【高考模拟】浙江省Z20联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第三次联考（二模）数学试题（含解析）

浙江省Z20联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第三次联考（二模）数学试题1．已知集合M=x∈Z∣2xA．0,1,2,3 B．1,2,3 C．0,1,2 D．1,22．已知复数z满足iz=1+i(i为虚数单位)，则z=A．2 B．2 C．1 D．23．“k=0”是“直线y=kx+2与圆x2A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为：lgE=4.8+1.5M.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为E1，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为E2，则A．100 B．200 C．1000 D．20005．已知非零向量a,b满足a=2b=A．−12b B．−32b6．已知数列an的前n项和为SA．若Sn>0，则an>0 C．若Sn≥an，则an>0 7．已知F1,F2分别是双曲线x2a2−y2bA．2 B．2 C．3 D．38．定义在0,+∞上的函数fx满足f1x=−fx,f2xA．3 B．4 C．5 D．69．下列结论正确的是（）A．若随机变量X∼N2,1，则B．若随机变量X∼N2,1，则C．若随机变量X∼Bn,12，且D．若随机变量X∼Bn,12，且10．已知函数fxA．π是fx的一个周期 B．fx的图象关于点C．fx的图象关于直线x=π2对称 D．f11．设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E、A．三棱锥A1B．三棱锥A1C．三棱锥A1D．三棱锥A112．若a−x(1+x)4的展开式中x3的系数为6，则实数a13．一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为.14．已知实数a,b满足a+b=2，则a+2b−1a2+15．△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,A+B=2C,acosC−A（1）求角A；（2）若点D在边AC上，BD=273且cos∠BDC=−16．已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC,AB⊥AD,BC=2,AB=AD=AP=1，△APB是等腰直角三角形，E为棱PC上一点.（1）当E为PC中点时，求证：ED∥平面PAB；（2）若PD=3，当CE=2EP时，求平面EBD与平面CBD17．已知函数fx（1）求函数fx图象在点1,0（2）若不等式fx≥lnx+ax恒成立，求实数18．已知F是椭圆E:x2a2+（1）求椭圆E的方程；（2）点Mx1,y1x1>0,y1>0①求FP−4②设A1,A2分别为椭圆E的左､右顶点，不垂直x轴的直线MF交椭圆于另一点N，直线NA1与直线MA2交于点19．若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”；若数列中某相邻三项成等比数列，则称该三项为“等比组”.现有一个12项的正项数列an:a1,（1）若数列an满足a①A1为“等差组”，A2为“等比组”，求②A1为“等比组”，A2为“等差组”，求（2）若数列an满足a1=1,a4（3）若数列an满足a1=1,a2

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】∵M=∴M=∵N={x∣∴N={x∣−2<x−2<2}={x∣0<x<4}∴M∩N=故答案为：D.【分析】先利用集合M，N化简，再结合交集的定义即可求得答案.2．【答案】B【解析】【解答】iz=1+i⇒z=1+ii=1−i故答案为：B．【分析】利用复数的除法进行化简，接着利用复数模公式尽心计算求解即可得到结果．3．【答案】C【解析】【解答】圆x2+y2−2y=0由直线y=kx+2与圆x2+y2−2y=0反之，当k=0时，直线y=2与圆x2所以“k=0”是“直线y=kx+2与圆x2故答案为：C

