2024-2025学年湖南省娄底一中高二（下）期末数学试卷（A卷）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省娄底一中高二（下）期末数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.关于样本相关系数，下列说法正确的是(

)A.样本相关系数r∈[−1,1]

B.当样本相关系数r<0时，称成对数据成正相关

C.两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近−1

D.两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近12.已知等差数列{an}的公差为3，则aA.3 B.9 C.27 D.303.已知向量a=(−1,3)，|b|=3，aA.π3 B.π6 C.5π64.曲线y=lnx−x在点(1,−1)处切线的斜率为(

)A.−1 B.0 C.1 D.25.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1A.1213 B.533 C.4136.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有(

)A.300种 B.210种 C.120种 D.60种7.已知函数f(x)=13x3+x2+bx−23在x=1A.(1,9) B.[1,9) C.[3,9) D.(3,9]8.为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为19，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥−80)等于(

)A.96625 B.256625 C.608625二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某中学高三年级学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩X与历史类班级女生的成绩Y均服从正态分布，且X～N(75,81)，Y～N(75,64)，则(

)A.E(X)=75 B.D(Y)=8

C.P(X<60)+P(X≤90)=1 D.P(X≤91)>P(Y≤91)10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1A.当点E运动时，A1C⊥AE总成立

B.当E向D1运动时，二面角A−EF−B逐渐变小

C.二面角E−AB−C的最小值为45°

D.三棱锥11.若lnx−kx+1≤0对x∈(0,+∞)恒成立，则k的值可能是A.0 B.1 C.2 D.3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.数列{an}满足a1=−1，a13.(x+2x)14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支相交于点P，分别过点O，F2作直线四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知A，F是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和左焦点，椭圆E过点B(1,32)，且焦距为2．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)直线FB与16.(本小题15分)

已知函数f(x)=alnx−12x2，a∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)在[1,e]上恒小于017.(本小题15分)

2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个(决赛)环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有A，B，C三位同学参加比赛，A同学通过前两个环节的概率分别为23和12，B同学和C同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为23．

(1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率；

(2)设进入决赛的同学人数为X，求18.(本小题17分)

如图1，正方形ABCD的边长为2，如图2，将正方形ABCD沿着对角线AC翻折，O为原正方形ABCD的中心．

(1)证明：AC⊥平面BOD；

(2)翻折至四面体ABCD的体积最大时．

(ⅰ)求异面直线AD与BC所成角的大小；

(ⅱ)求CD与平面ABD所成的角的正弦值．19.(本小题17分)

设n为正整数，C1，C2，…Cn为n枚质地不均匀的硬币.投掷硬币Ck(k=1,2,…,n)，设正面朝上的概率为pk，反面朝上的概率为1−pk.同时投出n枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功．

