2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【01-暑假复习】第02讲 平面向量中数量积的运算与应用（思维导图+知识串讲+5大考点+复习提升）（学生版）

第02讲平面向量中数量积的运算与应用

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点01平面向量的数量积

1、平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），

记作ab，即ab=|a||b|cos，规定：零向量与任一向量的数量积为0．

2、平面向量数量积的几何意义

→→→

投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，OA表示向量a，OB表示向量b，过点A作OB所在直线的

→→

垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a

在向量b上的投影向量.

1

,

b

向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ).

|b|

3、数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数，则：

①abba；②(a)b=(ab)a(b)；③(ab)c=acbc．

4、数量积的性质

设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则

①eaae|a|cos．②abab0．

③当a与b同向时，ab|a||b|；当a与b反向时，ab|a||b|．

特别地，aa|a|2或|a|aa．

ab

④cos(|a||b|0)．⑤|ab|≤|a||b|．

|a||b|

5、数量积的坐标运算与几何表示

已知非零向量，，，，为向量、的夹角．

a(x1y1)b(x2y2)ab

结论几何表示坐标表示

模|a|aa|a|x2y2

数量积ab|a||b|cosabx1x2y1y2

abx1x2y1y2

cos

夹角cos2222

|a||b|x1y1x2y2

ab的充要

ab0x1x2y1y20

条件

a∥b的充要

a（bb0）xyxy0

条件1221

|ab|与|a||b||ab||a||b|(当且仅当

≤2222

|x1x2y1y2|x1y1x2y2

的关系a∥b时等号成立)

【常用结论】

(1)b在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．

(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔ab0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角⇔ab0且a，b不共线．

2

【考点一：数量积的运算】

一、单选题

urrrr

1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知向量c与d的夹角为120，c2，d=3，则(2c+d)×d的值为（）

A．3B．3C．6D．6

2．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知向量ax,0,b2,1．若a4bb0，则x的值为（）

A．10B．6C．3D．4

3．（24-25高一下·四川·期中）已知等边三角形ABC的边长为2,BCa,CAb,ABc，则abbcca

（）

A．3B．3C．6D．6

1

4．（24-25高一下·河南·期中）已知在边长为3的正方形ABCD中，点E满足BEBA，则EAEC（）

3

A．2B．2C．1D．1

5．（24-25高一下·天津和平·期中）已知VABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中

点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为（）

5111

A．B．C．1D．

222

6．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在等腰梯形ABCD中，DC2DA2AB6，E，F分别为AB，

BC的中点，DF与CE交于点O，则CODA（）

A．2B．2C．1D．1

【考点二：模的运算】

一、单选题

1．（24-25高一下·湖北·开学考试）已知a3,m，b1,1，且ab2，则ab（）

A．4B．2C．5D．1

2．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期中）已知单位向量a与单位向量b的夹角为45°，则a2b（）

A．2B．3C．2D．1

3．（24-25高一下·北京·期中）已知平面向量a与b的夹角为60，a2,0，|b|1，则|a2b|（）

A．3B．23C．4D．12

3

4．（24-25高一下·浙江·期中）设平面内三个非共线的单位向量a,b,c两两之间的夹角相等，则a2b3c

（）

A．1B．3C．5D．14

5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）在ABC中，AB3，BDDC，AE2EC，AD与BE的交点为O，

若AOBC2，则AC的长为（）

A．2B．3C．2D．5

6．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）O是VABC的外心，AB3,AC4，存在x,y0，使AOxAByAC.

若9x16y4，则AO的长为（）

10

A．5B．2C．D．4

3

【考点三：夹角的运算】

一、单选题

1．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知向量a1,2，b2,1，则cosa,ab（）

22252

A．B．C．D．

5452

r

r

2．（24-25高一下·河南·阶段练习）若向量a，b满足a2，b3，且ab1，则向量b与ba夹角的

余弦值为（）

15215525

A．B．C．D．

151555

3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知a(3,m),b(4,3)，若a与b的夹角是钝角，则实数m的取值范

围是（）

9999

A．,,4(4,)B．,,4

4444

C．(4,)D．(,4)

