专题22.1 二次函数的图象和性质-九年级数学人教版（上册）

1．二次函数的定义（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做__________．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数．（2）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．（3）二次函数的判断方法：①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．2．二次函数y=ax2的图象和性质函数y=ax2（a>0）y=ax2（a<0）图象开口方向__________向下顶点坐标（0，0）__________对称轴__________y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．3．二次函数y=ax2+k的图象和性质函数y=ax2+k（a>0）y=ax2+k（a<0）开口方向向上__________顶点坐标__________（0，k）对称轴y轴__________增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而_________x>0时，y随x的增大而________；x<0时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k4．二次函数y=a（x-h）2的图象和性质函数y=a（x-h）2（a>0）y=a（x-h）2（a<0）开口方向向上向下顶点坐标__________（h，0）对称轴x=h__________增减性x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=__________时，y最小值=0当x=h时，y最大值=05．二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质函数y=a（x-h）2+k（a>0）y=a（x-h）2+k（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（h，k）__________对称轴x=hx=h增减性x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的_______而减小x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k6．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质函数y=ax2+bx+c（a>0）y=ax2+bx+c（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（，__________）（，）对称轴x=x=__________增减性x>时，y随x的增大而增大；x<时，y随x的增大而减小x>时，y随x的增大而减小；x<时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=时，y最小值=当x=时，y最大值=7．二次函数的平移问题解析式y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）分情况讨论m>0，n>0m>0，n<0m<0，n>0m<0，n<0变换过程由y=ax2向左平移|m|个单位，向上平移|n|个单位由y=ax2向左平移|m|个单位，向下平移|n|个单位由y=ax2向右平移|m|个单位，向上平移|n|个单位由y=ax2向右平移|m|个单位，向下平移|n|个单位K知识参考答案：1．（1）二次函数2．向上，（0，0），y轴3．向下，（0，k），y轴，减小，减小4．（h，0），x=h，h5．（h，k），增大6．，K—重点二次函数的图象和性质K—难点二次函数的图象与a，b，c的关系K—易错二次函数的平移一、二次函数的定义函数y=ax2+bx+c为二次函数的前提条件是a≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意．【例1】如果函数是二次函数，那么的值一定是A．0 B．3 C．0或3 D．1或2【答案】A【解析】根据二次函数的定义，得：k2-3k+2=2，解得k=0或k=3；又∵k-3≠0，∴k≠3．∴当k=0时，这个函数是二次函数．故选A．【名师点睛】本题考查了二次函数的概念，熟知二次函数的概念是解决此题的关键，注意二次项系数不等于0．学科@网二、二次函数的图象与性质二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．【例2】二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点（2，3）C．当x>0时，y随x的增大而减小 D．抛物线与x轴有两个交点【答案】D【例3】二次函数y=（x+2）2-1的图象大致为A． B． C． D．【答案】D【解析】∵a=1>0，∴抛物线开口方向向上．∵二次函数解析式为y=（x+2）2-1，∴顶点坐标为（-2，-1），对称轴x=-2．故选D．【例4】抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是A．直线x=1 B．直线x=-1 C．直线x=2 D．直线x=-2【答案】A【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），∴这条抛物线的对称轴是：x=，即x=1．故选A．【例5】已知二次函数y=a（x-1）2+3，当x<1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是A．a≥0 B．a≤0 C．a>0 D．a<0【答案】D【解析】∵二次函数y=a（x-1）2+3，∴该二次函数的对称轴为直线x=1，又∵当x<1时，y随x的增大而增大，∴a<0．故选D．【名师点睛】运用了二次函数的性质，解题的关键是明确在二次函数中，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．【例6】若点A（2，），B（-3，），C（-1，）三点在抛物线的图象上，则、、的大小关系是A． B． C． D．【答案】C三、二次函数的解析式用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：（1）设一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将已知条件代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，解析式便可得出．（2）设顶点式：y=a（x-h）2+k，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y=a（x-h）2+k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．（3）设交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0)，设所求二次函数为y=a（x-x1）（x-x2），将第三个点的坐标（m，n)（其中m，n为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式．【例7】若抛物线经过点（3，0）和（2，-3），且以直线x=1为对称轴，则该抛物线的解析式为A．y=-x2-2x-3 B．y=x2-2x+3C．y=x2-2x-3 D．y=-x2+2x-3【答案】C【名师点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【例8】已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=1；当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0．求这个二次函数的解析式．【解析】当x=0时，y=1；当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0，即函数过点（0，1），（-1，6），（1，0），得，解得，∴二次函数的解析式为y=2x2-3x+1．学！@科网四、二次函数的平移问题（1）抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．（2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x-h）2+k的形式．（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=ax2+k的顶点是（0，k），y=a（x-h）2的顶点是（h，0），y=a（x-h）2+k的顶点是（h，k）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向．（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．【例9】把抛物线y=-x2向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A．y=-（x-1）2-3 B．y=-（x+1）2-3C．y=-（x-1）2+3 D．y=-（x+1）2+3【答案】C【名师点睛】二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减．1．下列函数中是二次函数的为A．y=3x-1 B．y=3x2-1 C．y=（x+1）2-x2 D．y=x3+2x-32．抛物线y=2x2+1的的对称轴是A．直线x= B．直线x= C．x轴 D．y轴3．抛物线y=-（x-4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是A．（4，-5），开口向上 B．（4，-5），开口向下C．（-4，-5），开口向上 D．（-4，-5），开口向下4．抛物线y=-x2不具有的性质是A．