(2x-5)=0，∴x1=-52，x2=故答案为：D．【知识点】因式分解法.【难度】★【题型】选择题3.若代数式x（x-1）和3（1-x）的值互为相反数，则x的值为（）A.1或3 B.-1或-3C.1或-1 D.3或-3【答案】A【解析】∵代数式x（x-1）和3（1-x）的值互为相反数，∴x（x-1）+3（1-x）=0，即x（x-1）-3（x-1）=0，∴(x-1)(x-3)=0,∴x1=1，x2=3，故答案为：A．【知识点】因式分解法；相反数.【难度】★【题型】选择题4.方程2x2=8x的根为（）A.x=4 B.x=0C.x1=0，x2=-4 D.x1=0，x2=4【答案】D【解析】∵2x2=8x，∴2x2-8x=0，∴2x(x-4)=0,∴x1=0，x2=4，故答案为：D．【知识点】因式分解法.【难度】★【题型】选择题5.解方程3（3x-1）2=2（3x-1）的最适当的方法是（）A.开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法【答案】D【解析】∵3（3x-1）2=2（3x-1），∴3（3x-1）2-2（3x-1）=0，∴此时选择因式分解法中的提公因式法来求解最简便，故答案为：D．【知识点】因式分解法.【难度】★【题型】选择题二、填空题（x+7）=0的根是___________.【答案】x1=2，x2=-7【解析】∵（x+7）=0，∴=0，=0，∴x1=2，x2=-7，故答案为：x1=2，x2=-7．【知识点】因式分解法.【难度】★【题型】填空题7.一元二次方程2x2-4x=-2的解是____________.【答案】x1=x2=1【解析】∵2x2-4x=-2，∴2x2-4x+2=0，∴2（x2-2x+1）=0，∴x2-2x+1=0，∴（x-1）2=0，∴x1=x2=1，故答案为：x1=x2=1．【知识点】因式分解法.【难度】★【题型】填空题8.若用因式分解法解方程（x+3）（x-2）-x+2=0，则因式分解后的方程为___________.【答案】（x-2）（x+2）=0【解析】∵（x+3）（x-2）-x+2=0，∴（x+3）（x-2）-（x-2）=0.∴（x-2）（x+2）=0.故答案为：（x-2）（x+2）=0．【知识点】因式分解法.【难度】★【题型】填空题三、解答题9.用因式分解法解方程：（1）（2x+3）2-4=0.（2）（x-1）2+2x（x-1）=0.【答案】（1）x1=-52，x2=-1（2）x1=1，x2=13【解析】（1）∵（2x+3）2-4=0，∴（2x+3+2）（2x+3-2）=0，即（2x+5）（2x+1）=0，∴2x+5=0或2x+1=0.∴x1=-52，x2=-1（2）∵（x-1）2+2x（x-1）=0，∴（x-1）（3x-1）=0.∴x-1=0或3x-1=0.∴x1=1，x2=13【知识点】因式分解法.【难度】★【题型】解答题10.小敏与小霞两位同学解方程3（x-3）=（x-3）2的过程如下：小敏：两边同除以（x-3），得3=x-3.∴x=6.小霞：移项，得3（x-3）-（x-3）2=0.提取公因式，得（x-3）（3-x-3）=0．∴x-3=0或3-x-3=0.解得x1=3，x2=0．你认为她们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”.并写出你的解答过程.【答案】小敏和小霞的解法都错误.解答过程见解析.【解析】小敏和小霞的解法都错误.正确的解答过程如下：移项，得3（x-3）-（x-3）2=0.因式分解，得（x-3）（3-x+3）=0.∴x-3=0或3-x+3=0.解得x1=3，x2=6.【知识点】因式分解法.【难度】★【题型】解答题B卷（巩固）一、选择题1.（天津）方程x2+4x+3=0的两个根为（）A.x1=1，x2=3 B.x1=-1，x2=3C.x1=1，x2=-3 D.x1=-1，x2=-3【答案】D【解析】∵x2+4x+3=0，∴（x+1）（x+3）=0，∴x+1=0或x+3=0.解得x1=-1，x2=-3.故答案为：D.【知识点】因式分解法.【难度】★★【题型】选择题2.用因式分解法解方程9x2＝（x﹣2）2时，因式分解结果正确的是（）A．4（2x﹣1）（x﹣1）＝0 B．4（2x+1）（x﹣1）＝0 C．4（2x﹣1）（x+1）＝0 D．4（2x+1）（x+1）＝0【答案】C【解析】∵9x2＝（x﹣2）2，∴9x2﹣（x﹣2）2＝0，∴（3x+x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，∴（4x﹣2）（2x+2）＝0，∴4（2x﹣1）（x+1）＝0，故答案为：C.【知识点】因式分解法.【难度】★★【题型】选择题3.解下列一元二次方程时，最适合用因式分解法的是（）A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2﹣7x＝﹣1 C．