【分析】根据题意，由直线与圆相切，根据距离与半径的关系进行化简，结合充分条件、必要条件的定义进行判断即可得到结果.4．【答案】C【解析】【解答】由题设有lgE1=4.8+1.5×6.8故lgE1−lg故答案为：C.【分析】根据题意，利用对数运算进行化简即可得到结果.5．【答案】A【解析】【解答】已知|a|=2|b|=|a根据完全平方公式展开得：a2因为|a|=2|b|，所以即2a根据投影向量公式a⋅b|b|a在b方向上的投影向量为−1故答案为：A.【分析】根据题意，利用|a|=2|b6．【答案】D【解析】【解答】当n=1时，a1=S1>0仅知道Sn>0，无法确定Sn−1例如数列{an}为3,−1,−1,−1,⋯，S1=3>0，S当n=1时，a1=S1>0，则a仅知道Sn>0，无法确定Sn−1例如数列{an}为1,−0.5,2，S1>0当n=2时，a2+S当n=1时，S1=a1，由S1当n≥2时，Sn≥an即Sn例如数列{an}为0,0,0,⋯，Sn=0，满足S已知an+Sn≥0，当n=1当n=2时，a2S3−a3=a1+a2，由a1故答案为：D.【分析】利用题中的信息，结合Sn与an的关系7．【答案】A【解析】【解答】由题意F1c,0,由BF2的斜率为3得nm−c=3所以3m−ca+m×3=−1代入双曲线方程得3c−a216a化简得3c有3e4−2e3构造fx则f'x=9故当x>1时，f'x>0，所以fx在所以方程3e3+4故答案为：A【分析】根据题意，假设点的坐标，接着利用两点式求直线方程进而确定B点坐标，并将其代入曲线方程进行化简得到函数fx=3x8．【答案】B【解析】【解答】因为f2x=−f2x，故即fx而当x∈1,2时，f故当x∈2,4时，4x∈故fx当x∈1,2时，f而fx在1,32故fx=−14在当x∈2,4时，f而4x∈1,2，故fx∈故当x∈4k,4k+1结合1,4上fx的性质可得fx=−且该实数解为x=3⋅4k−1而43<100<4故fx=−14在1,100上的实数解为x=3x=3故fx故答案为：B.【分析】根据题意，f2x=−f2x得到9．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A，因为随机变量X∼N2,1，则μ=2,σ=1，所以Px≥3=Px≥μ+σ，因为对于B，因为随机变量X∼N2,1，则μ=2,σ=1所以P3<x<4=Pμ+σ<x<μ+2σ根据正态分布曲线的对称性可知：Pμ+σ<x<μ+2σ对于C，因为随机变量X∼Bn,12又因为EX=2，所以n=4，则有对于D，由DX=1，则故答案为：BCD.【分析】对于AB，利用正态分布的对称性进行判断，对于CD，利用二项分布公式求出对应的期望与方差进行判断.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】fx因为fx+π=因为fπ因为fπ−x=cos2当x∈π2,π时，2x∈π,2π又y=t2−4t−14,t∈故答案为：ACD.【分析】根据题意，先将fx=sin4x−cos211．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A选项，因为AE⊥AF，由勾股定理可得AE由基本不等式可得1=AE2+A当且仅当AE=AF=22时，等号成立，则故VA1−AFE对于B选项，将三棱锥A1−AEF补成长方体设三棱锥A1−AEF的外接球半径为R，则所以R=22，故三棱锥A1对于C选项，作正方体BCQP−B设平面A1C1E交线段CQ于点U，连接因为平面ABB1A1//平面C平面A1C1E∩平面CC故四边形A1因为AA1//CC1又因为AA1=CC1，∠设AE=a，AF=b，则a2S=a+b因为C1U//A1E，C1U⊄平面A1EF所以点U到平面A1EF的距离等于点C1故VA对于D选项，以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、设∠AEF=θ，其中0≤θ≤π2，则A10,0,1、Ecos设三棱锥A1−EFC1的外接球球心为Ox,y,z则r2=x设fθ=r则函数fθ在0,π2故答案为：ABD.

【分析】对于A，根据垂直，以及勾股定理，利用体积公式结合基本不等式进行化简即可得到A的正误；对于B，先将图像进行补形成长方体，利用长方体计算半径，进而计算体积即可；对于C，补形，补形成正方体，结合体积公式以及等体积法进行运算化简即可得到结果；对于D，建系，利用空间坐标进行向量运算即可进行判断。12．【答案】3【解析】【解答】由1+x4有：Tk+1=C4所以4a−6=6⇒a=3，故答案为：3.【分析】根据题意，先求出1+x4的通项Tk+1=C4kx13．【答案】16【解析】【解答】袋中有非红球6个，则第一次没有摸到红球的概率为P1第二次没有摸到红球的概率为P2=5所以前三次均未摸到红球的概率为P=P所以前三次至少有一次摸到红球的概率为1−P=1−5故答案为：1621【分析】根据题意，利用间接法求解，先求前三次均未摸到红球的概率，进而求出前三次至少有一次摸到红球的概率.14．【答案】10【解析】【解答】a+2b−1a设向量OA=(a,b),故a+3ba2+故a+2b−1a2+故答案为：102【分析】根据题意，先对a+2b−1a2+b215．【答案】（1）由三角形内角和定理可知：A+B=π−C=2C⇒C=π再由acosC−AsinAcos因为sinA>0，所以有cosC−A=1（2）由cos∠BDC=−714，在△BDC中，可得sin∠BDC=再由正弦定理得：BCsin∠BDC再由余弦定理可得：BD即27解得CD=23或因为cos∠BDC=−714，所以故CD=23，所以△BCD的面积【解析】【分析】（1）先利用三角形的三角关系得到C的大小，接着利用正弦定理求出cosC−A=1，进而得到结果；

