《实际问题与一元二次方程》分层作业

数学第第页《一元二次方程》实际问题与一元二次方程A卷（基础）一、选择题1.杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售11.5万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（x＞0），则可列方程为（）A．10（1+x）2＝11.5 B．10（1+2x）＝11.5 C．10x2＝11.5 D．11.5（1﹣x）2＝10【答案】A【解析】根据题意得：10（1+x）2＝11.5．故答案为：A．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★【题型】选择题2.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）2＝96 C．150（1﹣x）＝96 D．150（1﹣2x）＝96【答案】B【解析】根据题意得：150（1﹣x）2＝96.故答案为：B．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★【题型】选择题3.在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为70min．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（）A．70（1+x2）＝100 B．70（1+x）2＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．100（1﹣x2）＝70【答案】C【解析】根据题意得：100（1﹣x）2＝70，故答案为：C．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★【题型】选择题4.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（）A．（x﹣3）（10﹣x）＝40 B．（x+3）（10﹣x）＝40 C．（x﹣3）（10+x）＝40 D．（x+3）（10+x）＝40【答案】B【解析】由题意得：（x+3）（10﹣x）＝40，故答案为：B．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★【题型】选择题5.如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32【答案】D【解析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．故答案为：D．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★【题型】选择题二、填空题6.张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是____________．【答案】20%【解析】设每月盈利的平均增长率是x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴每月盈利的平均增长率是20%．故答案为：20%．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★【题型】填空题7.某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为________________________．【答案】（20﹣x）（200+8x）＝8450【解析】当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每星期可卖出（200+8x）件，根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450．故答案为：（20﹣x）（200+8x）＝8450．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★【题型】填空题8.如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为640m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏BC的长为xm，依据题意可列方程为___________．【答案】（80﹣x）x＝640【解析】依题意得：AB＝CD＝（80﹣x）m，∴矩形面积＝BC×AB＝（80﹣x）x＝640（m2），即可列方程为（80﹣x）x＝640．故答案为：（80﹣x）x＝640．【知识点】一元二次方程的应用；矩形的面积【难度】★【题型】填空题三、解答题9.近年我市积极推进“智慧校园”建设，加大对学校教育信息化建设的投入，去年投入2000万元，之后逐步增加投入，按计划明年投入达到2880万元，求投入经费的年平均增长率.【答案】20%【解析】设投入经费的年平均增长率为x.根据题意，得2000（1+x）2=2880.解得x=0.2=20％或x=-2.2（不合实际，舍去）.答：投入经费的年平均增长率为20%.【知识点】一元二次方程的应用【难度】★【题型】解答题10.某服装超市以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件.根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件.该超市希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，则T恤的销售单价应提高多少元？【答案】2元【解析】设T恤的销售单价为x元，则每件的销售利润为（x-30）元，一个月内能售出300-10（x-40）=（700-10x）件.根据题意，得（x-30）（700-10x）=3360.整理，得x2-100x+2436=0.解得x1=42，x2=58.∵要尽可能减少库存，∴x=42.∴42-40=2（元）.答：T恤的销售单价应提高2元.【知识点】一元二次方程的应用【难度】★【题型】解答题B卷（巩固）一、选择题1.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000 B．200（1+x）2＝1000 C．200+200•3•x＝1000 D．200+200•2•x＝1000【答案】A【解析】由题意得，二月的营业额为200（1+x），三月的营业额为200（1+x）2，∵一月、二月、三月的营业额共1000万元，∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，故答案为：A．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★【题型】选择题2.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】B【解析】设这个航空公司共有飞机场x个．根据题意，得x（x﹣1）＝15×2，解得x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．答：这个航空公司共有飞机场6个．故答案为：B．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★【题型】选择题3.如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（16﹣x）（8﹣x）+x2＝105 B．（16﹣x）（8﹣x）＝105 C．（16﹣2x）（8﹣x）+x2＝105 D．（16﹣2x）（8﹣x）＝105【答案】B【解析】∵石子路的宽为xm，∴矩形菜地的总长度为（16﹣x）m，总宽度为（8﹣x）m，根据题意，得：（16﹣x）（8﹣x）＝105．故答案为：B．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★【题型】选择题4.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（）A．（60﹣x）x＝864 B． C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864【答案】B【解析】∵长与宽和为60步，长比宽多x步，∴长为步，宽为步．依题意得：•＝864．故答案为：B．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★【题型】选择题5.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2【答案】D【解析】设秋千绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（x﹣4）2．故答案为：D．【知识点】一元二次方程的应用；勾股定理【难度】★★【题型】选择题6.某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20件，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（）A．（30+x）（100﹣20x）＝2800 B．（30+x）（100﹣4x）＝2800 C．（30﹣x）（100+20x）＝2800 D．（30﹣x）（100+4x）＝2800【答案】D【解析】∵原来每件盈利30元，每星期可以卖出100件，∴每件衬衫售价降低x元后，利润为每件（30-x）元，∵每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20件，∴每件衬衫售价降低x元，每星期可多卖出x5×20=4x（件），现在每星期的销量为（100+4x根据题意得，（30﹣x）（100+4x）＝2800.