2025年新高二数学人教A版学困生专题复习《指数函数与对数函数》

第28页（共28页）2025年新高二数学人教A版（2019）学困生专题复习《指数函数与对数函数》一．选择题（共8小题）1．（2025•襄城区校级模拟）已知集合A＝{﹣7，﹣3，1，5}，B＝{x|y＝lg（x+2）}，则A∩B＝（）A．{﹣7，﹣3} B．{1，5} C．{﹣3，1，5} D．{5}2．（2025春•富民县校级月考）已知a＝20.2，b=(22)3，c＝log20.2，则aA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a3．（2025春•黑龙江月考）已知f（x2）＝lnx，则f（e）＝（）A．12 B．1 C．2 D．4．（2025•天津校级模拟）已知a=(12)-0.6，b=loA．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a5．（2025•天津二模）已知a＝e0.1，b=ln13，c＝sin2，则a，A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b6．（2025春•延吉市校级期中）已知集合A＝{x|y＝ln（3﹣x）}，B＝{y|y＝x2+1}，则A∩B＝（）A．（1，3） B．[1，3） C．（0，3] D．[0，3）7．（2025春•广东月考）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v2A．0.2米 B．0.25米 C．0.45米 D．0.7米8．（2025•增城区模拟）生物丰富度指数d=S-1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N22=N二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•修文县校级期中）已知a＝2，b＝π，则下列代数式中值为3π的是（）A．（a14bB．（a﹣4•a4）b+a(bC．(2-D．（3a43b12（多选）10．（2025•西安校级学业考试）已知函数m（x）＝2x，h（x）＝3x，且m（a）＝h（b），则下列式子可能成立的是（）A．a＜0，b＞0 B．a＜b＜0 C．a＝b D．0＜b＜a（多选）11．（2025春•南阳期中）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用-f(b)-f(aA．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强（多选）12．（2024秋•开封期末）如图，已知直线x＝a，x＝b（a＜b＜0）与函数y＝2x，y＝4x的图象分别交于A，B，D，C四点，且ABCD为平行四边形，则（）A．2a+2b＝1 B．2a+1+2b+1＝1 C．a+b＜﹣4 D．a+b＜﹣2三．填空题（共4小题）13．（2025春•贵州期中）比较大小：2+6（填“＜”或“＞”）214．（2025春•河东区校级月考）计算5log52+log15．（2024秋•普陀区校级期末）已知2a＝3b＝5，则1a+1b=16．（2025春•海南期中）蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023年中央一号文件》中关于“加强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举措，研究了50%﹣70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放10条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据：湿度x/%5055606570产卵总数y/个246918根据表中数据，可以预测湿度为58%时10条蚯蚓的产卵总数．则此模型为，此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的关系．四．解答题（共4小题）17．（2025春•惠东县期中）一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化满足关系：x＝4+16e﹣2t．（1）求汽水温度x在t＝1处的导数；（2）已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x=59y﹣32．写出y关于t的函数解析式，并求y关于18．（2025春•宜春月考）已知函数f(x)=lg(x+1)+116-x2的定义域为集合A，集合B（1）若a＝﹣4，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．19．（2025春•未央区校级月考）求下列各式的值．（1）(1.5)（2）log20．（2024秋•番禺区期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比值越大，采光效果越好．（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？

2025年新高二数学人教A版（2019）学困生专题复习《指数函数与对数函数》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BAACBBBD二．多选题（共4小题）题号9101112答案BDBCDABCAD一．选择题（共8小题）1．（2025•襄城区校级模拟）已知集合A＝{﹣7，﹣3，1，5}，B＝{x|y＝lg（x+2）}，则A∩B＝（）A．{﹣7，﹣3} B．{1，5} C．{﹣3，1，5} D．{5}【考点】对数函数的定义域；求集合的交集．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】B【分析】根据函数定义域求法可求得集合B，由交集定义可得结果．【解答】解：∵集合A＝{﹣7，﹣3，1，5}，B＝{x|y＝lg（x+2）}＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，∴A∩B＝{1，5}．故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．2．（2025春•富民县校级月考）已知a＝20.2，b=(22)3，c＝log20.2，则aA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】结合指数函数及对数函数单调性即可比较a，b，c的大小．