《圆锥的侧面展开图和全面积》教学设计

教学设计课题第2课时圆锥的侧面积和全面积科目数学年级课时1课型新授课授课人教学分析课程标准分析圆锥的表面展开图及侧面面积教学内容分析本课时是前面所学知识的继续和发展，这是一节实践探究课，主要目的是亲历圆锥的侧面积和全面积公式的推导过程.本节课是在学生已熟知的圆的周长、面积，弧长、扇形的面积和圆柱体的侧面积的基础上推导出来的又一个与圆有关的计算公式，它不仅是几何中的基本计算，在生产生活领域中也有着很广泛的实用价值.通过学生的实践活动，渗透了立体图形平面化的数学思维方法，进一步培养了学生的空间观念和转化思想；通过对生活中实际问题的解决，体现数学来源于生活，又服务于生活的教育理念.我们常常运用圆锥的侧面积和全面积公式和圆的相关知识来解决生产和生活中的一些实际问题，所以它在教材中具有非常重要的地位和作用.学情分析1.本阶段学生在新课的学习中已掌握弧长和扇形面积公式的基本知识.2.学生的分析、理解能力在学习新课时有明显提高.3.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.资源环境分析多媒体教室教学准备教学目标1.掌握圆锥的特征，弄清圆锥侧面展开图中各元素与圆锥中各元素之间的对应关系；会推导、计算圆锥的侧面积和全面积.2.通过对圆锥侧面积的推导，体会空间图形平面化的数学方法；发展类比和转化的数学思想；进一步培养空间观念.3.通过对实际问题的分析，体会数学的实用价值；在小组活动中培养合作交流能力和探究精神.重点难点重点：1.理解圆锥侧面积和全面积的公式及其有关计算.培养学生空间观念及空间图形与平面图形相互转化的思想.难点：1.利用圆锥的侧面积和全面积的公式解决实际问题.2.圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系.教法学法教法：本节主要采用探究式和讲练结合的方法教学，通过动手剪等探究活动，得出圆锥的面积公式.并利用观察、探究、讨论、概括等多种方法进行本节课的学习.学法：主要采用小组合作学习的方法.通过小组合作探究，得出圆锥面积公式，并利用公式进行计算.教具资源PPT多媒体课件设计思路用手上的长方形白纸折叠出这种圆锥形帽子吗？探究1圆锥的展开图介绍圆锥的底面、侧面、母线、高等概念．沿圆锥的一条母线剪开，引导学生通过观察得出圆锥的侧面展开图是扇形.总结得出：①圆锥的侧面展开图是一个扇形；②圆锥的母线是展开图中扇形的半径；③圆锥底面圆的周长是展开图中扇形的弧长；④圆锥的侧面积是展开图中扇形的面积.探究2面积公式问题：如果设圆锥的底面半径为r，母线为l，那么圆锥的侧面积怎么计算？全面积呢？教学过程教学环节教师活动学生活动资源应用复习回顾，导入新课1.弧长和扇形面积的计算公式是什么？2.什么是圆锥？请描述圆锥的形状.学生回顾思考回答问题.让学生独立思考后，教师做好总结，为本课学习做好准备.探究新知伴随着优美的音乐进入蒙古大草原，看到了雪白的蒙古包，感受到圆锥的存在.老师展示圆锥形小帽，出示问题：你能用手上的长方形白纸折叠出这种圆锥形帽子吗？探究1圆锥的展开图活动一：老师展示圆锥形小帽子，结合实物介绍圆锥的底面、侧面、母线、高等概念.活动二：老师沿圆锥的一条母线剪开，然后用双面胶粘贴在黑板上，老师引导学生通过观察得出圆锥的侧面展开图是扇形.总结：①圆锥的侧面展开图是一个扇形；②圆锥的母线是展开图中扇形的半径；③圆锥底面圆的周长是展开图中扇形的弧长；④圆锥的侧面积是展开图中扇形的面积.探究2面积公式问题：如果设圆锥的底面半径为r，母线为l，那么圆锥的侧面积怎么计算？全面积呢？圆锥的侧面积就是展开图中扇形的面积，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长2πr，半径为圆锥的母线l，根据扇形面积公式得eq\f(1,2)×2πr×l＝πrl.圆锥由一个底面和一个侧面组成，所以圆锥的全面积是S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l＋r)).学生先认真观察圆锥形帽子，再尝试用手中的长方形白纸折叠圆锥形帽子．小组内讨论、交流做法.学生边听、边理解、边记忆.学生分组讨论，合作探究出展开的扇形半径、弧长与圆锥的母线、底面周长的关系.