专题27.2 相似三角形-九年级数学人教版（下册）

1．相似三角形的判定（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做__________，相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF．（2）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________．（3）相似三角形的判定定理：①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．②判定定理2：__________成比例的两个三角形相似．③判定定理3：__________成比例且夹角相等的两个三角形相似．④判定定理4：__________分别相等的两个三角形相似．（4）直角三角形相似的判定方法：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形具备相似多边形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．（2）相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于__________．（3）相似三角形周长的比等于__________．（4）相似三角形的面积的比等于__________．3．相似三角形应用举例相似三角形的实际应用主要包括：（）利用相似三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度；（2）利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度．K知识参考答案：1．（1）相似三角形；（2）成比例；（3）②三边；③两边；④两角2．（2）相似比；（3）相似比；（4）相似比的平方．K—重点探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似K—难点探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题K—易错相似三角形的对应元素出错；用相似三角形相似比求面积关系时出错一、相似三角形的判定判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．【例1】下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是学#￥科网A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．【答案】D【例2】如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE=∠B．那么下列各判断中，错误的是A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB【答案】D二、相似三角形的性质运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似.特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根．【例3】如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB∶DE=1∶2，那么下列等式一定成立的是A．BC∶DE=1∶2B．△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶2C．∠A的度数∶∠D的度数=1∶2D．△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2学%……科网【答案】D【解析】A、BC与EF是对应边，所以，BC∶DE=1∶2不一定成立，故本选项错误；

B、△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶4，故本选项错误；

C、∠A的度数∶∠D的度数=1∶1，故本选项错误；

D、△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2正确，故本选项正确．故选D．三、相似三角形应用举例解相似三角形应用题的两个原则：（1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边．（2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这一原则．【例4】如图，阳光通过窗口照到某个房间内，竖直窗框AB在地面上留下的影子长度DE=1.8m，已知点E到窗下墙角的距离CE=3.9m，窗框底边离地面的距离BC=1.4m，试求窗框AB的长．从而有．又AC=AB+BC，DC=EC–ED，EC=3.9，ED=1.8，BC=1.4，于是有，解得AB=1.42m．答：窗框AB的长为1.42m．1．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k（k≠1），则k的值是A．∠A︰∠A′ B．A′B′︰ABC．∠B︰∠B′ D．BC︰B′C′2．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，下列比例式不成立的是A． 3．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=A．7 B．7.5C．8 D．8.54．A．5︰8 B．3︰8C．3︰5 D．2︰55．如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则一定相似的三角形是A．△ABC和△BAD B．△ABD和△BDCC．△BDC和△ABC D．△ABD和△BDC和△ABC6．在相同时刻的物高与影长成正比例，如果高为1.6米的竹竿的影长为2.0米，那么影长为30米的旗杆的高是A．25米 B．24米C．20米 D．18米7．△ABC和△A′B′C′相似，记作__________，相似三角形__________的比叫__________，当相似比为1时，两个三角形__________.8．如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=60°，∠B=40°，∠A′=60°，当∠C′=__________时，则△ABC∽△A′B′C′.9．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=6cm，A′B′=8cm，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为__________．10．如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则与的面积比等于__________．11．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且．图中相似三角形共有__________对．12．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是________．（填一个即可）13．如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使，连接BC并延长到E，使，连接ED，如果量出DE的长为25米，那么池塘宽AB为________米．14．如图，在中，，在边上取一点，使，过作交于，．求的长．15．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.(1)求的值；(2)求BC的长．16．如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．（1）求证：AE=BD；（2）求证：△BOE∽△COD；（3）已知CD=10，BE=5，OD=6，求OC的长．17．如图，甲、乙两人分别从A（1，）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4的速度行走．th后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？18．如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点（靠近A点），BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于A．18 B．22C．24 D．4619．在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且∠BEF=90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ一定相似的是A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅰ和ⅢC．Ⅰ和Ⅳ D．Ⅲ和Ⅳ20．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有A．1个 B．2个C．3个 D．4个21．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=__________．22．如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置在在BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．23．（2018•绥化）两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为A．14cm B．16cmC．18cm D．30cm24．（2018•毕节市）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为A．2：5 B．3：5C．9：25 D．4：2525．（2018•巴中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①=；②=；③=；④=．其中正确的个数有A．1个 B．2个C．3个 D．4个26．（2018•阜新）如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF=2，那么线段BF的长度为__________．27．（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=___________m．28．（2018•陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）29．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE–BE；（2）连接BF，如果=．求证：EF=EP．1．【答案】D【解析】对应边的比是相似比，且有顺序性，故△ABC与△A′B′C′的相似比k的值为BC︰B′C′．2．【答案】B【解析】∵DE∥BC，∴选项A，C，D均正确；故选B．3．【答案】B【解析】∵a∥b∥c，∴，即．∴．∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5．4．【答案】A【解析】∵DE∥BC，∴AE︰EC=AD︰DB=3︰5，∵EF∥AB，∴BF︰FC=AE︰EC=3︰5，故CF︰CB=5︰8．故选A．5．【答案】C6．【答案】B【解析】设旗杆的高是x米，则，解得x=24．7．【答案】△ABC∽△A′B′C′；对应边；相似比；全等【解析】和相似，记作，相似三角形对应边的比叫相似比，当相似比为1时，两个三角形全等.故答案为：，对应边，相似比，全等.8．【答案】80°【解析】∴当时，△ABC∽△A′B′C′.故答案为：9．【答案】【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比，即相似比为．故答案为：．10．【答案】【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，∵为的中点，四边形为矩形，∴，∴．故答案为：.11．【答案】312．【答案】∠ADB=∠BAC（或∠BAD=∠C或）【解析】∵∠B是△ABC与△DBA的公共角，∴添加∠ADB=∠BAC或∠BAD=∠C都可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得证；也可添加，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得证．13．【答案】50【解析】∵，，∴．∵∠ACB=∠DCE，∴△ACB∽△DCE．∴．∵DE=25米，∴AB=50米．故答案为：50．14．【答案】3【解析】在中，，．又，．，．又，．．∴．15．【解析】(1)(2)DE∥BC，16．【解析】（1）∵△ABC∽△DEC，CA=CB，17．【解析】（1）因为A点坐标为（1，），所以OA=2，由题意知OM=2－4t，ON=6－4t，若，解得t=0．即在甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行．（2）因为甲到达O点的时间为，乙到达O点的时间为，所以或时，O、M、N三点不能连接成三角形．①当时，如果△OMN∽△OBA，则有，解得（舍去）；②当时，∠MON>∠OAB，显然△OMN不可能相似于△OBA；③当时，，解得．所以当t=2时，△OMN∽△OBA．18．【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB，∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴==，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+S△EFC=16+6=22.故选B．学%……科网19．【答案】B20．【答案】C【解析】若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴，∴，∴AP2−7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴，∴，∴AP=．检验：当AP=时，BP=，AD=2，BC=3，∴，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，故选C．21．【答案】3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，DC=AB，∴△DEF∽△BAF．∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，∴，∵．故答案