4．（24-25高一下·广西·期中）已知a,b,c均为单位向量，若cba，则a与c夹角的大小等于（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

5．（23-24高一下·湖北·期末）在VABC中，已知AB2AC2.点D是边BC上靠近C的三等分点.AD的长

等于边AB上的高，则tanA（）

A．3B．23C．45D．32

4

【考点四：垂直问题】

一、单选题

1．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量a1,2,b2,2,cm,1，若c2ab，则m

等于（）

11

A．2B．2C．D．

22

2．（24-25高一下·重庆涪陵·阶段练习）已知单位向量a,b的夹角为45,kab与a垂直，则k（）

132

A．B．C．D．1

222

3．（24-25高一下·天津·期中）已知向量a,b满足a1，a2b2，且b2ab，则b（）

231

A．B．C．D．1

222

4．（2024高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点A0,t，B1,1，OC2OA，若OBCB，

则OA（）

2

A．1B．C．2D．2

2

5．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设a，b是两个非零向量，且(a3b)(7a5b)，(a4b)(7a2b)，

则a与b的夹角是（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

6．（23-24高一上·山西·期末）已知平面四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，

G，H，且AB2CD2AD2BC2，则四边形EFGH一定为（）

A．正方形B．菱形C．矩形D．直角梯形

【考点五：投影向量的求法】

一、单选题

1．（2025·湖南·二模）已知a2,1,b3,5，则ba在a上的投影向量为（）

124284126

A．,B．,C．,.D．,

55555555

5π

2．（24-25高一下·河南信阳·期中）已知向量a，b的夹角为，且a23b，则a在b上的投影向量为

6

（）

A．3bB．3bC．3bD．3b

3

3．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知VABC中ABAC0，AB，B30，则BA在BC上的投

2

5

影向量为（）

uuur

3131

A．B．C．BCD．BC

4444

1

4．（24-25高一上·湖北襄阳·期末）已知平面向量a与b满足：a在b方向上的投影向量为b,b在a方向上

4

1

的投影向量为a，且a2，则b（）

2

A．2B．3C．22D．4

5．（24-25高一下·山东威海·期中）若非零向量m，n满足mmn，则2mn在n方向上的投影向量为

（）

A．2nB．nC．nD．2n

6．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知VABC中，O为BC的中点，且

π

AB4,ABACABAC,ACB，则向量AO在向量AB上的投影向量为（）

6

111

A．ABB．ABC．ABD．AB

432

一、单选题

1

1．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知e，e是两个不共线的向量，向量ete，e3e共线，则

1221212

t（）

33

A．B．C．6D．6

22

2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在VABC中，D为BC中点，点E为AD上靠近A点的一个三等分点，

若BEABAC，则（）

312

A．1B．C．D．

433

3．（24-25高一下·陕西渭南·期中）若向量a,b满足|b|2，且(4ab)b,(a2b)a，则|a|（）

2

A．2B．2C．1D．

2

4．（24-25高一下·北京·期中）已知向量AB1,5,BC1,13,CD3,3，则（）

A．A、B、C三点共线

B．A、B、D三点共线

C．A、C、D三点共线

6

D．B、C、D三点共线

5．（24-25高一下·北京·期中）如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设

ABa，ADb，则BN（）

21

A．ab

33

21

B．ab

33

12

C．ab

33

12

D．ab

33

r

3

6．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知向量a1,3，b1，且向量a在向量b上的投影向量为-b，

2

则cosab,b（）

2222

A．B．C．D．

2244

π

7．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在VABC中，BAC，AD2DB，P为线段CD上一点，且满

3

1

足APmACABmR，若AC2，AB3，则APCD的值为（）

2

A．2B．1C．2D．1

8．（24-25高一下·云南·期中）若D是VABC的边BC上的一点（不包含端点），且ADmAB2nAC，则

21

的最小值是（）

mn

A．4B．6C．8D．12

二、多选题

9．（24-25高一下·广东江门·期中）已知向量a4,2，b2,t，则下列说法正确的是（）

A．当ab时，t4B．当a//b时，t1

C．当t2时，a在b上的投影向量为(1,1)D．当a与b的夹角为锐角时，t的取值范围为(4,)．

10．（24-25高一下·山