《矩形》第1课时分层作业

数学第第页《平行四边形》矩形第1课时A卷（基础）一、选择题1．矩形不一定具有的性质是（

） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等【答案】B【解析】矩形具有的性质为对角线互相平分，对角线相等，对角相等，矩形不一定具有的性质为对角线互相垂直.故选B．【知识点】矩形的性质．【难度】★【题型】选择题2．在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（）A．△AOB是等边三角形 B．C． D．平分【答案】B【解析】由题意，画图如下：，是等腰三角形，不一定是等边三角形，，平分均不一定正确，故选：B．【知识点】矩形的性质．【难度】★【题型】选择题3．在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于（

）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】D【解析】∵在矩形中，对角线、相交于点，∴，∵，∴，故选D．【知识点】矩形的性质．【难度】★【题型】选择题4．Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD=5cm，那么斜边AB为（）A．5cm B．12cm C．6cm D．10cm【答案】D【解析】根据直角三角形斜边上中线性质得出AB=2CD=10cm．【知识点】直角三角形斜边上中线性质.【难度】★【题型】选择题5．矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（）

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴．故选：A．【知识点】矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．【难度】★【题型】选择题6．如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形是矩形．求证：．以下是排乱了的证明过程：①∴、．②∵，③∵四边形是矩形，④∴，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（

）A．③①②⑤④ B．②①③⑤④ C．③⑤②①④ D．②⑤①③④【答案】A【解析】∵四边形是矩形，∴、.∵，∴.∴.所以正确顺序为③①②⑤④.故答案为A.【知识点】全等三角形的证明.【难度】★【题型】选择题二、填空题7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=4，则BD=.

【答案】8【解析】矩形ABCD，故答案为：【知识点】矩形的性质.【难度】★【题型】填空题8．如图，在△ABC中，，D为线段的中点，则°．

【答案】50【解析】∵在△ABC中，，∴，∵D为线段的中点，∴，∴．故答案为：50．【知识点】直角三角形的性质．【难度】★【题型】填空题三、解答题9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，阴影部分是一个矩形，AE=1，求阴影部分的面积．【答案】5cm2【解析】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=3cm，由勾股定理得AB²+BC²=AC²，即4²+3²=AC²，∴AC=（cm），∵AE=1cm，∴矩形ACDE的面积为5×1＝5（cm²）.【知识点】矩形的性质和勾股定理．【难度】★【题型】解答题10．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．【答案】四边形AECF是平行四边形，证明见解析．【解析】四边形AECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴，∴∠DFA=∠BAF，又∵∠DCE=∠BAF，∴∠DCE=∠DFA∴，∴四边形AECF是平行四边形．【知识点】矩形的性质，平行线的判定以及平行四边形的判定．【难度】★【题型】解答题B卷（巩固）一、选择题1．已知矩形的对角线为1，面积为m，则矩形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设矩形的长、宽分别为a，b，∵矩形的对角线为1，面积为m，∴，，∴，∴矩形的周长为，故选：C．【知识点】矩形的性质、勾股定理.【难度】★★【题型】选择题2．如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠矩形，使点B落在边上的点F处，若，则的长为（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质可得，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，故选C．【知识点】矩形与折叠问题，勾股定理．【难度】★★【题型】选择题3．如图，在同一块矩形草地上，修一条小路（小路任何地方的水平宽度都是1），关于四条小路的面积，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设矩形的长为a，宽为b（a>b）．如图1，S1=1×b=b；如图2，将小路分为两段，则S2=1×m+1×n=m+n=b；如图3，虽然小路是弯曲的，但由于任何地方的水平宽度都是1，所以它的面积仍等于底为1，高为a的平行四边形的面积，即：S3=1×a=a；如图4，同理，S4=1×b=b．∵a>b，∴．故选：C【知识点】矩形的性质、平行四边形面积的计算等知识点．【难度】★★【题型】选择题4．如图，在Rt△ABC中，，点是上一点，连接，点是的中点，若，，则的长为（

