2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【02-暑假预习】专题12 直线的点斜式方程（2知识点+5大题型+思维导图+过关检测）（教师版）

PAGE1专题12直线的点斜式方程内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：5大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点01：直线的点斜式方程1、点斜式方程的推导如图，直线经过点，且斜率为．设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得，即．2、直线的点斜式方程方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．注：（1）点斜式的前提条件：=1\*GB3①斜率必须存在；=2\*GB3②已知直线上一点和直线的斜率．（2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线．3、两种特殊的直线：倾斜角图象特征斜率直线方程0°，即，即90°无意义，即不存在，即4、求直线点斜式方程的一般步骤：（1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程（2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外．知识点02：直线的斜截式方程1、斜截式方程的推导如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即．2、直线的斜截式方程我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．注：斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在．3、斜截式的几种特例表示过原点的直线，表示与轴平行的直线，表示轴【题型01：直线的点斜式方程】一、单选题1．（24-25高二上·全国·课后作业）经过点且斜率为2的直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线的点斜式方程写出即可.【详解】由点斜式可得直线的方程为，化为.故选：C.2．（24-25高二上·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用斜率定义及点斜式直线方程即可得到选项.【详解】由直线l倾斜角为，得直线l的斜率为，又由直线l过点，则由点斜式直线方程可得：，故选：C.3．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）过点且方向向量为的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据方向向量得到直线的斜率，从而得到直线的方程.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线方程为.故选：D二、解答题4．（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)经过点，斜率为；(2)经过点，倾斜角是；(3)经过点且与轴垂直．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果；（2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可；（3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程.【详解】（1）直线的点斜式方程为：.（2）由倾斜角是，则直线的斜率为，所以直线的点斜式方程为：.（3）由于直线与轴垂直，斜率不存在，所以该直线的方程为．5．（24-25高二上·安徽亳州·月考）已知的三个顶点．(1)求边上的中线所在直线的方程；(2)求边上的高所在直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出的中点坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解；（2）求出直线的斜率，即可得到边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.【详解】（1）由题意得，边的中点，则中线所在直线的斜率为，所以边上的中线所在直线的方程为，即．（2）由题意得，，则边上的高所在直线的斜率，所以边上的高所在直线的方程为，即．【题型02：直线的斜截式方程】一、单选题1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）直线斜率是（

）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】根据直线的斜截式方程可得答案．【详解】根据直线的斜截式方程可知，直线斜率是3．故选：C．2．（23-24高二下·四川广元·开学考试）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知直线的斜率，根据直线的斜率求解倾斜角即可.【详解】设直线的倾斜角为，，由题意可知，直线的斜率为，所以，即.故选：.3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线的方程是，则直线的纵截距是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，令代入计算，即可得到结果.【详解】因为直线的方程是，令，则，所以直线的纵截距是.故选：D4．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】代入直线的截距式方程即可.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率.又直线在轴上的截距是3，由斜截式方程得.故选：C二、解答题5．（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为，在y轴上的截距是.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可.（2）求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可.【详解】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为.（2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率.所以该直线的斜截式方程为.【题型03：斜截式的图像特征】一、单选题1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由与中同号，分类讨论递增与递减，得到结果.【详解】当时，直线过原点，且单调递增，直线单调递增，且纵截距为正数，没有符合的图象．当时，直线过原点，且单调递减，直线单调递增，且纵截距为负数，C选项符合．故选：C2．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为，的斜率为b，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立，A错误；选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确；选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立，C错误；选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立，D错误.故选：B.3．（24-25高二上·吉林·月考）若直线的方程为，则此直线必不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由条件判断直线的斜率和纵截距的正负，结合图象分析即得.【详解】由可得，，即直线的斜率为负数，在轴上的截距为负数，故直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限.故选：A.4．（24-25高二上·湖北十堰·月考）如图所示，直线与的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据斜截式方程的系数的几何意义，逐一判断各选项即得.【详解】对于A，由的图象，可知，，即，，而由的图象，可知，，产生矛盾，故A错误；对于B，由的图象，可知，，即，，而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误；对于C，由的图象，可知，，即，，此时由的图象，可知，，两者一致，故C正确；对于D，由的图象，可知，，即，，而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误.故选：C.5．（24-25高二上·湖北黄冈·月考）已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，由直线不经过第二象限，得到关于实数的不等式，求解不等式，即可得到答案．【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件；若，直线方程可化为，此时若直线不经过第二象限，则且，解得，综上满足条件的实数的范围是.故选：D【题型04：点斜式与斜截式的应用】一、单选题1．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知两点，以下各点一定在直线上的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两点可求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程，最后代入即可得解.【详解】因为，，所以，所以直线的方程为：，即，当时，，所以点在直线上.故选：A.2．（24-25高二上·四川成都·期中）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线恒过定点，分别计算，结合图象即可得的范围.【详解】直线经过定点，如图所示，则，因为直线与线段相交，所以由图可知.故答案为：.3．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程.【分析】倾斜角为的直线，斜率为，所以入射光线为，令，解得，所以入射光线与轴的交点为，反射光线的斜率为，则反射光线的方程为.故选：D4．（23-24高二上·河南·月考）已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．20【答案】A【分析】判断直线斜率存在并设直线l的方程为，求出两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知直线l的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l的方程为，分别与联立可得两点的横坐标：，故，两点都在x轴的上方，故，故，当且仅当，即时等号成立，故面积的最小值为8，故选：A．【题型05：点斜式与斜截式中两直线的平行、垂直问题】一、单选题1．（24-25高二上·吉林·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据两直线垂直斜率之积为可得所求直线斜率，利用点斜式可得结果.【详解】∵直线的斜率为，∴所求直线斜率为，∴直线方程为.故选：A.2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，若，则a＝（

