典型例题：24.1 一元二次方程

典型例题：一元二次方程知识点1一元二次方程的概念只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为(a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。注意：满足是一元二次方程的条件有：①必须是一个整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。【例1】（2020秋•奈曼旗月考）关于x的方程（m2﹣16）x2+（m+4）x+2m+3＝0，当m时，是一元一次方程；当m时，是一元二次方程．【变式1-1】（2021秋•武邑县校级月考）已知关于x的方程(m-3)xm2-2m-1-（m+1）8x+2＝0是一元二次方程，则m【变式1-2】关于x的方程（k2﹣6k+12）x2＝3﹣（k2﹣9）x是一元二次方程的条件是k．【变式1-3】（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为．知识点2一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般式是(a、b、c为常数）。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。注：=1\*GB3①化为一般式时，右边为0；=2\*GB3②习惯上将二次项系数a化为正数【例2】（2020·甘肃正宁县教育局初三月考）把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数．＝一般式：________．二次项为________，二次项系数为________，一次项为________，一次项系数为________，常数项为________．【变式2-1】（2020·江苏海安初三月考）方程3-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，-4，-2B．3，2，-4C．3，-2，-4D．2，-2，0【变式2-2】（2020·湖北伍家岗初三月考）已知一元二次方程，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2021·江苏南通市·九年级期末）一元二次方程3x2-2x-1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）．A．3，-2 B．3，2 C．3，-1 D．3x2，-2x知识点3一元二次方程的根(1)能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。(2)一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。(3)常考点:为利用根的概念求代数式的值；4）一元二次方程近似解：两端逼近法。步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。【例3】（2021•武汉模拟）已知a是方程x2+x﹣2021＝0的一个根，则2aA．2020 B．2021 C．12020 D．【变式3-1】（2021•三台县一模）设方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3【变式3-2】（2021春•拱墅区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为．【变式3-3】（2021春•海淀区校级期末）已知x2﹣4x+1＝0，则x22x4-x

典型例题：一元二次方程（解析版）知识点1一元二次方程的概念只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为(a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。注意：满足是一元二次方程的条件有：①必须是一个整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。【例1】（2020秋•奈曼旗月考）关于x的方程（m2﹣16）x2+（m+4）x+2m+3＝0，当m时，是一元一次方程；当m时，是一元二次方程．【分析】利用一元二次方程和一元一次方程定义进行解答．【解答】解：由题意得：m2﹣16＝0，且m+4≠0，解得：m＝4，由题意得：m2﹣16≠0，解得：m≠±4，故答案为：＝4；≠±4．【变式1-1】（2021秋•武邑县校级月考）已知关于x的方程(m-3)xm2-2m-1-（m+1）8x+2＝0是一元二次方程，则m【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意得：m解得m＝﹣1，故答案是：﹣1．、【变式1-2】关于x的方程（k2﹣6k+12）x2＝3﹣（k2﹣9）x是一元二次方程的条件是k．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：∵关于x的方程（k2﹣6k+12）x2＝3﹣（k2﹣9）x是一元二次方程，∴k2﹣6k+12≠0，∵△＝36﹣48＝﹣12＜0，∴k2﹣6k+12＝0无解，则关于x的方程（k2﹣6k+12）x2＝3﹣（k2﹣9）x是一元二次方程的条件是k为任何实数．故答案为：为任何实数．【变式1-3】（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为．【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，∴满足条件分方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．知识点2一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般式是(a、b、c为常数）。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。注：=1\*GB3①化为一般式时，右边为0；=2\*GB3②习惯上将二次项系数a化为正数【例2】（2020·甘肃正宁县教育局初三月考）把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数．＝一般式：________．二次项为________，二次项系数为________，一次项为________，一次项系数为________，常数项为________．【答案】，，1，，，．【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的概念解答即可．【解析】，去括号得：，移项、合并同类项得：，则此方程的一般式为，二次项为，二次项系数为1，一次项为，一次项系数为，常数项为，故答案为：，，1，，，．【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握理解一元二次方程的相关概念是解题关键．【变式2-1】（2020·江苏海安初三月考）方程3-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，-4，-2B．3，2，-4C．3，-2，-4D．2，-2，0【答案】B【分析】对于一元二次方程的基本形式：a+bx+c=0（a、b、c为常数，且a0），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.【解析】方程整理得：3x2+2x-4=0，∴二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为-4，故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，c叫做常数项．【变式2-2】（2020·湖北伍家岗初三月考）已知一元二次方程，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将方程的两边同时乘以，可以把二次项系数化成正数且使得方程根不变.【解析】将方程的两边同时乘以，得：故选：B.【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式和等式的基本性质：①等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；②等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等；③等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.熟练掌握等式的基本性质是关键.【变式2-3】（2021·江苏南通市·九年级期末）一元二次方程3x2-2x-1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）．A．3，-2 B．3，2 C．3，-1 D．3x2，-2x【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义分析，即可得到答案．【详解】一元二次方程3x2-2x-1＝0的二次项系数和一次项系数分别为：3、-2故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，从而完成求解．知识点3一元二次方程的根(1)能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。(2)一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。(3)常考点:为利用根的概念求代数式的值；4）一元二次方程近似解：两端逼近法。步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。【例3】（2021•武汉模拟）已知a是方程x2+x﹣2021＝0的一个根，则2aA．2020 B．2021 C．12020 D．【分析】首先根据a是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的一个根得到a2+a﹣2021＝0，进一步得到a2+a＝2021，然后将代数式化简后整体代人即可求得答案．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的一个根，∴a2+a﹣2021＝0，∴a2+a＝2021，∴2=2a=1=1故选：D．【变式3-1】（2021•三台县一模）设方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2＝﹣a+1，再用a表示a3，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，∴a2+a﹣1＝0，∴a2＝﹣a+1，∴a3＝﹣a2+a＝﹣（﹣a+1）+a＝2a﹣1，∴2a3+a2﹣3a＝2×（2a﹣1）﹣a+1﹣3a＝4a﹣2﹣a+1﹣3a＝﹣1．故选：B．【变式3-2】（2021春•拱墅区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为2019．【分析】因为a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，所以a2﹣a﹣1＝0，所以a2﹣a＝1，然后整体代入求值即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1．∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+