（x﹣1）2﹣4x＝2 D．（x﹣3）2﹣16＝0【答案】D【解析】A、x2﹣x﹣1＝0适合用公式法解方程，故本选项不符合题意；B、x2﹣7x＝﹣1适合用公式法解方程，故本选项不符合题意；C、由原方程得到x2﹣6x﹣1＝0，适合用配方法解方程，故本选项不符合题意；D、（x﹣3）2﹣16＝0即为（x﹣3）2﹣42＝0，适合用因式分解法解方程，故本选项符合题意，故答案为：D.【知识点】因式分解法.【难度】★★【题型】选择题4.将（2x﹣1）2＝10x﹣5转化为两个一元一次方程，这两个方程是（）A．2x﹣1＝0，2x+1＝﹣5 B．2x+1＝5，2x﹣1＝0 C．2x﹣1＝0，2x﹣1＝5 D．2x+1＝0，2x﹣1＝﹣5【答案】C【解析】∵（2x﹣1）2＝10x﹣5，∴（2x﹣1）2﹣5（2x﹣1）＝0，∴（2x﹣1）（2x﹣1﹣5）＝0，∴2x﹣1＝0或2x﹣1﹣5＝0，即2x﹣1＝0或2x﹣1＝5，故答案为：C.【知识点】因式分解法.【难度】★★【题型】选择题5.已知一个等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，则该三角形的周长是（）A．10 B．8 C．8或10 D．6或10【答案】A【解析】∵x2﹣6x+8＝0，∴（x﹣4）（x﹣2）＝0，解得x1＝4，x2＝2，当腰是2时，三边长分别为2，2，4，不能组成三角形；当腰是4时，三边长分别为4，4，2，能组成等腰三角形.∴此等腰三角形的周长是4+4+2＝10．故答案为：A.【知识点】因式分解法；三角形的三边关系；等腰三角形.【难度】★★【题型】选择题二、填空题6.方程（2x+1）2-（x-4）2=0的根为_____________.【答案】x1=1，x2=-5【解析】∵（2x+1）2-（x-4）2=0，∴（2x+1+x-4）（2x+1-x+4）＝0，即（3x-3）（x+5）＝0，解得x1＝1，x2＝-5，故答案为：x1=1，x2=-5.【知识点】因式分解法.【难度】★★【题型】填空题7.类比因式分解法，写出一个以x为未知数，以﹣2和4为根的一元二次方程________________．【答案】x2﹣2x﹣8＝0【解析】根据题意得：（x+2）（x﹣4）＝0，即x2﹣2x﹣8＝0，故答案为：x2﹣2x﹣8＝0.【知识点】因式分解法.【难度】★★【题型】填空题8.一元二次方程-2x2+8x-8=0的根为_________.【答案】x1=x2=2【解析】方程两边同除以-2，得x2-4x+4=0.因式分解，得（x-2）2=0.∴x1=x2=2.故答案为：x1=x2=2.【知识点】因式分解法.【难度】★★【题型】填空题9.已知实数a，b，c，d满足abcd=ad-bc，若m3【答案】4或-1【解析】∵实数a，b，c，d满足abcd=ad-bc，且∴2m2-6m=8，∴2m2-6m-8=0，∴m2-3m-4=0，∴（m-4）（m+1）=0，解得m=4或-1故答案为：4或-1.【知识点】因式分解法；新定义.【难度】★★【题型】填空题10.若三角形的两边长分别为5和8，第三边的长是方程x2-9x+18=0的根，则这个三角形的周长是______.【答案】19【解析】6.∵三角形的两边长分别为5和8，∴第三边的长m的取值范围为3＜m＜13.∴第三边的长为6.∴三角形的周长为5+8+6=19.故答案为：19.【知识点】因式分解法；三角形的三边关系.【难度】★★【题型】填空题11.已知实数a≠b，且a，b满足a2-6a+8=0，b2-6b+8=0.（1）两根为a，b且关于x的一元二次方程为_____________.（2）代数式a2+2【答案】（1）x2-6x+8=0（2）25或【解析】（1）∵a，b满足a2-6a+8=0，b2-6b+8=0，∴两根为a，b且关于x的一元二次方程为x2-6x+8=0.（2）解方程x2-6x+8=0，得x1=2，x2=4.分两种情况讨论：当a=2，b=4时，a2+2ab22+2a2+2ab42+2综上所述，a2+2ab的值为2故答案为：（1）x2-6x+8=0（2）25或4【知识点】因式分解法；二次根式.【难度】★★【题型】填空题12.已知实数a、b是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，a＜b，则点P（a，b）关于x轴对称的点Q的坐标是_______________．【答案】（-，﹣3）【解析】∵2x2﹣5x﹣3＝0，∴（2x+1）（x﹣3）＝0，∴2x+1＝0，x﹣3＝0，∴x1＝，x2＝3，∵实数a、b是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，a＜b，∴a=-，b=3，∴P（，3），又∵点P（a，b）关于x轴对称的点为Q，∴Q（-，﹣3）．故答案为：（-，﹣3）．【知识点】因式分解法；关于x轴对称的点的坐标．