2024-2025学年安徽省安庆市江淮协作区高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省安庆市江淮协作区高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.关于样本相关系数，下列说法正确的是(

)A.样本相关系数r∈[−1,1]

B.当样本相关系数r<0时，称成对数据成正相关

C.两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近−1

D.两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近12.已知双曲线x2a2−y2A.233 B.2 C.3.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，若P(X<2)=16A.13 B.23 C.194.已知圆C1：x2+yA.外离 B.外切 C.相交 D.内切5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1A.1213 B.533 C.4136.江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、大通茶干、八公山豆腐这4种特色美食，每天至少选择一种(4种美食不重复选择且每天美食的选择不分先后顺序)，游客三天后恰好品尝完这4种美食.则这三天他选择美食的不同选法种数为(

)A.24种 B.36种 C.42种 D.48种7.已知函数f(x)=13x3+x2+bx−23在x=1A.(1,9) B.[1,9) C.[3,9) D.(3,9]8.已知事件A，B满足P(A)=12，P(B)=23，P(A+BA.34 B.38 C.112二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于随机变量X的期望与方差，下列说法正确的是(

)A.E(2X+1)=2E(X)+1

B.若X∼N(1,4)，则D(X)=2

C.若X～B(n,p)，则E(X)D(X)的值与n无关

D.若X是两点分布，则当p=1210.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1A.当点E运动时，A1C⊥AE总成立

B.当E向D1运动时，二面角A−EF−B逐渐变小

C.二面角E−AB−C的最小值为45°

D.三棱锥A−BEF的体积为定值

11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”).如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：

已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=A.当m=2时，a2025=2

B.当m=34时，使得an=1要13步“雹程”

C.当m=512时，S11=1027

D.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.根据成对样本数据建立变量y关于x的成对数据如下表所示：x12345y4a7910若由该数据得到的线性回归方程为y=1.6x+2.2，则a13.某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是23，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是______．14.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f(x)+f′(x)=4ex+1.若k[f(x)−2ex−1]≤x在四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知(2−x)6=a0+a1x+a16.(本小题15分)

已知单调递增数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(an+1)24．

(1)求数列{a17.(本小题15分)

2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个(决赛)环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有A，B，C三位同学参加比赛，A同学通过前两个环节的概率分别为23和12，B同学和C同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为23．

(1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率；

(2)设进入决赛的同学人数为X，求18.(本小题17分)

已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点T(32,32)，其中一个焦点在直线x+2y+2=0上，A为椭圆的上顶点，直线l：y=kx+m与椭圆G相交于不同的两点M，N．

(1)求椭圆G的方程；

(2)若k=1，O为坐标原点，求△OMN的面积最大时实数m的值；

(3)若直线AM19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax2−xlnx−ax．

(1)当a=2时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)若函数f(x)有两个极值点x1，x答案解析1.【答案】A

【解析】解：A选项，根据相关系数|r|≤1，故A选项正确；

B选项，r<0时，数据成负相关，r>0时，数据成正相关，故B选项错误；

C选项，|r|越接近1，线性相关性越强，|r|越接近0，相关性越弱，故C选项错误；

D选项，相关系数也可能接近−1，故D错误．

故选：A．

根据相关系数的性质即可求解．

本题考查了相关系数的性质，属于基础题．2.【答案】D

【解析】【分析】本题考查双曲线的性质，渐近线方程以及离心率的求法，属于基础题．

由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由双曲线的渐近线方程可得a，b的关系，由a，b，c之间的关系进而求出离心率．【解答】