（2）根据cos∠BDC=−714求出（1）由三角形内角和定理可知：A+B=π−C=2C⇒C=π再由acosC−AsinAcos因为sinA>0，所以有cosC−A=1（2）由cos∠BDC=−714，在△BDC中，可得sin∠BDC=再由正弦定理得：BCsin∠BDC再由余弦定理可得：BD即27解得CD=23或因为cos∠BDC=−714，所以故CD=23，所以△BCD的面积16．【答案】（1）取PB中点F，连接EF,AF，则EF∥BC，且EF=1又AD∥BC，AD=12BC，所以EF∥AD则四边形EFAD是平行四边形，所以ED∥FA，又ED⊄平面PAB，FA⊂平面PAB，所以ED∥平面PAB.（2）在平面PAD内，过点A作直线AM⊥AD，由已知AB⊥AD且AB⊥PA，又AD∩PA=A，AD,PA⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以AB⊥AM，由AM⊥AD，AB⊥AM，AB∩AD=A，AB,AD⊂平面ABCD，可得AM⊥平面ABCD，以A为原点，AB,AD,AM分别为x,y,z轴建系，则B1,0,0由CE=23CP可得则BD=设平面BCE的法向量为n=则n⋅BC=−x+y=0n⋅所以n=不妨取平面BCD的一个法向量m=设平面EBD与平面CBD夹角为θ，则cosθ=所以平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为77【解析】【分析】（1）根据题意，利用线面平行的判定定理证明即可得到结果；

（2）根据题意，先证明线面垂直得到三线两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求平面法向量，结合二面角的夹角计算即可得到结果.（1）取PB中点F，连接EF,AF，则EF∥BC，且EF=1又AD∥BC，AD=12BC，所以EF∥AD则四边形EFAD是平行四边形，所以ED∥FA，又ED⊄平面PAB，FA⊂平面PAB，所以ED∥平面PAB.（2）在平面PAD内，过点A作直线AM⊥AD，由已知AB⊥AD且AB⊥PA，又AD∩PA=A，AD,PA⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以AB⊥AM，由AM⊥AD，AB⊥AM，AB∩AD=A，AB,AD⊂平面ABCD，可得AM⊥平面ABCD，以A为原点，AB,AD,AM分别为x,y,z轴建系，则B1,0,0由CE=23CP可得则BD=设平面BCE的法向量为n=则n⋅BC=−x+y=0n⋅所以n=不妨取平面BCD的一个法向量m=设平面EBD与平面CBD夹角为θ，则cosθ=所以平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为7717．【答案】（1）f'所以f'所以在点1,0处的切线方程为y=x−1（2）又fx参变分离得：a≤x令gx得g'令ℎ(x)=x2eℎ'ℎx在0,+所以当x∈0,1时，ℎx<0，当x∈即当x∈0,1时，g'x<0，当所以当x∈0,1时，gx单调递减，当x∈1,+最小值为g所以a≤0，即实数a的取值范围是−∞【解析】【分析】(1)求导得到直线斜率，进而求出直线方程；

（2）求参数，进行参变分离成a≤xex−1（1）f'所以f'所以在点1,0处的切线方程为y=x−1（2）又fx参变分离得：a≤x令gx得g'令ℎ(x)=x2eℎ'ℎx在0,+所以当x∈0,1时，ℎx<0，当x∈即当x∈0,1时，g'x<0，当所以当x∈0,1时，gx单调递减，当x∈1,+最小值为g所以a≤0，即实数a的取值范围是−∞18．【答案】（1）由已知ca=1所以b2=a（2）由已知ca=1所以b2=a（2）①因为切线l:xx14+yy13因为点Mx1,y1x1又FM=因为FP=4x1−1>0所以FM=2−所以FP−4当且仅当4x1=2x1，即x②由已知设直线MN：x=my+1m≠0，N由x24+则y1+y所以my因为A1−2,0，Nx因为A22,0，Mx所以x=6即点Q4,2y1x与直线MN联立，得x=m因为x1=myx=m即x12x即点R在直线x=2上.【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合椭圆的a，b，c的关系列出等式组求解即可得到结果；

（2）根据切线方程得到P的坐标，进而得到FP=4x1−1②设直线MN：x=my+1m≠0，Nx2,y2，接着联立，利用韦达定理：my1y2=32y1（1）由已知ca=1所以b2=a（2）①因为切线l:xx14+yy13因为点Mx1,y1x1又FM=因为FP=4x1−1>0所以FM=2−所以FP−4当且仅当4x1=2x1，即x②由已知设直线MN：x=my+1m≠0，N由x24+则y1+y所以my因为A1−2,0，Nx因为A22,0，Mx所以x=6即点Q4,2y1x与直线MN联立，得x=m因为x1=myx=m即x12x即点R在直线x=2上.19．【答案】（1）①因为A1为“等差组”，故a1,a2,a3成等差数列，故2a2=a1+a3，故a3=3，而A2为“等比组”，故a2,a（2）因为A1,A2为“等差组”或“等比组”，故有4种情形：若A1为“等差组”，A2为“等差组”，则a2=a1+4−13×1=2,a3=3,a4=4；

若A1为“等差组”，A2为“等比组”，则2a2=a1+a3=1+a3,a32=a2a4=4a2，

而an为正项数列，故2a2−12=4a2即4a22−8a2（3）先考虑一个一般命题：若a2>a1>0，若正项数列a1,a2,a3,a4中A1,A2中一个“等差组”，另一个为“等比组”，则先“等比组”再“等差组”得到的a4较大.

证明：若先“等差组”，再“等比组”，则a4=2a2