【经济数学基础12】期末复习辅导11

【经济数学基础12】期末复习辅导一、课程的考核说明本课程的考核对象是中央广播电视大学财经类高等专科开放教育金融、工商管理、会计学等专业的学生.本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式．考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成,其中形成性考核作业成绩占考核成绩的30%,期末考试成绩占考核成绩的70%。经济数学基础课程参考教材是由李林曙、黎诣远主编的、高等教育出版社出版的“新世纪网络课程建设工程——经济数学基础网络课程”的配套文字教材:经济数学基础网络课程学习指南经济数学基础——微积分经济数学基础——线性代数考核说明中的考核知识点与考核要求不会超出课程教学大纲与参考教材的范围与要求.微积分和线性代数各部分在期末试卷中所占分数的百分比与它们在教学内容中所占的百分比大致相当,微积分约占60%,线性代数约占40%。试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一,即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果,不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题、应用题或证明题等,解答题要求写出文字说明,演算步骤或推证过程.三种题型分数的百分比为：单项选择题15%,填空题15％,解答题70％。期末考试采用闭卷笔试形式,卷面满分为100分,考试时间为90分钟。二、微分学部分复习第1章函数1.理解函数概念。理解函数概念时,要掌握函数的两要素((定义域和对应关系,这要解决下面四个方面的问题:(1）掌握求函数定义域的方法,会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。学生要掌握常见函数的自变量的变化范围,如分式的分母不为0,对数的真数大于0,偶次根式下表达式大于0,等等。（2）理解函数的对应关系
的含义：
表示当自变量取值为
时,因变量
的取值为
。例如,对于函数
,
表示运算：于是,
,

。(3)会判断两函数是否相同。从函数的两个要素可知,两个函数相等,当且仅当他们的定义域相同,对应规则相同,而与自变量或因变量所用的字母无关。(4)了解分段函数概念,掌握求分段函数定义域和函数值的方法。2.掌握函数奇偶性的判别,知道它的几何特点。判断函数是奇函数或是偶函数,可以用定义去判断,即(1)若
,则
为偶函数;(2)若
,则
为奇函数。也可以根据一些已知的函数的奇偶性,再利用"奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数;偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数"的性质来判断。3.了解复合函数概念,会对复合函数进行分解。4.知道初等函数的概念,牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形。基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质及图形在微积分中常要用到,一定要熟练掌握。5.了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。6.会列简单应用问题的函数表达式。第2章极限、导数与微分1.掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有(1)利用极限的四则运算法则;(2)利用两个重要极限;（3)利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量);(4)利用连续函数的定义。2.知道一些与极限有关的概念(1)知道数列极限、函数极限、左右极限的概念,知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等;(2)了解无穷小量的概念,了解无穷小量与无穷大量的关系,知道无穷小量的性质;（3）了解函数在某点连续的概念,知道左连续和右连续的概念,了解“初等函数在定义区间内连续”的结论;会判断函数在某点的连续性,会求函数的间断点。3.理解导数定义。理解导数定义时,要解决下面几个问题：(1)牢记导数定义的极限表达式;(2）会求曲线的切线方程;（3）知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续,连续的函数不一定可导)。4.熟练掌握求导数或微分的方法。具体方法有:(1)利用导数(或微分)的基本公式(2)利用导数(或微分)的四则运算法则(3)利用复合函数微分法(4)利用隐函数求导法则5．知道高阶导数概念,会求函数的二阶导数。第3章导数的应用1.掌握函数单调性的判别方法,掌握极值点的判别方法,会求函数的极值。通常的方法是利用一阶导数的符号判断单调性,也可以利用已知的基本初等函数的单调性判断。2.了解一些基本概念。(1)了解函数极值的概念,知道函数极值存在的必要条件,知道函数的极值点与驻点的区别与联系；(2）了解边际概念和需求价格弹性概念;3．熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等）,会求几何问题中的最值问题。掌握求边际函数的方法,会计算需求弹性。三、微分学部分综合练习一、单项选择题1.下列函数中为偶函数的是().(A)(B)(C)(D)正确答案:A2.下列函数中为奇函数的是（）.(A)(B)(C)(D)正确答案:B3．下列各函数对中,（）中的两个函数相等．A.B.C.D.正确答案:D4.下列结论中正确的是（）.(A)周期函数都是有界函数(B)基本初等函数都是单调函数(C)奇函数的图形关于坐标原点对称(D)偶函数的图形关于坐标原点对称正确答案:C5.下列极限存在的是().A.
B.
C.
D.
正确答案:A6．已知
,当（）时,
为无穷小量．A.B.C.D.正确答案:A7．函数
在x=0处连续,则k=( )．A.-2 B.-1 C.1D.2正确答案:B8.曲线
在点
（处的切线斜率是（）.(A)(B)(C)(D)正确答案:D9.若
,则
()．A.0B.1C.4D.-4正确答案:C10.下列函数在区间
上单调减少的是（）.(A)(B)(C)(D)正确答案:B11.下列结论正确的是().(A)若
,则
必是
的极值点(B)使
不存在的点
,一定是
的极值点(C)
是
的极值点,且
存在,则必有
(D)
是
的极值点,则
必是
的驻点正确答案:C12．设某商品的需求函数为
,则当
时,需求弹性为()．A.
B.－3C.3D.
正确答案:B二、填空题1.函数
的定义域是.应该填写:
2.函数
的定义域是.应该填写:
3．若函数
,则
．应该填写:
4．若函数
,则
．应该填写:
5．设
,则函数的图形关于对称．应该填写:y轴6．已知需求函数为
,则收入函数
=.应该填写:
7.
.应该填写:18．已知
,若
在
内连续,则
．应该填写:29.曲线
在
处的切线斜率是.应该填写:
10．过曲线
上的一点(0,1)的切线方程为.应该填写:
11.函数
的驻点是.应该填写:
12．需求量q对价格
的函数为
,则需求弹性为
．应该填写:
三、微分计算题1.已知
,求
.解:由导数运算法则和复合函数求导法则得2.设
,求
.解；3.设
,求
.解:由导数运算法则和复合函数求导法则得4.设y
,求
.解因为y所以5.设
,求
.解:由导数运算法则和复合函数求导法则得6.已知