）A．8 B．4 C．16 D．6【答案】B【解析】∵，∴BD＝AD=8，∵P点是BD的中点，∴CP＝BD＝4，故选：B．【知识点】等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质．【难度】★★【题型】选择题二、填空题5．如图，把一张矩形纸片沿折叠后，点C、D分别落在点C’，D’的位置上，交于点G．已知，那么的度数为．【答案】70°【解析】∵AD∥BC，∴∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质,得∠GEF=∠CEF=55°，∴∠BEG=180°−∠GEF−∠CEF=70°.故答案为70°.【知识点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，平行线的性质.【难度】★★【题型】填空题.6．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，若∠BAF＝58°，则∠DAE等于度．【答案】16【解析】根据翻折不变性设∠DAE＝∠FAE＝x度，又∵∠BAF＝58°，∠BAD＝90°，∴x+x+58°＝90°，解得x＝16∴∠EAD＝16°．故答案为16.【知识点】翻折不变性，矩形的性质．【难度】★★【题型】填空题7．如图所示，在□ABCD中，，，平分，，则．【答案】1.5.【解析】由题意画出图形如下:∵ABCD是矩形,∴AD=BC=5cm,CD=AB=3.5cm,∵AE平分∠BAD,CF∥AE,∴△ABE和△CDF是等腰直角三角形,∴DF=CD=3.5cm,∴AF=AD－AF=1.5cm．故答案为:1.5．【知识点】矩形和等腰直角三角形的性质.【难度】★★【题型】填空题8．如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是．【答案】(﹣2，4)【解析】作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：则∠AMO＝∠BNC＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵A(2，1)，B(0，5)，∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，∵四边形OABC是矩形，∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，∴∠CBN＝∠AOB，∵∠AOM+∠AOB＝90°，∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，在△BCN和△AOM中，，∴△BCN≌△AOM(AAS)，∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，∴ON＝OB﹣BN＝4，∴点C的坐标是(﹣2，4)；故答案为(﹣2，4)．【知识点】矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质．【难度】★★【题型】填空题9．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB=12，OM=，则线段OB的长为．【答案】【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，∴OM是△ADC的中位线，∴AD=2OM=9，∵四边形ABCD是矩形，AB=12，∴∠D=∠ABC=90°，CD=AB=12，∴Rt△ACD中，AC=，∴Rt△ABC中，BO=AC=．故答案为：．【知识点】矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用．【难度】★★【题型】填空题10．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连结CE，则△CDE的周长为cm.【答案】10【解析】∵矩形ABCD的周长为20cm，∴AD+DC=10cm，∵矩形ABCD，∴AO=CO，∵EF是AC的垂线，∴AE=CE，∴CE+DE+CD="AE+DE+CD="AD+DC=10cm，∴△CDE的周长为10cm.【知识点】矩形的性质、线段垂直平分线的性质．【难度】★★【题型】填空题三、解答题11．已知矩形的长为a，宽为b，它的周长为24，面积为32，求：（1）a2b＋ab2的值；（2）a2＋b2的值．【答案】（1）384；（2）80【解析】由题意得，a+b＝＝12，ab＝32，∴（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝32×12＝384；（2）a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝122﹣2×32＝144﹣64＝80．【知识点】因式分解和完全平方公式的运用以及矩形的周长和面积公式．【难度】★★【题型】解答题12．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB＝3cm，长BC＝5cm．求EC的长．【答案】EC＝.【解析】由折叠可知AD＝AF＝5cm，DE＝EF∵∠B＝90°∴AB²+BF²＝AF²，∵AB＝3cm，AF＝5cm∴BF＝4cm，∵BC＝5cm，∴FC＝1cm∵∠C＝90°，∴EC2+FC2＝EF2.设EC＝x，则DE＝EF＝3﹣x.∴（3﹣x）2＝12+x2.∴x＝，即EC＝.【知识点】翻折问题，矩形的性质，勾股定理．【难度】★★【题型】解答题13．如图，矩形的对角线与相交点，，分别为的中点，求的长度．【答案】3【解析】四边形ABCD是矩形，，，，∵点P、Q是AO，AD的中点，是的中位线，．【知识点】矩形的性质，以及三角形中位线定理．【难度】★★【题型】解答题14．已知直角三角形两条直角边的长分别为1cm和cm，求斜边上中线的长．【答案】1cm【解析】∵直角三角形两条直角边的长分别为1cm和cm，∴斜边长为cm，∴斜边上中线的长为1cm,答：斜边上的中线长为1cm.【知识点】直角三角形的性质及勾股定理的运用．【难度】★★【题型】解答题15．如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M．（1）求证：BE＝DE；（2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PM+PN＝AB；理由见解析.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠CBD＝∠EBD，∴∠ADB＝∠EBD，∴BE＝DE；（2）解：PM+PN＝AB；理由如下：延长MP交BC于Q，如图所示：∵AD∥BC，PM⊥AD，∴PQ⊥BC，∵∠CBD＝∠EBD，PN⊥BE，∴PQ＝PN，∴AB＝MQ＝PM+PQ＝PM+PN．故答案为（1）见解析；（2）PM+PN＝AB；理由见解析.【知识点】矩形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质．【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）选择题1．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接DE，下列结论：①∠AED=∠CED；②△AED为等腰三角形；③EH=CE；④图中有3个等腰三角形.结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC，ADBC，∴∠ADE＝∠CED，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAH＝45°，∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，∴AE＝AB，AD＝AH，∵AD＝AB＝AH，∴AD＝AE，AB＝AH＝DH＝DC，∴∠ADE＝∠AED，∴∠AED＝∠CED，故①②正确；∵DH⊥AE，DC⊥CE，∠AED＝∠CED，∴∠EDH＝∠EDC，∴EH＝CE，故③正确；∵△ABE和△ADH是等腰直角三角形，△AED为等腰三角形，∴图中有3个等腰三角形，故④正确；故选：D．【知识点】矩形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质．【难度】★★★【题型】选择题2．如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】四边形是矩形，，，，，，，故①正确；，，，，在的垂直平分线上，在和中，，，，点在的垂直平分线上，垂直且平分，故②正确；平分，，，，又，不可能是等边三角形，，错误；故③错误；，，，，，，故④错误；，，为等腰直角三角形，，，，又，，，，，，，故⑤正确．故选：C．【知识点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质．【难度】★★★【题型】选择题填空题3．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为．【答案】【解析】设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=S矩形ABCD，∴AB•h=AB•AD，∴h=AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB=6，AE=2+2=4，∴BE==2，即PA+PB的最小值为2．故答案为：2．【知识点】轴对称-最短路线问题，线段的性质定理．【难度】★★★【题型】填空题4．已知矩形，点在边上，，连接，将沿着翻折得到，射