2025届江苏省南通如皋市高三下学期一模-数学试题（含答案）

2025南通（如皋）1.5模8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A{x|x}，Bx|x，若ABB，则实数a的取值范围为121a|a21B．a|a2．C．a|a．a|a12．若抛物线yx2的准线为直线l，则l截圆C:x2y21所得的弦长为23374378．3B．C．．241的等差数列a}中，若aaa，则的最小值为3．在公差不为05nst3st956532．B．C．．314ab满足a2bb在向量a上的投影向量是aa与b的4夹角为．B．C．．6365z(sin2sin)2cos（iZ(3对应，则)141478．B．C．．86．已知x)2x)3x)9aaxax29x9，则2的值为012．B．C．．7．已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥SO，其中圆锥SO底面的半径为r，{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}271高为h.圆台的两底面的半经分别为r和r，高为2h.该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为．21)B．C．．x22y22xxyy8．已知椭圆C:1，称点P(x,y)和直线l:001是椭圆C的一对极点和00a2b2ab极线，每一对极点与极线是一一对应关系.当P在圆外时，其极线l是椭圆从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）.结合阅读材料回答下面的问题：已知P是直线1x2y2yx4上的一个动点，过点P向椭圆C:1引两条切线，切点分别为M,N，24直线恒过定点T，当TN时，直线的方程为．x2y40B．x2y40C．2xy40．2xy403618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．某市对高三年级学生进行体育测试，其中甲班的成绩X与乙班的成绩Y均服从正态分布，且X~N92)，Y~N2)，则．E(X)B．DY)．P(XPYC．P(XP(X1510f(x)3sinxcosx(0的图象向左平移12数图象关于原点对称，则下列说法正确的是．f(x)的最小正周期为B．f(x)的图象关于直线x对称6{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}4C．f(x)在,上单调递增3f(x)在区间,a上存在极大值点和极小值点，则实数a的取值范围为,121a}的公比为qn项的积为T.当且仅当n99时，T取得最大值，nnn则下列说法正确的是．0q1B．数列{nn}为等比数列C．使数列{nn}的前n项的积取最大值时，最大正整数n的值为.若数列{nn}的前n项的积大于1成立最大正整数n的值为396n1的最大正整数n的值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．一组从小到大排列的数据：0，1，3，4，6，7，9，x，11，12，若删去x前后它们的80百分位数相同，则x__________.13．从公比不为1的正项等比数列n}的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为__________.14．已知yf(x)3x是定义域为R的偶函数，f(x)的导函数f(x)满足fx)fx)，则f(2026)__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1513.商家通过不断变换花样吸引消费者.某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲3111商品的概率分别为,,.362{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}（（1）若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；2）若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他.为了得到红色商品，求该顾客的平均花费.115PABCDABCD是等腰梯形，ADBCPAC底面ABCD，，24，ABC60.（（1）证明：；2）求平面与平面夹角的余弦值.{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}1.15△的三边a,b,c所对的角分别为,B,CaAbB)cC.（（1）求证：tanA4tanB；2）若B,，求tanC的取值范围.64{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}a18.17f(x)x(与函数g(x)1的图象在公共点处有相同的切线.x（（（1）当1时，求函数f(x)与g(x)在公共点处的切线方程；2）求a的最小值；3）求证：当x0时，xx)a.{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}1（17i:x29y22(ai,)l:ykx(x和射线i11l:ykx(x0)分别与E,E,,E交于点A,A,A和点B,B,B.2212n12n12n（1）求双曲线ii,n)的离心率；2l:y(x（异于l,lE,E,,E分别交于点P,P,P△ABP（1212n12niii的面积为Sii,n).