动力学基础 课件 27-刚体动力学3；28-刚体动力学4

一般刚体定轴转动刚体定轴转动的动力学方程设刚体上有两个固定点O和O1。刚体所受主动力主向量为R，对O点主矩为Mo，F

和F1为约束反力。反问题：已知求动力学正问题：已知求对O的动量矩定理：由动量定理：设为转角。取惯性系OXYZ和固联系Oxyz。其中在求解具体问题时，需要将这两个向量方程写成在OXYZ中或Oxyz中的分量形式。设OXYZ和Oxyz中的单位向量为：其中：为常数(已知)

为时间的函数(未知)显然，在Oxyz中写方程更方便。利用，即可得方程在Oxyz

中的分量形式。另外方法：利用绝对导数和相对导数的关系方程变为：记Oxyz中最后得到运动方程的分量形式为：可以看出：1.求解正问题只需要最后一个方程；2.求反力时(6个未知数)，需要其它5个方程，但是不能完全确定两个反力z方向的分量，只能确定它们之和。3.对静定问题，一个铰链为滑动，因此可以认为F1z=0。等腰直角三角板绕一个直角边转动，设求使板对O点的侧压力为零的。例1

已知可解出，侧压力解静反力：当系统静止时的约束反力。动反力：维持系统运动所需约束反力，当运动停止时该力消失。当刚体作定轴转动时受到转轴动反力，转子对转轴的反作用力中包括动反力和静反力。动反力可否为零？条件是什么？方程(1)和(2)可看做是关于和的齐次线性方程组，它们的系数行列式都是：(当刚体转动时)结论：刚体定轴转动时，动反力为零的充分必要条件是：

转动轴是中心惯性主轴。动反力为零的条件作业第五章：5、6、8刚体定点运动的运动微分方程刚体定点运动的运动微分方程运动学方程方程组封闭，可求解动力学问题。欧拉动力学方程然而，这是关于欧拉角的非线性耦合方程，解析求解非常困难，一般情况下不存在解析解。因此刚体动力学古典研究主要集中于重刚体定点运动。这时有：OGa例1半径为r、质量为m的均质车轮沿圆弧作纯滚动，如图所示，已知轮心E的速度u为常数，轮心到O点距离为R。求车轮对地面的压力。解根据轮心速度u，得OE轴绕OD轴的角速为D根据刚体定点运动关系得轮子绝对角速度和相对OE轴的角速度分别为：什么情况下对地面的压力恰好为0？陀螺近似理论陀螺基本公式陀螺：定点运动的轴对称刚体（A=B）我们知道，若：反之，若刚体规则进动且A=B，那么则刚体作规则进动；D基本公式推导规则进动章动角常数。陀螺基本公式此式称为陀螺基本公式。当或时

当时特殊情况：陀螺近似理论现代科技中采用的陀螺仪，转子自转角速度极高：于是有陀螺运动特点(3)当某一力F作用在陀螺对称轴上时，对称轴将向的方向运动；当该力停止作用时，对称轴将停止运动。

(1)当时，沿着对称轴方向，并且在惯性空间中保持不变。近似的永久转动。(2)当时，向量的端点在空间中运动的速度等于。陀螺运动特点(4)设短时间内作用在陀螺上的力F将使对称轴偏离原方向角。若冲量为有限量，则由，可知

，在实际中很小。陀螺具有短时间的方向保持能力（抗干扰能力）陀螺运动特点例如自旋卫星受干扰力矩作用，经过较长时间后，自旋轴的方向将有较大的变化，必须实施控制。陀螺仪表会“漂移”，使用过程中必须定期校准。陀螺的方向保持能力，在工程中有很多应用。如自旋卫星、导弹、鱼雷、轮船的定向定位等。(5)当高速旋转陀螺的动量矩方向改变时，反过来会对其载体产生陀螺力矩，记为，则有陀螺力矩示例例3飞机以速度v水平盘旋，半径(转弯)为ρ，螺旋桨转动惯量为C，转速为，求螺旋桨对飞机的陀螺力矩。飞机向左转弯时，形成的陀螺力矩使飞机头部抬起；飞机向右转弯时，陀螺力矩使飞机头部底下。重刚体定点运动的积分问题欧拉情况：欧拉情况下刚体运动方程存在两个首次积分动量矩守恒：能量守恒：代入欧拉方程得（不妨设A>B>C）：将当作参数，可以从这两个表达式解出最后可用椭圆积分形式写出角速度分量的表达式。重刚体定点运动：OGrOxyz为固连系，惯性主轴。重心在其中坐标为(a,b,c)。3-1-3欧拉角为固定惯性系OXYZ系OZ轴单位矢量(n)在固连系中坐标为