对称轴是y轴 B．开口向下C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标是（0，0）5．已知点（-1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是A．1 B．2 C． D．-6．已知抛物线y=ax2（a>0）过A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是A．y1>0>y2 B．y2>0>y1 C．y1>y2>0 D．y2>y1>07．当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是A．x>0 B．x<1 C．x>1 D．x为任意实数8．对于二次函数的图象，给出下列结论：①开口向上；②对称轴是直线；③顶点坐标是；④与轴有两个交点．其中正确的结论是A．①② B．③④ C．②③ D．①④9．一种函数是二次函数，则m=__________．10．把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是__________．11．将抛物线y=2（x-1）2+2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为__________．12．如图，抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A，B，且过点C（5，4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．13．已知：抛物线经过、两点，顶点为A．求：（1）抛物线的表达式；（2）顶点A的坐标．14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．15．在平面直角坐标系中，将抛物线y=-x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是A．y=-x2-x- B．y=-x2+x- C．y=-x2+x- D．y=-x2-x-16．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+a的图象大致是A． B． C． D．17．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个18．二次函数y=x2-2x-3，当m-2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为__________．19．若直线y=ax-6与抛物线y=x2-4x+3只有一个交点，则a的值是__________．C．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）求△BCD的面积；（3）若直线CD交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．21．（2018·四川成都）关于二次函数，下列说法正确的是A．图象与轴的交点坐标为（0，1） B．图象的对称轴在轴的右侧C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-322．（2018·湖北黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为A．-1 B．2 C．0或2 D．-1或223．（2018·江苏连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=-t2+24t+1．则下列说法中正确的是A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m24．（2018·山东德州）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是A． B． C． D．25．（2018·湖北恩施州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b2-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则y1>y2；⑤5a-2b+c<0．其中正确的个数有A．2 B．3 C．4 D．526．（2018·江苏淮安）将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是__________．27．（2018·山东淄博）已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m>0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．1．【答案】B2．【答案】D【解析】∵抛物线y=2x2+1中一次项系数为0，∴抛物线的对称轴是y轴．故选D．3．【答案】B【解析】∵抛物线的解析式为， ，∴抛物线的开口向下．抛物线的顶点坐标为（h，k）∴抛物线的顶点坐标为（4，-5）．故选B．4．【答案】C5．【答案】B【解析】∵点（-1，2）在二次函数的图象上，∴，解得．故选B．6．【答案】C【解析】∵抛物线y=ax2（a>0）的对称轴是y轴，∴A（-2，y1）关于对称轴的对称点的坐标为（2，y1）．又∵a>0，0<1<2，且当x=0时，y=0，∴0<y2<y1．故选C．学@科网7．【答案】B【解析】对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示，∴当x<1时，函数值y随着x的增大而减小．故选B．8．【答案】D【解析】∵a=1>0，∴开口向上，①正确；∵x-3=0，∴对称轴为x=3，②错误；∵顶点坐标为：（3，-4），故③错误；∴在第四象限，所以与x轴有两个交点，故④正确．故选D．9．【答案】-1【解析】根据二次函数的二次项的次数是2，二次项的系数不等于零，可由是二次函数，得m2+1=2且m−1≠0，解得m=-1，m=1（不符合题意要舍去）．故答案为：-1．10．【答案】y=（x-2）2-1【解析】y=x2-4x+3=（x2-4x+4）-4+3=（x-2）2-1，故答案为：y=（x-2）2-1．11．【答案】y=2（x+2）2+2【解析】将抛物线y=2（x-1）2+2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为y=2（x-1+3）2+2，即y=2（x+2）2+2．故答案为：y=2（x+2）2+2．13．【解析】（1）把、代入，得，解得．故抛物线的解析式为．（2）=，所以顶点A的坐标为（1，4）．14．【解析】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，∴，∴a=，b=-，c=-1，∴二次函数的解析式为y=x2-x-1．（2）当y=0时，得x2-x-1=0，解得x1=2，x2=-1，∴点D坐标为（-1，0）．（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1<x<4．15．【答案】A【解析】将抛物线y=-x2向下平移1个单位长度，得y=-x2-1，再向左平移1个单位长度，得到y=-1）2-1，即y=-x2-x-．故选A．16．【答案】C【解析】∵二次函数图象开口向上，∴a>0，∵对称轴为直线x=-，∴b<0，∴一次函数y=bx+a的图象经过一、二、四象限，故选C．17．【答案】B18．【答案】0或4【解析】令y=5，可得x2-2x-3=5，解得x=-2或x=4，所以m-2=-2或m=4，即m=0或4．故答案为：0或4．19．【答案】2或-10【解析】由题意可知：x2−4x+3=ax−6，整理得x2−（4+a）x+9=0，∵只有一个交点，∴Δ=（4+a）2−4×1×9=0，解得a1=2，a2=−10．故答案为：2或-10．（3）如图，∵C（0，8），D（1，9），代入直线解析式y=kx+b，∴，解得，21．【答案】D【解析】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误；该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误；当x<-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误；当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．22．【答案】D【解析】当y=1时，有x2-2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=-1，故选D．23．【答案】D【解析】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t=10时h=141m，此选项错误；D、由h=-t2+24t+1=-（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确．故选D．24．【答案】B【解析】A．由一次函数y=ax-a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax-a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=->0．故选项正确；C．由一次函数y=ax-a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=->0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax-a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B．25．【答案】B26．【答案】y=x2+2【解析】二次函数y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），把点（0，-1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为：y=x2+2．27．【答案】2【解析】如图，