（（）求证：ABAB；11221n322k1k00k1ai,n)SSiS.12iii1{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}2025南通（如皋）1.5模8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A{x|x}，Bx|x，若ABB，则实数a的取值范围为121a|a21B．a|a2．C．a|a．a|a【答案】C12．若抛物线yx2的准线为直线l，则l截圆C:x2y21所得的弦长为23374378．3答案】AB．C．．2【11【解析】抛物线x22y，准线y，弦长213，选2441的等差数列a}中，若aaa，则的最小值为3．在公差不为05nst3st956532．B．C．．3【答案】Dst【解析】aaast61，st3664141st22ts151932，选stst663st66962{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}14ab满足a2bb在向量a上的投影向量是aa与b的4夹角为．B．C．．636【答案】Bab14ab1414【解析】b在a上投影向量aaab(a)222aa12aab14a,b,b，选123abaa25z(sin2sin)2cos（iZ(3对应，则)141478．B．C．．8【答案】Csin24sinsin4sin2sin2sin33【解析】cos24421141sin)4414)0)，选C.6．已知x)．2x)3x)9aaxax29x9，则2的值为012B．C．．【【答案】D解析】2C2232C429136，选2{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}7．已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥SO，其中圆锥SO底面的半径为r，271高为h.圆台的两底面的半经分别为r和r，高为2h.该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为．21)B．C．．【【答案】D解析】外接球半径R，则R2R5.h)2r2设外接球球心M，则3h2r2r71V(213)6，选3求体积。x22y22xxyy8．已知椭圆C:1，称点P(x,y)和直线l:001是椭圆C的一对极点和00a2b2ab极线，每一对极点与极线是一一对应关系.当P在圆外时，其极线l是椭圆从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）.结合阅读材料回答下面的问题：已知P是直线1x2y2yx4上的一个动点，过点P向椭圆C:1引两条切线，切点分别为M,N，24{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}直线恒过定点T，当TN时，直线的方程为．x2y40B．x2y40C．2xy40．2xy40【答案】A1x4y12xx20【解析】Px,x4，:01，004x2y0x26y160y1即x(x2y)16y160，，定点T(0111TN，则T为中点，kkkMN421:y1(x，即x2y40.2点评：用到两个二级结论，切点弦和弦中点斜率积威定值，不能硬算。3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．某市对高三年级学生进行体育测试，其中甲班的成绩X与乙班的成绩Y均服从正态分布，且X~N92)，Y~N2)，则．E(X)B．DY)．P(XPYC．P(XP(X1【【答案】解析】X~N92)，Y~N2)，E(X)，A对.DY)2，B错.P(XP(XP(XP(X1，C对.P(XPY，D错，选AC.{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}510f(x)3sinxcosx(0的图象向左平移12数图象关于原点对称，则下列说法正确的是．f(x)的最小正周期为B．f(x)的图象关于直线x对称64C．f(x)在,上单调递增3f(x)在区间,a上存在极大值点和极小值点，则实数a的取值范围为,12【答案】ABD56【解析】f(x)2sinx，fx2sinx652sinx，fx6关于原点对称，则，61262k,kZ，032f(x)2sin2x，52T，A对.22xk,kZ，则x,kZx是一条对称轴，B对，C错.62626121xa，则02x2a，f(x)在,a既有极大值点又有极小值点，26632则2aa，D对，选623点评：三角函数的图象与性质问题，由题目给出的条件去求出参数，从而去判断选项。1a}的公比为qn项的积为T.当且仅当n99时，T取得最大值，nnn则下列说法正确的是{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}．0q1B．数列{nn}为等比数列C．使数列{nn}的前n项的积取最大值时，最大正整数n的值为.若数列{nn}的前n项的积大于1成立最大正整数n的值为396n1的最大正整数n的值为【【，答案】ABD解析】正项等比数列当且仅当n99时，n取最大值，则0q1且1n，nZ时a1；n100，nZ时，0a1，nnn1Taaq2qn1nq，Taq2是等比数列，B对.nn111n1q981，T的前项都大于1，第项开始可能小于1，第项后一定小于1nn前项积最大，C错.