【解答】解：a＝20.2＞1，b=(22)3∈（0，1），c＝log故a＞b＞c．故选：A．【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．3．（2025春•黑龙江月考）已知f（x2）＝lnx，则f（e）＝（）A．12 B．1 C．2 D．【考点】对数的运算性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】利用整体替换取值代入计算即可．【解答】解：由f（x2）＝lnx可知x＞0，则f(故选：A．【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．4．（2025•天津校级模拟）已知a=(12)-0.6，b=loA．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较三个数的大小．【解答】解：a=(12)故1＜20.6＜22即1＜a＜c＜2，又∵b=lo∴a＜c＜b，故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，属于基础题．5．（2025•天津二模）已知a＝e0.1，b=ln13，c＝sin2，则a，A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】B【分析】根据函数的性质得到a＞1，b＜0，0＜c＜1，从而a＞c＞b．【解答】解：因为a＝e0.1＞e0＝1，b=ln13＜ln1＝0，0＝sinπ＜c＝sin2所以a＞c＞b．故选：B．【点评】本题主要考查函数值比较大小，属于基础题．6．（2025春•延吉市校级期中）已知集合A＝{x|y＝ln（3﹣x）}，B＝{y|y＝x2+1}，则A∩B＝（）A．（1，3） B．[1，3） C．（0，3] D．[0，3）【考点】对数函数的定义域；求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】B【分析】由对数型复合函数定义域及二次函数值域化简A，B，再由交集运算即可求解；【解答】解：集合A＝{x|y＝ln（3﹣x）}，则3﹣x＞0，得x＜3，所以集合A＝（﹣∞，3），易知B＝[1，+∞），∴A∩B＝[1，3）．故选：B．【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．7．（2025春•广东月考）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v2A．0.2米 B．0.25米 C．0.45米 D．0.7米【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度．【解答】解：已知类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v2则v2﹣Hv4＝4H，故H=v2v4+4于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．故选：B．【点评】本题考查了函数的解析式，重点考查了基本不等式的应用，属基础题．8．（2025•增城区模拟）生物丰富度指数d=S-1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N22=N【考点】对数运算求值．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】D【分析】把已知代入丰富度指数公式d=S-【解答】解：d=S-1lnN，个体总数由N1变为N2由已知S-1ln两式相除可得，2lnN1＝3lnN2，即lnN∴N1故选：D．【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•修文县校级期中）已知a＝2，b＝π，则下列代数式中值为3π的是（）A．（a14bB．（a﹣4•a4）b+a(bC．(2-D．（3a43b12【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BD【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．【解答】解：对于A，(a14对于B，原式＝b+ab＝π+2π＝3π，故B正确；对于C，原式=2-aba-对于D，原式=32ab故选：BD．【点评】本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．（多选）10．（2025•西安校级学业考试）已知函数m（x）＝2x，h（x）＝3x，且m（a）＝h（b），则下列式子可能成立的是（）A．a＜0，b＞0 B．a＜b＜0 C．a＝b D．0＜b＜a【考点】指数函数的图象．【专题】作图题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】可在同一坐标系下画出m（x）和h（x）的图象，然后根据图象即可判断a，b的关系．【解答】解：在同一坐标系下画出m（x）和h（x）出图象如下：∴m（a）＝h（b）时，a，b的关系可能为：a＜b＜0，a＝b＝0，0＜b＜a．故选：BCD．【点评】本题考查了通过函数图象解决问题的方法，指数函数图象的画法，考查了数形结合解题的能力，属于基础题．（多选）11．（2025春•南阳期中）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用-f(b)-f(aA．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】根据已知条件，结合图象，以及用-f(b)-f(a【解答】解：用-f(b)-f(a则根据图象可知，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确，由图象可知，在t2时刻，甲企业在该点的切线斜率绝对值大于乙企业在该点的切线斜率绝对值，所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B正确，由图象可知，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放量都小于污水达标排放量，则甲、乙两企业的污水排放都已达标，故C正确，由图象可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．（多选）12．