,求
.解:因为
所以=7.设
,求
.解:因为
所以8.设
,求
.解:因为
=
所以==0四、应用题1.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为
(
为需求量,
为价格).试求:(1)成本函数,收入函数;(2)产量为多少吨时利润最大?解(1）成本函数
=60
+2000.因为
,即
,所以收入函数
=


=(
)
=
.(2）因为利润函数
=
-
=-(60+2000)=40--2000且=(40--2000=40-0.2令
=0,即40-0.2
=0,得
=200,它是
在其定义域内的唯一驻点.所以,
=200是利润函数
的最大值点,即当产量为200吨时利润最大.2．设生产某产品的总成本函数为
(万元),其中
为产量,单位：百吨．销售
百吨时的边际收入为
(万元/百吨）,求：⑴利润最大时的产量;⑵在利润最大时的产量的基础上再生产
百吨,利润会发生什么变化?解：⑴因为边际成本为
,边际利润令
,得
可以验证
为利润函数
的最大值点.因此,当产量为
百吨时利润最大.⑵当产量由
百吨增加至
百吨时,利润改变量为

(万元）即利润将减少1万元.3.设生产某种产品
个单位时的成本函数为:
(万元),求:⑴当
时的总成本和平均成本;⑵当产量
为多少时,平均成本最小?解:⑴因为总成本、平均成本和边际成本分别为:，所以，
,⑵令
,得
(
舍去),可以验证
是
的最小值点,所以当
时,平均成本最小.4．生产某产品的边际成本为
(万元/百台),边际收入为
(万元/百台),其中
为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产
百台,利润有什么变化?解:

令
得
（百台）,可以验证
是是
的最大值点,即当产量为
台时,利润最大． 即从利润最大时的产量再生产
百台,利润将减少
万元5．已知某产品的边际成本
(万元/百台),
为产量(百台),固定成本为18(万元),求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．解:（1）
平均成本函数
,令
,解得唯一驻点
(百台)因为平均成本存在最小值,且驻点唯一,所以,当产量为600台时,可使平均成本达到最低。(2)最低平均成本为
(万元/百台)6.生产某产品的边际成本为
(万元/百台),边际收入为
(万元/百台),其中x为产量,问(1)产量为多少时,利润最大?(2)从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化？（较难)（熟练掌握)解(1)

令
得
(百台)又
是
的唯一驻点,根据问题的实际意义可知
存在最大值,故
是
的最大值点,即当产量为10（百台)时,利润最大．(2)

