动力学基础 课件 11-分析静力学

2025年7月25日第六章

基本概念与虚位移原理

约束及其分类约束：牛顿力学观点？分析力学：对质点系运动预加的限制条件约束可简记为约束的形式和机理是千差万别的由刚性杆连接的两个质点圆盘在粗糙平面上纯滚动导弹运动方向瞄准目标约束方程：描述限制条件的数学表达式双面约束（Equalityconstraints） 单面约束（Inequalityconstraints）约束的分类几何约束（Configurationconstraint） 运动约束（Differentialconstraint）完整约束（Holonomicconstraint） 非完整约束（Nonholonomicconstraint）定常约束（Scleronomicconstraint） 非定常约束（Rheonomicconstraint）本课程主要学习受双面、定常、完整约束的非自由质系。如约束方程为等式，则称其为双面约束或等式约束；否则称为单面约束或不等式约束。单面约束和双面约束刚性杆柔索返回对于单面约束，质点的运动可以分阶段考虑（无约束阶段和双面约束阶段）。几何约束—约束方程中不包含速度几何约束和运动约束返回A运动约束—约束方程中包含速度，也称为微分约束。完整约束和非完整约束几何约束和可以积分成为几何约束的运动约束(IntegrableDifferentialConstraint)，称为完整约束，不可积的运动约束称为非完整约束AMT返回冰刀的运动完整约束：既是对质点的位矢施加的限制，也是对质点在每一位置的速度施加的限制非完整约束：对位矢没有限制，只是对质点在每一位置的速度施加限制定常约束—约束条件不随时间t变化的约束定常约束和非定常约束非定常约束—约束条件随时间t变化的约束返回被限制在某个平面内运动的质点约束方程：

z=0例1定常、双面、几何约束被限制在某个球心位于坐标原点的球面上运动的质点，球半径随时间变化r=f(t)非定常、双面、几何约束用长为l的绳相连的两个质点单面、定常、几何约束2025年7月25日虚位移

VirtualDisplacement质点的虚位移质系的虚位移自由度广义坐标理想约束质点的虚位移在给定瞬时，质点的约束所允许的任意无限小假象的位移，称为虚位移，用δr表示。虚位移只满足给定瞬时的约束条件δt=0真实位移除满足约束条件外，还取决于所受的主动力及运动的初始条件Δt>0或dt>0虚位移有无穷多个定常约束情况下，实位移是虚位移中的一种真实位移虚位移定常约束质点的虚位移虚位移应满足给定瞬时的约束条件，即将约束面在该时刻‘凝固’虚位移位于给定瞬时约束曲面的切面上非定常约束情况下，实位移不是虚位移中的一种虚位移可以看成是相对于约束的任意可能的无限小位移非定常约束虚位移真实位移质系的虚位移分析

几何法某瞬时质系中各质点的虚位移集合。在每一组质系的虚位移中，各质点的虚位移都必须满足约束条件。和在AB连线上的投影相等对定常约束，实位移是虚位移中的一种，因此可以用运动学中分析速度的方法分析质系每组虚位移中各质点虚位移间的关系—分析质系虚位移的几何法。αθ定常约束：实位移是虚位移中的一种虚位移间的关系速度间的关系实位移间的关系质系的虚位移分析

解析法设质系受完整约束在某瞬时t，给质系一组虚位移δri作泰勒展开（略去二阶以上小量）微分等时变分等时变分运算与微分运算类似，但δt=0。将向径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方程进行等时变分就可以。得到虚位移之间的关系—分析质系虚位移的解析法。例1刚性杆等时变分约束方程：虚位移满足的关系：独立的虚位移数就是质系的自由度。例如：沿曲面运动的质点有2个自由度。纯滚动的圆柱有1个自由度。作纯滚动的球有2个自由度。思考题：自行车有几个自由度？能否列出自行车运动方程？自由度N–质点/刚体总数

r–完整约束的总数s–非完整约束的总数自由度数广义坐标数为：如果质系只有完整约束，s=0，广义坐标数与自由度相同，n=k。完整约束还是非完整约束？三维质点系：m

=

3二维质点系：m

=

2三维刚体系：m

=

6二维刚体系：m

=

3实例分析利用广义坐标描述质系运动几何约束自然满足N=2r=1n=k=3OxyrlABN=2r=3n=k=1OxyABlθMTN=2r=1k=3s=1n=2沿水平方向飞行的飞机xyBAO在平面上运动的圆锥OO'两个叠放在一起的陀螺元功力的元功d'Ai不一定是函数Ai的全微分(perfectdifferential)！力系的元功力系的虚功：力系在虚位移上所做的元功外力功内力功VirtualWork理想约束理想约束：约束反力在质系任意虚位移上所做的虚功恒等于零的约束。无滑动的滚动rollingwithoutslipC光滑曲面约束worklessconstraintsNF变长度单摆理想约束运动的光滑曲面约束u以下约束是否为理想约束？虚功为零，实功不一定为零！AB不可伸长的绳子连接的质点

α1

α2OABα1α2为什么？什么情况下两者均为0？理想约束的约束反力在真实位移上所做的实功不一定等于零，但在虚位移上所做的虚功一定等于零。真实位移虚位移可能位移本节的基本概念虚位移什么是虚位移？为什