(1)当n=3，pk=13(k=1,2,3)时，求游戏成功的概率；

(2)当pk=13(k=1,2,⋯,n)时，设游戏成功的概率为Qn(n∈N∗)，求当n≥2时，Qn−1与Qn的递推关系，并证明{答案解析1.【答案】A

【解析】解：A选项，根据相关系数|r|≤1，故A选项正确；

B选项，r<0时，数据成负相关，r>0时，数据成正相关，故B选项错误；

C选项，|r|越接近1，线性相关性越强，|r|越接近0，相关性越弱，故C选项错误；

D选项，相关系数也可能接近−1，故D错误．

故选：A．

根据相关系数的性质即可求解．

本题考查了相关系数的性质，属于基础题．2.【答案】C

【解析】解：设公差为d，

等差数列{an}的公差为3，

则公差d=3，则a10−a1=9d=27．3.【答案】C

【解析】解：因为a=(−1,3)，

所以|a|=2，

因为a⋅(a−2b)=10，所以a2−2a⋅b=10，

得到4−2⋅a⋅b=10，解得a⋅b=−3，设向量a与b的夹角为β，

而|b4.【答案】B

【解析】解：由y=lnx−x知：y′=1x−1，

所以y′|x=1=0，

即曲线y=lnx−x在点(1,−1)处切线的斜率为0．

故选：5.【答案】D

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

由a42=a6，得(a1q3)2=a1q5，即a1q=1，

又a1=13，故q=3，

所以S6.【答案】B

【解析】解：从6同学中选出2人安排到甲场馆，再安排2人到乙场馆，最后剩余2人安排到丙场馆；C62C42=90种；

或选出2人安排到甲场馆，再安排1或3人到乙场馆，剩余的人安排到丙场馆，C62C41C21=120种．

共有：90+120=210种．

故选：B．

从6同学中选出27.【答案】C

【解析】解：因为数f(x)=13x3+x2+bx−23，

所以f′(x)=x2+2x+b，

又数f(x)=13x3+x2+bx−23在x=1处的切线与直线y=1平行，

所以f′(1)=12+2+b=0，所以b=−3，

所以f(x)=13x3+x2−3x−23，f′(x)=x2+2x−3=(x+3)(x−1)，

令f′(x)>0得x>1或x<−3，令f′(x)<0得−3<x<1，

故f(x)在(−3,1)上单调递减，在(−∞,−3)，(1,+∞)上单调递增，

所以f(x)在x=1处取得极小值，

又f(1)=13+1−3−23=−73，令18.【答案】C

【解析】解：由X≥−80可知P(X≥−80)表示的事件为至少有两件产品可以销售．

由题干可知，每件商品不可以销售的概率为1−(1−19)(1−110)=15．

设A表示至多有一件商品可以销售，则P(A)=(15)4+C41(1−15)×(19.【答案】AC

【解析】解：选项A：已知X～N(75,81)，根据正态分布定义，第一个参数为均值μ，因此E(X)=75，A正确；

选项B：已知Y～N(75,64)，根据正态分布定义，第二个参数为方差σ2，

因此D(Y)=64，B错误；

选项C：由X～N(75,81)，均值μ=75，且60=75−15，90=75+15，

根据正态分布的对称性，P(X<75−15)=P(X>75+15)，即P(X<60)=P(X>90)，

又因为P(X>90)+P(X≤90)=1，代入P(X<60)=P(X>90)，得：P(X<60)+P(X≤90)=1，C正确；

选项D：对X～N(75,81)，标准差σX=81=9，Z为标准化分数，

则ZX=91−759=169≈1.78，对Y～N(75,64)，标准差σY=64=8，则ZY=91−758=2，10.【答案】ACD

【解析】解：对于A，连接A1C1，AD1，AB1，

因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，A1C1⋂A1A=A1，

所以B1D1⊥平面A1C1CA，

因为A1C⊂平面A1C1CA，所以B1D1⊥A1C，同理可证AD1⊥A1C，

因为AD1⋂B1D1=D1，所以A1C⊥平面AB1D1，

因为AE⊂平面AB1D1，所以A1C⊥AE总成立，故A正确；

对于B，平面EFB即平面BDD1B1，平面EFA即平面AB1D1，

所以当E向D1运动时，二面角A−EF−B的大小不变，故B错误；

对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,1,0)，B(0,1,0)，所以AB=(−1,0,0)，

因为E，F在B1D1上，且EF=22，

故可设E(t,1−t,1)，F(t−12,32−t,1)，12≤t≤1，

则AE=(t−1,−t,1)11.【答案】CD

【解析】解：由kx≥lnx+1得kx≥2lnx+1，所以kx−1≥2lnx，

令x=t(t>0)，则kt−1≥2lnt(t>0)，

令y=kt−1，f(t)=2lnt(t>0)，

由题意可知y≥f(t)恒成立．

设与f(t)图象相切且与直线y=kt−1平行的直线为l1，切点M(t0,2lnt0)，

则k=f′(t0)=2t0kt0−1=2lnt012.【答案】−1

【解析】解：∵数列{an}满足a1=−1，an+1=11−an(n∈N+)，

∴a2=11+1=12，a3=11−13.【答案】14

【解析】解：二项式(x+2x)7的展开式通项为：Tr+1=C7r(x)7−r(2x)r=C7r2rx7−3r214.【答案】13【解析】解：如图，

因为F1，F2为双曲线C的左、右焦点，|F1F2|=2c，因为ON⊥PF1，F2M上PF1，所以ON//F2M，

又O为线段F1F2的中点，所以N为线段F1M的中点，且|ON|=12|MF2|，

又M为线段PN的中点，所以|F1N|=|NM|=|MP|=13|PF1|，

在Rt△OF1N中，|ON|=a，|OF1|=c，

所以|F1N|=|OF1|2−|ON|2=b，15.【答案】x24+y23【解析】(1)因为焦距为2c=2，

所以c=1，

因为椭圆E过点B(1,32)，

所以1a2+94b2=1a2−b2=1，

解得a2=4，b2=3，

则椭圆方程x24+y23=1；

(2)因为B(1,32)，F(−1,0)，

所以直线BF方程为y−032−0=x+12+1，

即3x−4y+3=0，

联立3x−4y+3=0x24+y23=1，消去y并整理得716.【答案】(1)f′(x)=ax−x=a−x2x(x>0)．

当a≤0时，f′(x)<0，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，由f′(x)=0，得x=−a(舍)或x=a，

当x∈(0,a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

综上可得：当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，函数f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减；

(2)由(1)可得，若a≤0，函数f(x)在[1,e]上单调递减，而f(1)=−12<0，符合题意；

当a>0时，由(1)知，若a≤1，函数f(x)在[1,e]上单调递减，而f(1)=−12<0，符合题意；

若1<a<e2，f(x)在[1,a]上单调递增，在[【解析】(1)求出原函数的导函数，可得a≤0时，f′(x)<0，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，利用导函数的零点对函数的定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；

(2)由(1)可得，若a≤0，函数f(x)在[1,e]上单调递减，而f(1)<0，符合题意；当a>0时，结合(1)分a≤1，1<a<e2，a≥e2三类求解函数在[1,e]上的最大值，由最大值小于0可得17.【答案】427；

答案见解析．【解析】(1)根据题意，A同学通过前两个环节的概率分别为23和12，

B同学和C同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为23，

A，B，C三位同学仅通过第一个环节的概率分别为：

P1=23×(1−12)=13，P2=23×(1−23)=29，P3=23×(1−23)=29，

所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为：

P=13×29×(1−29)+13×(1−29)×29+(1−X0123P5035816所以随机变量X的数学期望为E(X)=0×50243+1×3581+2×827+3×16243=297243=119．

(1)分别计算出A，B，18.【答案】证明见解析；

(i)π3；(ii)【解析】(1)证明：在图中，连接OB，OD，

因为△ABC和△ADC都是等腰三角形，且O是正方形中心，

所以AC⊥OD，AC⊥OB，OB∩OD=O，OB，OD⊂平面BOD，

所以AC⊥平面BOD．

(2)在翻折过程中，四面体ABCD的体积取最大值时，D点到平面ABC的距离最大，

此时平面ACD⊥平面ABC，

因为DO⊥AC，所以DO⊥平面ABC．

所以OA，OB，OD两两垂直，如图，以O为坐标原点，

OA，OB，OD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

因为正方形ABC