2021-2022学年人教A版必修一 2.2.1.2.对数的运算 课件（33张）

第2课时对数的运算1.对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)积的对数:loga(M·N)=___________.(2)商的对数:loga=___________.(3)幂的对数:logaMn=____________.必备知识·自主学习logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM(n∈R)【思考】在积的对数运算性质中,三项的乘积式loga(MNQ)是否适用?你可以得到一个什么样的结论?提示:适用,loga(MNQ)=logaM+logaN+logaQ,积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积.2.换底公式若a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,则有logab=________【思考】(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式?提示:

(2)你能用换底公式推导出结论吗?提示:

【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)lg(x+y)=lgx+lgy. (

)(2)log2(16-8)=log216-log28. (

)(3)=1. (

)提示:(1)×.令x=y=1,则lg(x+y)=lg2>lg1=0,而lgx+lgy=0,不成立.(2)×.等式的左边=log2(16-8)=log28=3,右边=log216-log28=4-3=1.(3)×.等式的左边=2.计算log69+log64= (

)A.log62 B.2C.log63 D.3【解析】选B.log69+log64=log636=2.3.(教材二次开发:练习改编)若log34×log48×log8m=log416,则m=________.

【解析】原方程可化为

即lgm=2lg3=lg9,所以m=9.答案:9关键能力·合作学习类型一对数运算性质的应用(数学运算)【典例】1.计算lg2+lg5+2log510-log520的值为(

)A.21 B.20C.2 D.12.已知a=log32,用a来表示log38-2log36为 (

)A.a-2 B.5a-2C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-13.计算:lg5(lg8+lg1000)+()2+lg+lg0.06.【思路导引】1.逆用对数的运算性质合并求值.2.变形8=23,6=2×3,利用对数运算性质展开后代入a.3.综合利用对数的运算性质求值.【解析】1.选C.lg2+lg5+2log510-log520=1+log5=1+1=2.2.选A.log38-2log36=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.3.原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2-lg6+lg6-2=3lg5·lg2+3lg5+3(lg2)2-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=1.【解题策略】利用对数运算求值的方法(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【跟踪训练】计算:+lg4+lg25.【解析】原式=

+2lg2+2lg5=6+2(lg2+lg5)=8.

【补偿训练】求下列各式的值:(1)+2lg2+lg25.(2)(3)【解析】(1)原式=

+lg4+lg25=+lg100=+2=(2)原式=(log27-log248)+log23+2log22-(log22+log23+log27)=log27-log23-log216+log23+2-log27-=-.(3)原式==2.类型二换底公式的应用(数学运算)【典例】1.(log43+log83)(log32+log92)=________.

2.已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645的值.【思路导引】利用换底公式求值或变形.【解析】1.原式=答案:

2.方法一:因为18b=5,所以log185=b.所以log3645=方法二:因为18b=5,所以log185=b.所以log3645=

方法三:因为log189=a,18b=5,所以lg9=alg18,lg5=blg18.所以log3645=【解题策略】利用换底公式进行化简和求值(1)一般先换底为常用对数或自然对数再进行化简求值.(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用.(3)注意常见结论的应用,如对数的倒数公式=logba.【跟踪训练】1.已知log1227=a,求log616的值.2.计算(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258)的值.【解析】1.由log1227=a,得所以lg2=所以log616=2.方法一:原式=

方法二:原式=

方法三:原式=类型三对数运算性质的综合应用(数学运算)角度1与方程有关的对数问题

【典例】若2lg(x-2y)=lgx+lgy,则的值为 (

)A.4 B.1或C.1或4 D.【思路导引】将原式去掉对数转化为含x,y的方程.【解析】选D.因为2lg(x-2y)=lgx+lgy,所以lg(x-2y)2=lg(xy),(x-2y)2=xy,所以x2+4y2-5xy=0,所以解得或=1(舍),所以的值为.【变式探究】本例中的方程改为lgx+lgy=2lg(2x-3y),试求的值.【解析】因为lgx+lgy=2lg(2x-3y),所以解得(舍去).所以角度2实际应用问题

【典例】通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级,其计算公式是M=lgA-lgA0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅,M为震级.则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的____倍.

【思路导引】利用公式表示出8级、5级时的最大振幅求比值.【解析】由M=lgA-lgA0可得,M=即=10M,A=A0·10M,当M=8时,地震的最大振幅为A8=A0·108;当M=5时,地震的最大振幅为A5=A0·105;所以两次地震的最大振幅之比是:=108-5=1000.所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.答案:1000【解题策略】1.与对数方程有关的问题利用对数的性质转化为普通方程,通过变形求解,得出结论后要验证方程中的对数式是否有意义.2.与对数相关的实际问题对数可以解决一些比较庞大的数据运算,因此在天文、物理、考古等问题中有广泛的应用,首先将实际问题利用对数表示,再利用对数、指数运算解决问题.【题组训练】1.方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212的解x=____.

【解析】因为方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212,所以即解得x=-1.答案:-12.某工厂从2000年的年产值1000万元增加到2018年的5000万元,如果每年年产值增长率相同,则每年年产值增长率是多少?(ln(1+x)≈x,取lg5≈0.7,ln10≈2.3)【解析】设每年年产值增长率为x,根据题意得1000(1+x)18=5000,即(1+x)18=5,两边取常用对数,得18lg(1+x)=lg5,即lg(1+x)=×0.7.由换底公式,得由已知条件ln(1+x)≈x,得x≈ln(1+x)=×ln10≈≈0.0894≈9%,所以每年年产值增长率约为9%.

备选类型半衰期中的对数运算问题(数学建模)【物理情境】在物理学上,一个放射性同位素的半衰期是指一个样本内,其放射性原子衰变至原来数量的一半所需的时间.测定古植物的年代可用放射性碳法.在植物内部含有微量的放射性元素14C,在植物死亡后,新陈代谢停止,14C就不再产生,且原有的14C会自动衰变,经过5730年(14C的半衰期)它们的残余量就只有原始含量的,经过科学测定,若14C的原始含量为a,则经过t年后的残余量at与a之间满足关系式at=a·e-kt.现有一出土古植物,其中的14C的残余量占原始含量的87.9%,试推算出这个古植物死亡的时间.(lg2≈0.3010,lg0.879≈-0.056)【转化模板】1.建—由题意可建立对数运算模型求解;2.译—已知at=a·e-kt.当t=5730时,若=0.879,试求t的值.(lg