4.2.2 一元线性回归模型的应用 学案（含答案） 高二数学湘教版选择性必修2

4．2.2一元线性回归模型的应用学习目标(1)通过实例，会用一元线性回归模型进行预测．(2)通过实例，能把非线性关系转化为近似的线性关系，求非线性回归方程．课前预习要点一运用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤1．确定研究对象，明确哪个变量是因变量，哪个变量是自变量；2．运用相关系数的计算公式，分析自变量与因变量之间的关系；3．运用最小二乘法原理估计一元线性回归方程的系数，建立一元线性回归方程；4．根据一元线性回归方程进行预测．要点二非线性回归当样本点并没有分布在某条直线附近时，不能直接利用线性回归模型来刻画两个变量之间的关系，这就需要选择一个比较合适的代换变量，将原始数据进行代换，目的是把变量间的非线性关系转化为近似的线性关系，然后用建立线性回归方程的方法确定直线方程．基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个变量都可以用一元线性回归关系进行合理的描述．()(2)对于一个样本，用最小二乘法估计得到的一元线性回归方程参数估计值是唯一的．()(3)任何两个相关关系的变量经过变换后都可以化为一元线性回归关系．()2．在某线性回归分析中，已知数据满足线性回归方程y＝bx＋a，并且由观测数据算得x＝5，y＝56，b＝10.5，则当x＝10时，预测数值y为()A．108.5B．210C．140D．210.53．若某销售人员的提成y(元)关于销售业绩x(千元)的线性回归方程为y＝50＋80x，则下列判断正确的是()A．销售业绩为1000元时，提成一定是130元B．销售业绩每提高1000元，则提成约提高80元C．销售业绩每提高1000元，则提成约提高130元D．当提成为120元时，销售业绩约为2000元4．为了解某社区居民的家庭年收入x与年支出y的关系，随机调查了该社区5户家庭，依据统计数据得到回归直线方程y＝0.76x＋0.4，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为________万元．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1线性回归方程的应用例1某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价x(元)试销1天，得到如表单价x(元)与销量y(册)数据：附：，.(1)根据表中数据，请建立y关于x的回归直线方程；(2)预计今后的销售中，销量y(册)与单价x(元)服从(1)中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？方法归纳若已知y与x是线性相关关系，则可求出回归方程进行估计和预测．否则，若两个变量不具备相关关系或它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也毫无意义．巩固训练1某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x(单位：元/件)及相应月销售量y(单位：万件)，对近5个月的月销售单价xi和月销售量yi(i＝1，2，3，4，5)的数据进行了统计，得到如下表数据：(1)求y关于x的回归直线方程；(2)利用(1)的回归方程，当该产品月销售单价为x＝35元/件，月销售量y的预测值为多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式为：y＝bx＋a，其中b＝，a＝y－bx题型2非线性回归方程的应用例2科研人员在研制新冠肺炎疫苗过程中，利用小白鼠进行接种实验，现收集了小白鼠接种时的用药量x(单位：毫克)和有效度y的7组数据，得到如下散点图及其统计量的值：其中.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx2哪一个更适合作为有效度y与用药量x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)若要使有效度达到75，则用药量至少为多少毫克？方法归纳求非线性回归方程的步骤巩固训练2在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：试建立y与x之间的线性回归方程．参考答案课前预习[基础自测]1．(1)×(2)√(3)×2．解析：线性回归方程y＝bx＋a中，x＝5，y＝56，b＝10.5，∴a＝y−bx∴线性回归方程为y＝10.5x＋3.5，当x＝10时，预测数值y＝10.5×10＋3.5＝108.5.故选A.答案：A3．解析：由线性回归方程y＝50＋80x，可知销售业绩每提高1000元，则提成约提高80元．故选B.答案：B4．解析：令x＝15，所以y＝0.76×15＋0.4＝11.8.答案：11.8题型探究·课堂解透例1解析：(1)由表格数据知：x＝18+19+20+21+225＝20，y＝61+56+50+48+45∴b＝i=15xiyi−5xy∴y关于x的回归直线方程为y＝－4x＋132.(2)设获得的利润为W，则W＝(x－12)y＝(x－12)(－4x＋132)＝－4x2＋180x－1584，∴当x＝－180−8即为了获得最大利润，该册书的单价应定为22.5元．巩固训练1解析：(1)x＝10+15+20+25+305＝20，y＝11+10+8+6+5b＝i=15xi−xa＝8＋825×20＝72所以y关于x的回归直线方程为y＝－825x＋72(2)当x＝35时，y＝－825×35＋725＝所以当该产品月销售单价为x＝35元/件，月销售量y的预测值为165例2解析：(1)由散点图知，y与x是非线性相关关系，所以y＝c＋dx2更适合作为有效度y与用药量x的回归方程类型．(2)令ωi＝xi∴d＝i=17ωic＝y−dω∴y＝－3.4＋1.6ω，故y关于x的回归方程为y＝－3.4＋1.6x2.(3)当y＝75时，有75＝－3.4＋1.6x2，解得x＝7，故要使有效度达到75，则用药量至少为7毫克．巩固训练2解析：作出变量y与x之间的散点图，如图所示．由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系．设y＝kx，令t＝1由y与x的数据表可得y与t的数据表：t4210.