解：由双曲线的方程可得渐近线为：y=±bax，

所以由题意可得：ba=3，

3.【答案】A

【解析】解：因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，

可得对称轴为X=3，

由对称性可知P(X>4)=P(X<2)=16，

故P(3<X<4)=12−16=4.【答案】C

【解析】解：由题意，圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1=2，

圆C2的圆心为C2(2,−2)，半径r2=4，

根据|C5.【答案】D

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

由a42=a6，得(a1q3)2=a1q5，即a1q=1，

又a1=13，故q=3，

所以S6.【答案】B

【解析】解：根据题意，4种美食的分配给3天的分配方案为2，1，1，

所以这三天他选择美食的不同选法种数为C42C21C11A33A22=36．

故选：B7.【答案】C

【解析】解：因为数f(x)=13x3+x2+bx−23，

所以f′(x)=x2+2x+b，

又数f(x)=13x3+x2+bx−23在x=1处的切线与直线y=1平行，

所以f′(1)=12+2+b=0，所以b=−3，

所以f(x)=13x3+x2−3x−23，f′(x)=x2+2x−3=(x+3)(x−1)，

令f′(x)>0得x>1或x<−3，令f′(x)<0得−3<x<1，

故f(x)在(−3,1)上单调递减，在(−∞,−3)，(1,+∞)上单调递增，

所以f(x)在x=1处取得极小值，

又f(1)=13+1−3−23=−73，令18.【答案】B

【解析】解：根据题意，P(B)=23，故P(B−)=1−P(B)=13，

P(A+B−)=34，即P(A)+P(B−)−P(AB−)=34，

变形可得P(AB−)=12+19.【答案】ACD

【解析】解：根据离散型随机变量的期望的性质可知E(2X+1)=2E(X)+1，故A正确；

因为X满足二项分布X∼N(1,4)，D(X)=4，故B错误；

由X∼B(n,p)，E(x)=np，D(X)=np(1−p)，则E(X)D(X)=11−p，故C正确；

因为X是两点分布，所以D(X)=p(1−p)=−p2+p=−(p−12)2+14，

则当p=12时，D(X)最大，故D正确．

故选：ACD．

由随机变量期望的线性运算可知A正确；10.【答案】ACD

【解析】解：对于A，连接A1C1，AD1，AB1，

因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，A1C1⋂A1A=A1，

所以B1D1⊥平面A1C1CA，

因为A1C⊂平面A1C1CA，所以B1D1⊥A1C，同理可证AD1⊥A1C，

因为AD1⋂B1D1=D1，所以A1C⊥平面AB1D1，

因为AE⊂平面AB1D1，所以A1C⊥AE总成立，故A正确；

对于B，平面EFB即平面BDD1B1，平面EFA即平面AB1D1，

所以当E向D1运动时，二面角A−EF−B的大小不变，故B错误；

对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,1,0)，B(0,1,0)，所以AB=(−1,0,0)，

因为E，F在B1D1上，且EF=22，

故可设E(t,1−t,1)，F(t−12,32−t,1)，12≤t≤1，

则AE=(t−1,−t,1)11.【答案】BCD

【解析】解：数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=an2,当an为偶数时,3an+1,当an为奇数时.记数列{an}的前n项和为Sn，

m=2时，a1=2，a2=1，a3=4，a4=2，a5=1，⋯，

所以此时数列{an}的周期为3，又2025÷3=375，所以a2025=a3=4，故A错误；

m=34时，a1=34，a2=17，a3=52，a4=26，a5=13，a6=40，a7=20，a8=10，a9=5

a1012.【答案】5

【解析】解：根据题意可知，x−=3,y−=4+a+7+9+105=30+a5，

该数据得到的线性回归方程为y=1.6x+2.2，

则30+a513.【答案】3281【解析】解：设种子发芽的粒数为随机变量X，则X～B(4,23)，

所以P(X=3)=C43×(23)3×13=3281，

14.【答案】(−∞,−1【解析】解：由于函数f(x)为偶函数，那么函数f(x)=f(−x)①，

所以f′(x)=−f′(−x)②，

在f(x)+f′(x)=4ex+1③中，用−x代替x得f(−x)+f′(−x)=4e−x+1④，

根据①②④可得，f(x)−f′(x)=4e−x+1⑤，

联立③⑤得，函数f(x)=2ex+2e−x+1，

那么k[f(x)−2ex−1]≤x可化简为：k≤xex2，

令函数g(x)=xex2，那么导函数g′(x)=(x+1)ex2，

那么g′(x)<0，得x<−1；g′(x)>0，得x>−1，

那么函数g(x)在(−1,+∞)上单调递增，在(−∞,−1)上单调递减，

则g(x)的最小值为g(−1)=−115.【答案】−160x3；

665【解析】(1)由题意，(2−x)6的展开式中的第k+1项为Tk+1=C6k⋅26−k⋅(−x)k=C6k⋅26−k⋅(−1)k⋅xk，

根据n=6为偶数，可知k=3时，第4项为二项式系数最大的项，

结合T4=C63⋅23⋅(−1)16.【答案】an=2n−1；

T【解析】(1)由已知得：4Sn=an2+2an+1，

当n=1时，4S1=4a1=a12+2a1+1，解得a1=1，

当n≥2时，4Sn−4Sn−1=4an=an2+2an+1−(an−12+2an−1+1)=an2−an−12+2an−2a17.【答案】427；

答案见解析．【解析】(1)根据题意，A同学通过前两个环节的概率分别为23和12，

B同学和C同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为23，

A，B，C三位同学仅通过第一个环节的概率分别为：

P1=23×(1−12)=13，P2=23×(1−23)=29，P3=23×(1−23)=29，

所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为：

P=13×29×(1−29)+13×(1−29)×29+(1−X0123P5035816所以随机变量X的数学期望为E(X)=0×50243+1×3581+2×827+3×16243=297243=119．

(1)分别计算出A，B，18.【答案】x23+y2=1．

±【解析】(1)因为焦点在直线x+2y+2=0上，令y=0，解得x=−c=−2，

又因为过点T(32,32)，那么可得(32)2a2+(32)2b2=1a2−b2=c2=2，解得a2=3b2=1，

因此椭圆G为x23+y2=1．

(2)如图，

当k=1时，直线l：y=kx+m(m≠0)，设N(x2,y2)，M(x1,y1)，

联立直线l和椭圆方程可得x23+y2=1y=x+m，化简得4x2+6mx+3m2−3=0，

因为根的判别式Δ=−12m2+48>0，那么可得m∈(−2,0)∪(0,2)，

根据韦达定理可得x1+x2=−3m2，x1x2=3m2−34，

点O到直线l的距离d=|m|2，

弦长|MN|=1+1⋅(x1+x2)2−4x1x2=2⋅3−3m24，

那么三角形OMN的面积S=12⋅d⋅|MN|=12⋅|m|2⋅2⋅3−19.【答案】3x−y−3=0．

当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当0<a<12时，f(x)在(1−1−4a22a,1+1−4a22a)上单调递减，在【解析】(1)由