）A．0 B．C．1 D．±1【答案】B【分析】由斜率相等、截距不相等得出的值.【详解】因为，所以，所以，又，两直线l1与l2不能重合，则，即，故.故选：B二、解答题3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的方程为y＝－2x＋3.(1)若直线与平行，且过点，求直线的方程；(2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设的方程为，代入点得出所求方程；（2）设的方程为，求出在坐标轴上的交点，进而由面积公式得出.【详解】（1）由直线与平行，可设的方程为，将代入，得，即得，所以直线的方程为（2）由直线与垂直，可设的方程为，令，得，令，得，故三角形面积，所以，解得，所以直线的方程是或一、单选题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由方向向量得到直线斜率，再用点斜式计算即可.【详解】由题可得．又直线过点，代入点斜式方程得．故选：C.2．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，即可得到正确选项.【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以直线方程为，故选：A.3．（23-24高二上·全国·课后作业）方程y＝k(x－1)(k∈R)表示

()A．过点(－1,0)的一切直线B．过点(1,0)的一切直线C．过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线D．过点(1,0)且除x轴外的一切直线【答案】C【分析】根据直线的斜率为分析．【详解】直线的点斜式方程y＝k(x－1)表示经过点(1,0)且斜率为k的直线,显然不垂直于x轴,故选:C.4．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由倾斜角得斜率，再根据斜截式方程可得.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率.又直线在轴上的截距是3，由斜截式方程得.故选：C.5．（24-25高二上·江苏南京·期中）过两点和的直线在x轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由点斜式写出直线方程，然后令可得结论．【详解】直线的斜率，∴直线的方程为，即，令，解得，∴直线在x轴上的截距为，故选：A．6．（23-24高二上·广东惠州·期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列图形中，正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由图象判断参数范围，根据参数范围是否矛盾即可得答案.【详解】对于A，由的图象知，，由的图象知，，故A正确；对于B，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故B错误；对于C，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故C错误；对于D，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故D错误．故选：A7．（24-25高二上·湖北·期中）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据的坐标以及方向向量分别求解出的方程，由此可求结果.【详解】因为，即，所以，因为，即，所以，所以.故选：A.8．（24-25高二上·广东湛江·月考）若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（

）A． B．1 C． D．5【答案】D【分析】由两直线平行得斜率相等，利用斜率公式列方程求解，注意验证是否重合.【详解】过点和点的直线斜率为，由两直线平行，则直线的斜率，解得，验证，当时，，则直线的斜率为，四点不共线，即两直线平行.故选：D.9．（23-24高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，与y轴相交于点且被轴反射，则反射光线所在直线在x轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由入射光线和反射光线对称求出反射光线方程，进而求出截距.【详解】关于y轴的对称点为，则反射光线所在直线为，因为，所以反射光线所在直线的方程为，令，解得，所以反射光线所在直线在x轴上的截距为．故选：B10．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设出直线方程，求得其在在轴上的截距，建立不等式，解出即可.【详解】设直线的斜率为，则直线方程为，令，得，故直线在轴上的截距为，令，得或者，故选：11．（24-25高二上·湖南郴州·月考）已知过点的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则的最小值为（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】根据题意可知直线的斜率存在设为，分别解出两点的坐标，表示出的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线的斜率存在．设直线的斜率为，直线的方程为，则，所以，当且仅当，即时，取等号.所以的最小值为.故选：B.二、解答题12．（23-24高二下·全国·课堂例题）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示.(1)过点，斜率；(2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；(3)经过点，且平行于y轴．【答案】(1)(2)(3)不能用点斜式，【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程；（2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程；（3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程；【详解】（1）因为直线过点，斜率，由直线的点斜式方程得直线方程为．（2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为.所以所求直线方程为．（3）因为直线平行于y轴，则直