2024-2025学年山东省青岛五十八中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省青岛五十八中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=3−i3在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图，已知CA=a，CB=b，AD=2DB，用a，b表示DC为A.DC=53a+23b 3.某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，举办2023年“一二⋅九”文艺汇演，其中对于高三(1)班的大合唱“保卫黄河”，12位评委的打分情况如下：8.4，9.3，8.9，8.8，8.6，8.2，8.5，8.4，9.2，8.8，8.1，9.4，则这组数据的(

)A.极差为1 B.众数为8.4

C.80%分位数为8.9 D.第三四分位数为9.054.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B′到x轴的距离是(

)A.1

B.2

C.2

D.5.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A+B和AB包含的样本点数分别为(

)A.1；6 B.4；2 C.5；1 D.6；16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“△ABC为等腰直角三角形”是“sin2A−1sin2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为(

)A.116 B.18 C.148.已知三棱锥A−BCD的棱长均为2，点P在△BCD内，且AP=273，则点PA.13π B.12π C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2∈C，则下列说法中正确的是A.若z1=z1−，则z1∈R B.(z110.设A，B为两个随机事件，若P(A)=12，P(B)=34A.若A，B相互独立，则P(A∩B)=38

B.若P(A∩B)=38，则A，B相互独立

C.若A与B相互独立，则P(A−∩B11.如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知圆锥的底面积为π，侧面积为3π，则下列说法正确的是(

)A.圆锥SO的体积为2π

B.三棱锥S−ABC的体积的最大值为223

C.一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面从A点爬到B点处的最短路径的长度为3

D.若二面角S−AC−O的大小为α，二面角S−BC−O三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，若M为BC的中点，AB=2，AC=2，则AM⋅13.如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边三角形ADB以AB所在直线为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD=

．14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点)如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为4，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=6，则cos∠PAC=______；若AC：AB：BC=6：5：4，则PA+PB+PC的值为______．四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间(单位：时)，并按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；

(2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率．16.(本小题15分)

已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(cosA,3sinA)，n=(2sinC−cosB,3sinB)，且m与n共线．

(1)求角A的值；

17.(本小题15分)

如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点E在BD上(异于B，D)．

(1)若平面α分别交AD1，DD1，BD，AE于点M，N，P，Q，四边形MNPQ为平行四边形，求证：AD//平面18.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinC=sin2A+3sinBsinC．

(1)求A；

(2)若a=2，D为BC中点，AD=72，求△ABC的面积；

(3)在△ABC内，将满足∠PAB=∠PBC=∠PCA的点P称为△ABC的布洛卡点.若P为△ABC的布洛卡点，且参考答案1.A

2.C

3.D

4.D

5.C

6.D

7.B

8.C

9.ACD

10.ABD

11.BCD

12.1

13.2

14.34

2315.(1)第五组的频率为1−2×(0.05+0.075+0.10+0.125+0.050)=0.2，

所以该组对应的小矩形高度为0.22=0.100，

故补全频率分布直方图如下：

设样本数据的中位数为m，平均数为x−．

因为样本数据在[0,6)的频率为2×(0.05+0.075+0.1)=0.45<0.5，

样本数据在[0,8)的频率为2×(0.05+0.075+0.1+0.125)=0.7>0.5，

则m∈(6,8)，所以0.45+0.125×(m−6)=0.5，解得m=6.4，

x−=1×0.1+3×0.15+5×0.2+7×0.25+9×0.2+11×0.1

=0.1+0.45+1+1.75+1.8+1.1=6.2，

由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2．

(2)由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为(0.1+0.05)×2=0.3．

记事件A1=“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，

A2=“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，

由题意A1，A2相互独立．

利用频率估计概率，P(A1)=P(A2)=0.2+0.1=0.3．

记事件M=“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于16.解：(1)由于m与n共线：cosA3sinB−3sinA(2sinC−cosB)=3(sinAcosB+cosAsinB)−23sinCsinA=0，

∴sin(A+B)−2sinCsinA=sinC−2sinCsinA=0，

∵sinC≠0，∴sinA=12，又△ABC为锐角三角形，故A=π6．

(2)由正弦定理可得a=bsinAsinB=1sinB，c=bsinCsinB=2sin(517.(1)证明：棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点E在BD上(异于B，D)，如图，

∵四边形MNPQ为平行四边形，

∴PQ//MN，

又PQ⊄平面AA1D1D，MN⊂平面AA1D1D，

∴PQ//平面AA1D1D，

又PQ⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AA1D1D=AD，

∴PQ//AD，

又PQ⊂平面MNPQ，AD⊄平面MNPQ，

∴AD//平面MNPQ．

(2)连接A1C1，DC1，A1D，AD1，且A1D，AD1交于F，连接C1F，EF，C1E，如图，

∵AE⊥ED1，DD1⊥AE，D1E∩DD1=D1，D1E，DD1⊂平面EC18.(1)由sinB+sinC=sin2A+3sinBsinC，

得sin2B+sin2C+2sinBsinC=sin2A+3sinBsinC．

由正弦定理，得b2+c2+2bc=a2+3bc，

整理得b2+c2−a2=bc，

由余弦定理，得c