（2024秋•开封期末）如图，已知直线x＝a，x＝b（a＜b＜0）与函数y＝2x，y＝4x的图象分别交于A，B，D，C四点，且ABCD为平行四边形，则（）A．2a+2b＝1 B．2a+1+2b+1＝1 C．a+b＜﹣4 D．a+b＜﹣2【考点】指数函数的图象；二次函数的性质与图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】AD【分析】首先确定点A，B，C，D点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质AB＝CD，建立关于a，b的等式，利用平方差公式化简得到2a+2b＝1，再通过均值不等式可得a+b＜﹣2，最后分析选项得出结论．【解答】解：当x＜0时，y＝4x在y＝2x图象下方，∴A，D在y＝2x图象上，B，C在y＝4x图象上，∴A（a，2a），B（a，4a），C（b，4b），D（b，2b），又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，即2a﹣4a＝2b﹣4b，即2a﹣2b＝4a﹣4b＝（2a）2﹣（2b）2＝（2a+2b）（2a﹣2b），又∵2a﹣2b≠0，∴2a+2b＝1，2a+1+2b+1＝2．故A正确，B错误，由均值不等式2a化简可得a+b≤﹣2，当a＝﹣1＝b时等号成立，由于a＜b＜0，故a+b＜﹣2，D正确，C错误．故选：AD．【点评】本题考查了指数函数，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•贵州期中）比较大小：2+6＜（填“＜”或“＞”）2【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】＜．【分析】平方计算判断大小．【解答】解：因为(2+6(25)2=20=10+225，20﹣10﹣224=所以(2+6所以2+6故答案为：＜．【点评】本题主要考查了比较法的应用，属于基础题．14．（2025春•河东区校级月考）计算5log52+log【考点】对数的运算性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】3．【分析】结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：5＝2+12故答案为：3．【点评】本题主要考查了对数运算性质，属于基础题．15．（2024秋•普陀区校级期末）已知2a＝3b＝5，则1a+1b=log【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】log56．【分析】利用指数幂的运算化简，然后利用对数定义求解即可．【解答】解：因为2a＝3b＝5，所以a＝log25，b＝log35，1a+1b=log52+log53所以1a故答案为：log56．【点评】本题考查对数的运算，属于基础题．16．（2025春•海南期中）蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023年中央一号文件》中关于“加强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举措，研究了50%﹣70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放10条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据：湿度x/%5055606570产卵总数y/个246918根据表中数据，可以预测湿度为58%时10条蚯蚓的产卵总数．则此模型为指数函数模型，此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的正相关关系．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；对应思想；数形结合法；数学模型法；概率与统计；数学建模；直观想象．【答案】指数函数模型；正相关．【分析】根据题意，画出散点图，由散点图中点的分布情况，即可得出此模型是指数函数模型，以及此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的相关关系．【解答】解：根据题意，以湿度为横轴，产卵总数为纵轴，画出散点图，如图所示：由散点图中点的分布情况知，此模型符合指数函数增长模型，应为指数函数模型；此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的正相关关系．故答案为：指数函数模型；正相关．【点评】本题考查了函数模型的判断问题，以及相关关系的判断问题，是基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•惠东县期中）一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化满足关系：x＝4+16e﹣2t．（1）求汽水温度x在t＝1处的导数；（2）已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x=59y﹣32．写出y关于t的函数解析式，并求y关于【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求导x′＝﹣32e﹣2t，从而代入t＝1即可；（2）x=59y﹣32化简可得y=95x+2885=95（4+16e﹣2t）+2885=1445【解答】解：（1）由题意，x′＝﹣32e﹣2t，故x′|t＝1＝﹣32e﹣2；（2）∵x=59y﹣∴y=95x+2885=95（=1445e﹣2ty′=-2885e﹣【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用及导数的综合应用，属于中档题．18．（2025春•宜春月考）已知函数f(x)=lg(x+1)+116-x2的定义域为集合A，集合B（1）若a＝﹣4，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．【考点】对数函数的定义域；求集合的交集；必要不充分条件的应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）A∩B＝（﹣1，0]；（2）（﹣2，8）．【分析】（1）由x+1＞0（2）由B是A的真子集．，分类讨论构造不等式求解即可；【解答】解：（1）函数f(则x+1＞016-x2＞0，解得﹣1＜x＜若a＝﹣4，则B＝{x|2x2+4x≤0}＝[﹣2，0]，所以A∩B＝（﹣1，0]．