【难度】★★【题型】填空题三、解答题13.用因式分解法解下列方程：（1）（x-3）2+3-x=0.（2）（x+1）2+4=4（x+1）.【答案】（1）x1=3，x2=4.（2）x1=x2=1.【解析】（1）原方程可化为（x-3）2-（x-3）=0.因式分解，得（x-3）［（x-3）-1］=0，即（x-3）（x-4）=0.∴x-3=0或x-4=0.∴x1=3，x2=4.（2）原方程可化为（x+1）2-4（x+1）+4=0.因式分解，得［（x+1）-2］2=0，即（x-1）2=0.∴x1=x2=1.【知识点】因式分解法．【难度】★★【题型】解答题14.已知关于x的一元二次方程（a+b）x2-2cx+（a-b）=0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长.（1）如果x=1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.【答案】（1）△ABC是等腰三角形.理由见解析.（2）x1=0，x2=1.【解析】（1）△ABC是等腰三角形.理由如下：∵x=1是方程的一个根，∴（a+b）-2c+（a-b）=0.整理，得a-c=0，即a=c.∴△ABC是等腰三角形.（2）若△ABC是等边三角形，则a=b=c.∴原方程可化为2ax2-2ax=0.∵a≠0，∴x2-x=0.∴x（x-1）=0.解得x1=0，x2=1.【知识点】因式分解法；等腰三角形的判定．【难度】★★【题型】解答题15.【探究题】为解方程x4-5x2+4=0，我们可以将x2视为一个整体，然后设x2=y，则x4=y2.原方程可化为y2-5y+4=0.①解得y1=1，y2=4.当y=1时，x2=1.∴x=±1.当y=4时，x2=4.∴x=±2.∴原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2.根据上述材料，解答下列问题.（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想.（2）如果（a2+b2-1）（a2+b2+3）=5，求a2+b2的值.【答案】（1）换元；转化.（2）2.【解析】（1）换元；转化.（2）设a2+b2=y，则原方程可化为（y-1）（y+3）=5.整理，得y2+2y-8=0.∴（y-2）（y+4）=0.解得y1=-4，y2=2.∵a2+b2不能是负数，∴a2+b2=2.【知识点】因式分解法；换元法．【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）一、选择题1.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，则两个根为（）A．﹣1，0 B．﹣1，1 C．﹣1，﹣1 D．0，1【答案】D【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，二次项系数不能为0，∴m﹣1≠0且m2﹣1＝0，解得：m＝﹣1，∴原方程可化为﹣2x2+2x＝0，∴x2-x＝0，∴x（x-1）=0，解得：x＝0或1，故答案为：D.【知识点】因式分解法；一元二次方程的概念.【难度】★★★【题型】选择题2.定义运算：m☆n＝m2+mn﹣n．例如：3☆2＝32+3×2﹣2＝13．则方程x☆2022＝1的根为（）A．x1＝1，x2＝2023 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2023 C．x1＝1，x2＝﹣2023 D．x1＝﹣1，x2＝2023【答案】C【解析】根据题中的新定义得：x2+2022x﹣2022＝1，∴x2+2022x﹣2023＝0，∴（x﹣1）（x+2023）＝0，∴x﹣1＝0或x+2023＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2023．故答案为：C.【知识点】因式分解法；新定义.【难度】★★★【题型】选择题二、填空题3.如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x=____________．【答案】6【解析】∵O是原点，且是AB的中点，∴OA＝OB，∵B点表示的数是x，∴A点表示的数是﹣x．∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），∴x2-6x＝0，∴x（x-6）=0，解得：x1＝0，x2＝6．∵B异于原点，∴x≠0，∴x＝6．故答案为：6．【知识点】因式分解法；数轴；一元二次方程的运用.【难度】★★★【题型】填空题三、解答题4.阅读下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：①当x≥0时，原方程可化