复合函数的值域,复合函数知识点的总结；示例分类说明

复合函数的值域,复合函数知识点的总结；

示例分类说明

2022复合函数的值域，复合函数知识点的总结；示例分类说明正文内容

复合函数的定莪域和解析式以及单^性

【复合函数相关知识】1、复合函数的定莪

如果y是u的函数，u又是x的函数，即y=f(u),u=g(x),那么y关

于x的函数y=f(g(x))叫做函数y=f(u)(外函数)和u=g(x)(内

函数)的复合函数，其中u是中间变量，自变量为x函数值为yo例如：函

数y=2x

2

+1

是由y=2u和u=x2-1复合而成立。

说明：(1)复合函数的定羲域，就是复合函数y=f(g(x))中x的取值范围。

(2)x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。(3)f

(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。

2.求有关复合函数的定羲域

①已知f(x)的定羲域为(a,b),求f(g(x))的定莪域的方法:

已知f(x)的定羲域为(a,b),求f(g(x))的定羲域。实际上是已知中

间变量的u的取值范围，即

u£(a,b),g(x)£(a,b)。通过解不等式a

②已知f(g(x))的定羲域为(a,b),求f(x)的定莪域的方法：若已

知f(g(x))的定羲域为(a,b),求即xE(a,b)。先利用a

3.求有关复合函数的解析式①已知②已知

f(x)的定莪域。实际上是已知直接变量x的取值范围，

X

f(X)求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(X)中的X换成g(X)即

可。f[g(X)]求f(x)的常用方法有：配凑法和换元法。

f[g(X)]中把关于变量X的表达式先凑成g(X)整体的表达式，再直接把g

(X)换

配凑法：就是在成X而得

f(X)0

1

换元法：就是先设g(X)气，从中解出X(即用t表示X),再把X(关于

t的式子)直接代入中消去X得到

4.求复合函数的单^哇

5.复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇

【例题讲解】

f[g(x)]

f(t),最后把f(t)中的t直接换成X即得f(X)o

一、复合函数定羲域解析式

例1设函数f(x)=2x+3,g(x)=3x-5,求f(g(x)),g(f(x)).

例2已知f(2x+1)=x2-2x,求f(22+1)

例3①已知f(x)=x2+1,求f(x-1)；

②已知f(x-1)=(x+1)2+1,求f(x).

例4⑴若函数f(x)的定羲域是[0,1],求f(卜2x)的定羲域；

⑵若f(2x-1)的定莪域是[T,1],求函数f(x)的定羲域;(3)已知f(x+3)

定莪域是[-4,5),求f(2x-3)定兼域.

2

x2+2x+5

,求其单3周区间及值域。

1.求函数f(x)=0.51+2x-x的单疆区间及值域

2.求函数y=4

例2求f(x)=5-4x-x2的单^区间及值域

3

x-12

2

+3-2x+5的单^区间和值域.

变式练习2求函数f(x)=2

1

例3求y-(luglx)2Toglx+5在区间［2,4］上的最大值和最小值

222

1-x2

的单^区间及值域

变式练习3

1.求函数f(x)=log2(5-4x-x2)的单^区间及值域

2.求函数y=log2

xx

•log2(x8])的最大值和最小值.24

②含参数的复合函数单^性与值域问题

例4已知函数f(x)=loga(3x2+5x-2)(a>；0且aWl)试讨论其单

^性。

例5求函数y-loga(2-ax-a2x)的值域。

4

变式练习4

1.讨论函数y-loga(ax-1)的单^性其中a&gL;0,且aXI.

③根据复合函数单^性或值域求参数取值范围

例6设函数f(x)=lg(ax2+2x+1),若f(x)的值域为R,求实数的取

值范围.

例7已知y=loga（2-ax）在区间［0,1］上时臧函数，求a的取值范围.

1

例8若函数y=loga（x2-ax+3）在区间（-°°,a］上为减函数，求实数a的

取值范围.

2

变式练习5已知函数y=2-x

2

+ax-1

在区间（-8.3）上是增函数，求a的范围.

解：令u=-x2+ax-1,则原函数是由u=-x2+a:《T与y=2u复合而成.原函

数在区间（-8,3）上是增函数，而外层函数y=2u始终是增函数，则易知内层

函数u=-x2+axT在区间（-8,3）上也是增

5

aDaDa□□

函数.而实质上原函数的最大单^增区间是-8,口，由（一8,3）C-8,□得

23,即a26.

2口2口2口口

【过关检测】

1.求下列函数的定羲或、值域及其单区间：

2x-5x+4；(2)g(x)=(1)x+4(1)x+5(1)f(x)=

42

2.求下列函数的单^递增区间：(1)y二口

□2口

6+x-2x2

;(2)y=2

x2-x-6

3.已知函数f(x)=logax(a>；O,aWl),如果对于任意x£[3,+°°)

x都有f(x)21成立，试求a的取值范围.

4.已知函数f(x)=loga(x2-ax-a)f(x)=log2(x-ax-a)在区间(-8,

「3]上是单^递减函数.求实数a

2

的取值范围.

5求函数y二

Ilog0.5（x-2x~3）

2

的单^区间

【考试链接】

-x-y

1.（2008山东临沂模拟理，5分）若a>；1,且a-logax

A.x>；y>；0B.x=y>；0C.y>；x>；0D.无法确定

6

2.函数y-e|Inx|-|xT的图象大致是（）

3.（2008江苏南通模拟，5分）设f（x）=o1g

3

3

a

(a>；0且aWl),若f(x1)+f(x2)++f(xn)=1(xiWR+,x

3

,则f(x1)+f(x2)++f(xn)的值等于________oi=1,2,,n)

24.(2008海南海口模拟文、理，5分)若函数y=log(的定羲域为R,则实数

k的取值范围是o2kx+4kx+3)5.(2008江苏无锡模拟，5分)给

出下列四个命题：

x

①函数y=a(a>；0且aWl)与函数y=logaax(a>；0且aHl)

的定裴域相同；

②函数y二x和y=3的值域相同