即从利润最大时的产量再生产2百台,利润将减少20万元．三、积分学部分复习第1章不定积分1.理解原函数与不定积分概念。这里要解决下面几个问题:(1)什么是原函数?若函数
的导数等于
,即
,则称函数
是
的原函数。(2)原函数不是唯一的。由于常数的导数是0,故
都是
的原函数(其中
是任意常数)。(3）什么是不定积分?原函数的全体
（其中
是任意常数)称为
的不定积分,记为
=
。(4)知道不定积分与导数(微分)之间的关系。不定积分与导数（微分）之间互为逆运算,即先积分,再求导,等于它本身；先求导,再积分,等于函数加上一个任意常数,即=,=,，2.熟练掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有(1)运用积分基本公式直接进行积分;(2)第一换元积分法(凑微分法);(3）分部积分法,主要掌握被积函数是以下类型的不定积分：①幂函数与指数函数相乘;②幂函数与对数函数相乘;③幂函数与正（余）弦函数相乘;第2章定积分1.了解定积分的概念,知道奇偶函数在对称区间上的积分结果.要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数,而不定积分的结果是一个表达式。奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果:若
是奇函数,则有
若
是偶函数,则有
2.熟练掌握定积分的计算方法。常用的积分方法有(1)运用积分基本公式直接进行积分;(2)第一换元积分法(凑微分法);注意：定积分换元,一定要换上、下限,然后直接计算其值（不要还原成原变量的函数).(3）分部积分法,主要掌握被积函数是以下类型的定积分：①幂函数与指数函数相乘;②幂函数与对数函数相乘;③幂函数与正(余)弦函数相乘;3．知道无穷限积分的收敛概念,会求简单的无穷限积分。第3章积分应用掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积。求平图形面积的一般步骤:画出所围平面图形的草图;求出各有关曲线的交点及边界点,以确定积分上下限;利用定积分的几何意义(即上述各式）,确定代表所求的定积分。2.熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。3．了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等；掌握简单的可分离变量的微分方程的解法,会求一阶线性微分方程的解。四、线性代数部分复习第1章行列式1.了解或理解一些基本概念(1)了解n阶行列式、余子式、代数余子式等概念;(2）了解n阶行列式性质,尤其是：性质1行列式D与其转置行列式
相等;性质2若将行列式的任意两行(或列)互换,则行列式的值改变符号；性质3行列式一行(或列)元素的公因子可以提到行列式记号的外面;性质5若将行列式的某一行(或列）的倍数加到另一行(或列）对应的元素上,则行列式的值不变．2.掌握行列式的计算方法化三角形法:利用行列式性质化成上(或下)三角行列式,其主对角线元素的乘积即为行列式的值。降阶法:利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素,然后按这零元素最多的行（或列）化成低一阶行列式,直至降到三阶或二阶行列式,最后直接计算。3.知道克拉默法则.第2章矩阵1.了解或理解一些基本概念(1)了解矩阵和矩阵相等的概念;(2)了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质;(3）理解矩阵可逆与逆矩阵概念,知道矩阵可逆的条件；（4)了解矩阵秩的概念;(5)理解矩阵初等行变换的概念。2.熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算,掌握这几种运算的有关性质；3．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵,熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。第3章线性方程组1.了解线性方程组的有关概念:n元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。2.理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。五、课程综合练习单项选择题1.若函数
,
则
().A.-2B.-1C.-1.5D.1.5正确答案:A2.下列函数中为偶函数的是().A.
B.
C.
D.
正确答案:D3.函数
的连续区间是().A.
B.
C.
D.
正确答案:A4.曲线
在点(0,1)处的切线斜率为().A.
B.
C.
D.
正确答案:B5．设
,则
=()．A.
B.
C.
D.
正确答案:C6.下列积分值为0的是().A.
B.
C.
D.
正确答案:C7．设
,
,
是单位矩阵,则
＝()．A.
B.
C.
D.
正确答案:A8.设
为同阶方阵,则下列命题正确的是().A.若
,则必有
或
B.若
,则必有
,
C.若秩
,秩
,则秩
D.正确答案:B9.当条件（）成立时,
元线性方程组
有解．A.B.C.D.正确答案:D蒋玉兰:关于这题,上午我们一些辅导教师还在说难了点。因为按常规思维学生就理解成了非齐次线性方程组了,所以容易错选成B。10.设线性方程组
有惟一解,则相应的齐次方程组
().A.无解B.只有0解C.有非0解D.解不能确定正确答案:B填空题1.函数
的定义域是.应该填写:
2．如果函数
对任意x1,x2,当x1<x2时,有,则称
是单调减少的.应该填写:
3．已知
,当时,
为无穷小量．应该填写:
4．过曲线
上的一点(0,1)的切线方程为．应该填写:
5．若
,则
=.应该填写:
6.
=.应该填写:
7．设
,当
时,
是对称矩阵.应该填写:08.设
均为n阶矩阵,其中
可逆,则矩阵方程
的解
．应该填写:
9．设齐次线性方程组
,且
=r<n,则其一般解中的自由未知量的个数等于．应该填写:n–r10.线性方程组
的增广矩阵
化成阶梯形矩阵后为则当
=时,方程组
有无穷多解.应该填写:-1计算题1.设
,求
.解:因为
=
所以==02.设
,求
.解:因为
所以3.
.解:
=
=4.
解:
=
==5.设矩阵
,
,
,计算
.解:因为
=


==且=所以=26.设矩阵
,求
.解:因为
即所以7.求线性方程组
的一般解.解:因为系数矩阵