（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B是A的真子集．因为B＝{x|2x2﹣ax≤0}＝{x|（2x﹣a）x≤0}，当a＞0时，B=[0，a2]所以a2＜4，又a＞0，所以0＜a当a＜0时，B=[a2，0]所以a2＞-1，又a＜0，所以﹣2＜当a＝0时，B＝{0}，此时B是A的真子集，符合题意；综上，a的取值范围是（﹣2，8）．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．19．（2025春•未央区校级月考）求下列各式的值．（1）(1.5)（2）log【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）5；（2）73【分析】（1）根据幂的运算法则求解即可；（2）根据对数的运算法则求解即可．【解答】解：（1）原式==2+5（2）原式==2+2(lg【点评】本题考查了指数与对数的运算法则应用问题，是基础题．20．（2024秋•番禺区期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比值越大，采光效果越好．（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】对应思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）20，（2）变好了．【分析】（1）设窗户面积为x，列出不等式组，解出x的范围即可；（2）根据作差法比较大小即可．【解答】解：（1）设这所公寓的窗户面积为x平方米，则地板面积为（220﹣x）平方米，由题意可得：x＜220-xx220-x所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米．（2）设窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，窗户和地板同时增加m平方米，则xy由题意可知0＜x＜y，m＞0，∴(x-y)∴公寓的采光效果变好了．【点评】本题考查了不等式的解法，数的大小比较，属于基础题．

考点卡片1．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．必要不充分条件的应用【知识点的认识】必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．设p：12≤x≤1；q：a≤x≤a+1，若A．B.(0C.[0D.[0解：p：12≤x≤1，q：a≤x≤a又∵p的必要不充分条件是q，∴p⇒q，反之则不能，∴1≤a+1，a≤1∴0≤a≤1当a＝0时，q：0≤x≤1，满足p的必要不充分条件是q，当a=12时，q：12≤x≤3∴0≤a≤1故选：D．3．二次函数的性质与图象【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-b2a；最值为：f（-b2a）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=-ba，x1•x③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，p2），准线方程为y=-p④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．4．有理数指数幂及根式【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：amn=nam（a＞0，m，n∈N②负分数指数幂：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解题方法点拨】例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、aa=aC、4(-3)4=3D、(ax)2a2分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正确；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正确；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am•an＝am•nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．5．有理数指数幂及根式化简运算求值【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：amn=nam（a＞0，m，n∈N②负分数指数幂：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解题方法点拨】﹣利用a-mn=1amn=1nam（a＞﹣利用指数运算法则，如am⋅an=am+n﹣利用根式运算法则，如a⋅b=﹣验证化简和运算结果的正确性．【命题方向】题目通常涉及有理数指数幂及根式的化简和求值，结合具体问题进行运算和应用．计算：(214解：(21故答案为：47486．指数函数的图象【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y=(1a)x的【解题方法点拨】利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．7．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n8．对数运算求值【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解题方法点拨】﹣利用对数定义直接求值．﹣利用换底公式log﹣结合对数运算性质，如loga（mn）＝logam+logan、loga(【命题方向】常见题型包括计算对数值、简化复杂对数表达式、利用对数性质解决实际问题．计算：14lg解：原式＝lg2﹣1+33×23+lg50＝lg（2×50）﹣1+32＝lg100﹣1+9＝2故答案为：10．9．对数函数的定义域【知识点的认识】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．10．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）11．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实