故答案为：D．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★【题型】选择题7.如图，用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其他材料），若设垂直于墙的一边长为xm，则可列方程为（）A． B． C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20【答案】C【解析】由题意可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m，由题意得x（12﹣2x+1）＝20，故答案为：C．【知识点】一元二次方程的应用；长方形的面积【难度】★★【题型】选择题8.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB+AC＝10，BC＝3（注：1丈＝10尺）．设AB的长为x尺，则根据题意列方程正确的是（）A．（10﹣x）2＝x2+32 B．32＝（10﹣x）2+x2 C．（10﹣x）2+32＝x2 D．x2＝（10+x）2+32【答案】C【解析】∵AB+AC＝10，AB＝x，∴AC＝10﹣x．依题意得：AC2+BC2＝AB2，即（10﹣x）2+32＝x2，故答案为：C．【知识点】一元二次方程的应用；勾股定理【难度】★★【题型】选择题二、填空题9.一辆汽车，新车购买价为25万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值为14.45万元，设这辆车在第二、三年的年折旧率为a，则可列方程为__________________．【答案】25（1﹣20%）（1﹣a）2＝14.45【解析】若设这辆车第二、三年的年折旧率为a，则由题意，得25（1﹣20%）（1﹣a）2＝14.45．故答案为：25（1﹣20%）（1﹣a）2＝14.45．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★【题型】填空题10.读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄．若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程为_______________．【答案】x2＝10（x﹣3）+x【解析】∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的个位数为x，∴他去世时年龄的十位数为（x﹣3）．根据题意得：x2＝10（x﹣3）+x．故答案为：x2＝10（x﹣3）+x.【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★【题型】填空题11.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的25%.若商店计划要赚400元，则每件商品的售价为_________元，需要卖出_________件商品.【答案】25；100【解析】根据题意，得（a-21）（350-10a）=400.整理，得a2-56a+775=0.解得a1=25，a2=故答案为：25；100.【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★【题型】填空题三、解答题3月12日，大丰区飞达路初级中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七在种植前学生们听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天的植树增长率相同，树苗，九年级学生在14日种植了49棵树苗.（1）求平均每天植树的增长率.【答案】（1）40%.（2）【解析】（1）设平均每天植树的增长率为x.根据题意，得25（1+x）2=49.解得x1=0.4=40%，x2=-2.4（不符合题意，舍去）.答：平均每天植树的增长率为40%.（2）根据题意，得25+25×（1+40%）+49=109（棵）.【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★【题型】解答题13.鑫鑫茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克.若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）30元或80元.（2）八折.【解析】（1）设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出(200+x10(200+x整理，得x2-110x+2400=0.解得x1=30，x2=80.答：每千克茶叶应降价30元或80元.（2）∵为尽可能让利于顾客，∴x=80.∴400-答：该店应按原售价的八折出售.【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★【题型】解答题14.如图，学校要搭建一个矩形车棚，一边靠墙，在与墙正对的一面开了两个门.已知每个门的宽度都是2m，三边围栏材料的总长为60m.（1）如果要使车棚的面积为440m2，且尽量使靠墙的边长一些，那么垂直于墙的一边长应为多少米？（2）这个车棚的面积能否达到600m2？请说明理由.【答案】（1）垂直于墙的一边长应为10m.（2）.【解析】（1）设垂直于墙的一边长应为xm，则平行于墙的一边长为（60-2x+2×2）m.由题意，得x（60-2x+2×2）=440.整理，得x2-32x+220=0.解得x1=10，x2=22.∵尽量使靠墙的边长一些，即尽量使垂直于墙的一边小一些，∴x应取10.答：垂直于墙的一边长应为10m.由题意，得（60-2+2×2）=600.整理，得2-32+300=0.方程无实数解.∴这个车棚的面积不能达到600m2.【知识点】一元二次方程的应用；判别式的应用；矩形的面积【难度】★★【题型】解答题15.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=5的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2（1）当x等于多少时，PQ的长度等于5cm？（2）在运动的过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？请说明理由.【答案】（1）当x等于2时，PQ的长度等于5cm.（2）.【解析】（1）根据题意，得BP=（5-x）cm，BQ=2xcm，0＜当PQ=5cm时，在Rt△PBQ中，由勾股定理，得BP2+BQ2=即（5-x）2+（2x）2=52.整理，得x2解得x1=0（舍去），∴当x等于2时，PQ的长度等于5cm.（2）不能.理由：设经过xs时，△PQB的面积等于8cm2.根据题意，得12（5-x）·2x整理，得x2∵Δ=(-5)∴此方程无解，即在运动的过程中，△PQB的面积不能等于8cm2.【知识点】一元二次方程的应用；勾股定理；判别式的应用【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）一、选择题cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是130cm2，则该纸盒的高为（）A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm【答案】C【解析】设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm2.根据题意，得32-2x2×（16-2化简，得x2-24x+63=0.解得x1=3，x2=21．当x=3时，16-2x=10＞0，符合题意；当x=21时，16-2x=-26＜0，不符合题意，舍去.∴若纸盒的底面积是130cm2，则该纸盒的高为3cm.故答案为：C．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★★【题型】选择题2.如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如12，13，14，19，20，21，26，27，28）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为161，则这9个数中最小数为（）​A．18 B．13 C．7 D．3【答案】C【解析】设最小数为x，则另外八个数分别为（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），依题意，得：x（x+16）＝161，解得：x1＝7，x2＝﹣23（不合题意，舍去），答：这9个数中最小数为7.故答案为：C．【知识点】一元二次方程的应用【难度】★★★【题型】选择题二、填空题3.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）.若该无盖长方体盒子的底面积为900cm2，则该长方体盒子的容积是_________.【答案】【解析】则做成的无盖盒子的底面是长为（40-2x）cm的正方形.依题意，得（40-2x）2=900.解得x1=5，x2=35（不合题故答案为：.【知识点】一元二次方程的应用；正方形的面积；长方体的容积【难度】★★★【题型】填空题4.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，那么每件应降价______________元．【答案】10【解析】设每件