(nn1n1n(n2{nT}的前n项积Saaq2q1q1nq1nq1224nn11n139711成立的最大正整数为396，即q1，即aq1，q，q11q44n1T1aq1，n198时，q1，n199时，q12n1n1的最大正整数为，D对，选点评：等比数列的基本运算，A选项很容易判断出来，判断BCD的时候一定小心一点，慢一点。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．一组从小到大排列的数据：0，1，3，4，6，7，9，x，11，12，若删去x前后它们的80百分位数相同，则x__________.答案】【{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}x【解析】原来有10个数据，108，原来第80百分位数2x删去x有9个数据，980%7.2，第80百分位数1111x11.213．从公比不为1的正项等比数列n}的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为__________.3【答案】4【解析】公比为q有6个结果，公比为q2有4个结果，公比为q3有2个结果6423P.C38点评：等比数列与概率相结合，这个之前也考过，所以考过的题目一定要再多写写。14．已知yf(x)3x是定义域为R的偶函数，f(x)的导函数f(x)满足fx)fx)，则f(2026)__________.【答案】3【解析】g(x)f(x)3x为偶函数，则g(x)为奇函数，即g(x)g(x)0f(x)3f(x)30f(x)f(x)6，即f(x)关于对称，又fx)fx)，则f(x)关于x1f(x)是周期为4的周期函数f(2026)f(2)f(0)3.点评：抽象函数的性质问题，研究导函数的对称性，得到周期性，从而求出最终结果。四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1513.商家通过不断变换花样吸引消费者.某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲3{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}111商品的概率分别为,,.362（（1）若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；2）若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他.为了得到红色商品，求该顾客的平均花费.【解析】212239方法一：（1）恰好开出两个红色商品的概率PC32.3（2）为了得到红色商品，记该顾客打开盲盒的次数为X，X的所有可能取值为1,2,3,4.1212P(X，P(X339，32321428P(X，P(X，333X的分布列如下：XP1234132948144E(X)993657每开一个盲盒花1该顾客的平均花费为.2方法二：（1）记“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件A2122P()C32.339{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}29答：该顾客恰好开出两个红色商品的概率为.（2）设该顾客的购买费用为X，X的可能取值有2,3,4XP12342313212132333323122E(X)43332233657答：该顾客的平均花费为.2115PABCDABCD是等腰梯形，PAC底面ABCD，，24，ABC60.（（1）证明：；2）求平面与平面夹角的余弦值.【解析】方法一：（1平面PAC底面ABCD，平面平面ABCDAC平面，PA平面ABCDPAAB.1（2AB2，4，ABC60422423，2{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}AB222，如图建系.C23,0)，D(3,0)，P(0,0,4)3,0)，CP23,3y0n(23,3).x设平面的一个法向量n(x,y,z)1123y4z0而平面的一个法向量n，设平面与平面的夹角为2nncos1122322.1面面方法二：（1）证明：.22△内，423（2224又，PAAB，以{AB,AC,}为正交基底，建立如图所示的直角坐标系设面ACD的一个法向量为m，则m0)设面的一个法向量为n，则n(x,y,z){#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}D(3,0)，C23,0)，P(0,0,4)，CD(3,0)，CP23,x23x3y0y2n(23,3)z3232,n，因为两平面所成角为锐角，1432面与面的夹角余弦为.191.15△的三边a,b,c所对的角分别为,B,CaAbB)cC.（（1）求证：tanA4tanB；2）若B,，求tanC的取值范围.64【解析】（1）方法一：证明：2Asin2B)3sin2C5sin(AB)sin(AB)3sin25sinCAB)3sin2CsinC05sin(AB)3sinCAB)ABAB)ABAB)C2sinAB8cosAsinBtanA4tanB.abc方法二：由正弦定理，得2Asin2B)3sin2CsinAsinBsinC则5sin(AB)sin(AB)3sin2(AB)AB)AB)05sin(AB)AB)ABAB)ABAB)2sinAcosB8cosAsinBtanA4tanB.