初步尝试、体验，产生悬念，造成认知冲突，从而激发学生的兴趣，使学生产生强烈的求知欲望.通过比较、讨论、合作探索出展开扇形与圆锥间的内在联系，体验探索活动的乐趣和成功的快感，从而树立学习的自信心.例题解析蒙古包可以近似地看成是由圆锥和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？(结果取整数)分析：毛毡的面积是指圆柱的图27－3－53侧面积和圆锥的侧面积之和．先求圆柱的侧面积，因为圆柱的侧面为矩形，所以可利用公式S圆柱侧＝2πrh，已知h＝1.8，关键求r；要求圆锥的侧面积，根据公式S圆锥侧＝πrl，r已求出，转化为求l，圆锥的高为1.4，所以利用勾股定理即可求解如图27－3－56所示是底面半径为1，母线长为3的圆锥形纸帽，假设一只蚂蚁要从底面圆周上一点B(设点B为纸帽底面圆弧的接口处)出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B，问它爬行的最短路线是多少？把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即BB′的长是蚂蚁爬行的最短路程，过点A作AD⊥BB′于点D，BB′的长是2π·1＝2π.设侧面展开图的圆心角是n°，则eq\f(nπ·3,180)＝2π，解得n＝120，∴∠DAB′＝60°.∵AB′＝3，∴由勾股定理得AD＝eq\f(3,2)，CD＝eq\f(3\r(3),2)，∴由垂径定理得BB′＝2B′D＝3eq\r(3)，即蚂蚁爬行的最短路程是3eq\r(3).学生能够熟知解题思路，独立完成解题过程学生小组内交流、纠正.及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目标.分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学好数学的信心.随堂训练1．若圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为__60π_cm2__．2．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为__160°__．3．已知圆锥的底面直径为20cm，母线长为90cm，则圆锥的表面积是__1000π_cm2__．4.在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°(如图27－3)，则r与R之间的关系是(C)A．R＝2rB．R＝eq\r(3)rC．R＝3rD．R＝4r5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，现在以AC为轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的表面积为(B)A．130πB．90πC．25πD．65π如图27－3－59，一个圆锥的高为3eq\r(3)cm，侧面展开图是半圆.求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；(2)∠BAC的度数；(3)圆锥的侧面积(结果保留π).解：(1)设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC＝l.∵2πr＝πl，∴l∶r＝2∶1.(2)∵AO⊥OC，eq\f(l,r)＝2，∴圆锥的高与母线的夹角为30°，则∠BAC＝60°.图27－3－59(3)由图可知l2＝h2＋r2，h＝3eq\r(3)cm，∴(2r)2＝(3eq\r(3))2＋r2，即4r2＝27＋r2，解得r＝3(负值以舍去)，∴l＝2r＝6cm，∴圆锥的侧面积为eq\f(πl2,2)＝18π(cm2)学生自主做题，完成练习.设置达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.课堂小结1、本节课学会了那些知识和方法？学生总结，后一个为前一个补充，教师总结.通过提问式总结，使学生知识系统化，脉络更清晰.布置作业板书设计圆锥的侧面积和全面积一、复习弧长公式和扇形面积公式1、弧长公式2、扇形面积公式或二、圆锥的侧面积和全面积1、圆