。运动微分方程的首次积分：柯娃列夫斯卡亚情况：方便起见可取：b=0拉格朗日情况：刚体对称A=B;重心位于对称轴上，即a=b=0；则有：重刚体定点运动的积分问题3)科娃列夫斯卡娅情况(1888年)：重心在赤道面上，解可以用超椭圆函数表示。1)欧拉情况(1758年)：，即重心与固定点重合，解可以用椭圆函数表示。2)拉格朗日情况(1788年)：A=B，重心在对称轴上，解可以用椭圆函数表示。4)Husson(1905年)、Burgatti(1910年)证明：除上述三种情况外，不存在其它可积情况。在一些情况下可求出适用任何初值的解析解。例4：AOmiriedi设单位向量的列阵为求：对过O点任意轴e的转动惯量。例：在若干平行轴中，刚体对通过质心之轴的转动惯量最小。(转动惯量的移轴公式)XYZxyzOC移心：求对两点的转动惯量的关系。思考题对称刚体自由定点运动中，规则进动时章动角能否为90度？或者章动角的可能范围是多少？任意刚体会如何？总结惯性矩阵、惯性张量刚体定点运动的动量矩和动能刚体一般运动的动力学方程一般刚体定轴转动的动力学方程轴对称刚体的定点自由转动重刚体的定点运动欧拉情况下的刚体永久转动陀螺基本公式及陀螺近似理论本周作业第五章：4、7、9、15陀螺近似理论陀螺基本公式陀螺：定点运动的轴对称刚体（A=B）我们知道，若：反之，若刚体规则进动且A=B，那么则刚体作规则进动；D基本公式推导规则进动章动角常数。陀螺基本公式此式称为陀螺基本公式。当或时

当时特殊情况：陀螺近似理论现代科技中采用的陀螺仪，转子自转角速度极高：于是有陀螺运动特点(3)当某一力F作用在陀螺对称轴上时，对称轴将向的方向运动；当该力停止作用时，对称轴将停止运动。

(1)当时，沿着对称轴方向，并且在惯性空间中保持不变。近似的永久转动。(2)当时，向量的端点在空间中运动的速度等于。陀螺运动特点(4)设短时间内作用在陀螺上的力F将使对称轴偏离原方向角。若冲量为有限量，则由，可知

，在实际中很小。陀螺具有短时间的方向保持能力（抗干扰能力）陀螺运动特点例如自旋卫星受干扰力矩作用，经过较长时间后，自旋轴的方向将有较大的变化，必须实施控制。陀螺仪表会“漂移”，使用过程中必须定期校准。陀螺的方向保持能力，在工程中有很多应用。如自旋卫星、导弹、鱼雷、轮船的定向定位等。(5)当高速旋转陀螺的动量矩方向改变时，反过来会对其载体产生陀螺力矩，记为，则有陀螺力矩示例例3飞机以速度v水平盘旋，半径(转弯)为ρ，螺旋桨转动惯量为C，转速为，求螺旋桨对飞机的陀螺力矩。飞机向左转弯时，形成的陀螺力矩使飞机头部抬起；飞机向右转弯时，陀螺力矩使飞机头部底下。控制力矩陀螺框架角速度陀螺输出力矩转子角动量框架坐标系基座坐标系星体角速度框架角度控制力矩陀螺基本方程陀螺输入力矩输入/输出之比值由于航天器惯量比陀螺系统大很多，输入力矩和输出力矩的比值可以很大，从而可以用小的马达产生大的力矩——这是CMG最大的优点。也是可以用于大型航天器姿态控制的原因。控制力矩陀螺和飞轮在控制机理方面的不同：飞轮是输入方向输出，产生多大的力矩取决于飞轮的大小和马达的功率。CMG是在输入的垂直方向产生力矩。力矩的大小取决于陀螺转子的转速和轴承的承载能力。例4：AOmiriedi设单位向量的列阵为求：对过O点任意轴e的转动惯量。例5：在若干平行轴中，刚体对通过质心之轴的转动惯量最小。(转动惯量的移轴公式)XYZxyzOC移心：求对两点的转动惯量的关系。重刚体定点运动的积分问题欧拉情况：欧拉情况下刚体运动方程存在两个首次积分动量矩守恒：能量守恒：代入欧拉方程得（不妨设A>B>C）：将当作参数，可以从这两个表达式解出最后可用椭圆积分形式写出角速度分量的表达式。重刚体定点运动：OGrOxyz为固连系，惯性主轴。重心在其中坐标为(a,b,c)。3-1-3欧拉角为固定惯性系OXYZ系OZ轴单位矢量(n)在固连系中坐标为

。运动微分方程的首次积分：柯娃列夫斯卡亚情况：方便起见可取：b=0拉格朗日情况：刚体对称A=B;重心位于对称轴上，即a=b=0；则有：重刚体定点运动的积分问题3)科娃列夫斯卡娅情况(1888年)：

，重心在赤道面上，解可以用超椭圆函数表示。1)欧拉情况(1758年)：，即重心与固定点重合，解可以用椭圆函数表示。2)拉格朗日情况(1788年)：A=B，重心在对称轴上，解可以用椭圆函数表示。4)Husson