方法三：由正弦定理得a2b2)c23c2c2a2c2b2cB55aB4c225a{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}5sinAB4sinC4sin(AB)4sinAB4ABsinAB4AsinBtanA4tanB.AB5B145（2）方法一：CAB)11AB2B4BBBB1，令Btt1336433351C，yt在t上单调递增，1t34tt31553t3C53，即tanC的取值范围为,53.3t3ABAB145B5方法二：CAB)2B114BB3又B,，tanB6453,1C,53.3点评：第一问可以采用正弦平方差进行处理，然后将sinC转变成sin(A+B)化简计算就可以了，整体难度不大，第二问就更简单了，有了A，B两角之间的正切关系，直接将C用A和B表示就可以了，接着转变成关于B的函数，借助函数单调性求范围就行了.a18.17f(x)x(与函数g(x)1的图象在公共点处有相同的切线.x（（（【1）当1时，求函数f(x)与g(x)在公共点处的切线方程；2）求a的最小值；3）求证：当x0时，xx)a.解析】方法一：（1）当1时，f(x)x，设(x,y)为f(x)与g(x)的一个公共点00{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}a010x1切点，k11af(x)，g(x)a10xx21a20x0（f(x)与g(x)在公共点处的切线方程为yx1.a2）设P(x,y)为f(x)与g(x)的一个公共点，f(x)，g(x)00x2xa01,①0a，由①0a0代入①，a0,②20x0aa1x11e01axx，000000ax0x11xx令h(x)(x)0x1xx2x21当x1时，(x)0，(x)单调递增；当x1时，(x)0，(x)单调递减e1h(x)h11，，当且仅当x1时取“a1..a10a011e（3）由（2）知，a，，0010110证：x0时，，x1x01x100x即证：xx00对x0恒成立0x0x21令F(x)xx0，F(x)0xx，0x当0xx时，F(x)0，F(x)单调递减；当xx时，F(x)0，F(x)单调递增00F(x)F(x)1xx0，证毕！000{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}a1a方法二：（1）f(x)x，g(x)1f(x)，g(x)xxx2a010设公共点为(x,lnx)，则0切点为0x10001a20x0x1k1yx1.0aa（2）f(x)x，g(x)1f(x)，g(x)，xxx2a,①0x20设公共点为(x,lnx)，则00ax1,②0x0aa由①0，代入②1（*）a1111，a1，令()1，111()0122()10())单调递减极小值单调递增()0a0a1.mina（3）要证xx)a，即证1x0xaaax令Q(x)1x，Q(x)xx2xx2{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}a令Q(x)0，则xaaa,x(x)0(x)单调递增极小大值单调递减aaaaaaQ(x)Q，而Q11.a由（2）知1（*1)0Q(x)0Q(x)0即xx)a.点评：数值也相同，进而就可以列出方程组求解了，接下来最核心的就是消元，将莱姆塔消掉，最后将a用x0表示就可以了，注意到a大于零，x0是大于1/e的，接着构造函数求导分析，即可求出a的最小值.a和莱姆塔均用x0要证明的不等式转变成了一个关于x0和x的不等式，接着对所要证明的不等式进行对数单身F(x)置的非常巧妙，其本质就是让你证明，f(x)的图象始终落在g(x)图象的上方，画图似乎能感受到，究其本质还是要构造函数证明.（17i:x29y2(ai,)l:ykx(x和射线2i111l:ykx(x0)分别与E,E,,E交于点A,A,A和点B,B,B.2212n12n12n（1）求双曲线ii,n)的离心率；2l:y(x（异于l,lE,E,,E分别交于点P,P,P△ABP（1212n12niii{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}的面积为Sii,n).（（【）求证：ABAB；11221n322k1k00k1ai,n)SSiS.12iii1解析】34ix2y23i方法一：（1）双曲线i:1双曲线i的离心率e225259y1xiai（2）联立A,i25x29y225912259122ik2ai同理可得：B，当kk时，显然ABAB,i121122259k22259k22k2i59k2ii9122k29k2119k22当kk时，k2为定值12iii9129k22259k22912{#{QQABAQK0xggQgASACI5LEUHWC0mQkJIiLSoERRCUuAwDQZFIFIA=}#}也有ABAB.1122111（）由（1）可知，当k1时，A,，B,0，k5ii1iiiii1k1且P,，AB方程为：y5x，ABiiiiii259k2i259k2ii11k15k5i9k2ii9k2ii9k2P到AB的距离diii265k11120ii59k215k9k18x2SiS△ABP240i2iii29x2x)5x29x2令f(x),0x1，f(x)59x2259x2245x50x(259x2)9x2955当0x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递增99595592231i2221f(x)fSi122)3i2252591111而i2时，i2iii1in322n132211111SSi1i22