2024-2025学年河北省承德市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省承德市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(z−2i)(1−i)=2，则z=(

)A.1+i B.1−i C.1+3i D.1−3i2.已知随机变量X服从0−1分布，且P(X=1)=2P(X=0)−1，则P(X=0)=(

)A.13 B.12 C.353.(1−2x)7的展开式中x3的系数为A.280 B.35 C.−35 D.−2804.一个不透明的箱子中装有9本书，其中有《三国演义》3本，《西游记》6本，每次从该箱子中任取1本书，记录下书名后放回，共取4次，记取出《三国演义》的次数为η，则E(η)=(

)A.83 B.2 C.43 5.某班选派6名同学到学校的A，B，C这3个活动场地做志愿者工作，每个场地至少去1名同学，每名同学只能去1个场地，且3个场地去的同学人数互不相同，则不同的选派方法种数为(

)A.90 B.360 C.450 D.9906.若函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值A.2 B.3 C.−3 D.−27.为推动中小学人工智能通识教育的普及与发展，某大学计划招收一批10～15岁的青少年参加暑期夏令营，共有20000名学生参加选拔测试，其测试成绩(满分120分)X～N(70，σ2)，成绩为100分及以上者可以参加夏令营.已知参加选拔测试的学生中80分及以上的人数为3173，则估计参加夏令营的人数约为(

)

附：P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.9973．A.18 B.27 C.34 D.558.若不等式axex−a≤1对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是A.[0,1] B.[0,+∞) C.(−∞,0] D.(−∞,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n∈N∗，且n≥m≥2，则(

)A.C20255=C20252020 B.A10.某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球.规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球.规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是(

)A.在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是14

B.顾客最终获得6张优惠券的概率是112

C.第二次抽到红球的概率是512

11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，f′(0)=2，则(

)A.f(0)+f(−2)=0 B.f′(−x+1)=−f′(x−3)

C.f′(6)=2 D.f′(2004)=−2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=2a+1+(3a−2)i在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是______．13.有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6.现从这6张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为______．14.已知m>0且m≠1，若x3+sinx−m=0，4y3+cosysiny+m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

DeepSeek是一种基于人工智能的大型语言模型，它是人们学习、工作与生活的得力助手，但也有部分人认为DeepSeek将在未来取代一部分人的工作.现对300家企业开展调查，统计DeepSeek的应用程度与一年内招聘人数是增加还是减少，得到统计数据如下表所示．DeepSeek的应用程度招聘人数减少的企业数招聘人数增加的企业数合计广泛应用9070m未广泛应用n80140合计150150300(1)求m，n；

(2)记广泛应用DeepSeek的企业招聘人数减少的概率为p，求p的估计值；

(3)根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度有关？

附：χ2α0.10.050.01x2.7063.8416.63516.(本小题15分)

作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势.某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有m(3≤m≤7,m∈N∗)件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为X．

(1)若m=3，求X≤1的概率；

(2)当m为何值时，17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x−2lnx−4．

(1)求f(x)的极值；

(2)若对任意的x∈(2,+∞)，都有k<xlnx+xx−2，求k的最大整数值．

参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1．18.(本小题17分)

2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破51%，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点.经调查，某市今年1−6月份的充电桩日均使用时长y(时)与新能源汽车保有量x(万辆)及充电桩日均使用率P0(P0月份123456新能源汽车保有量x(万辆)81315182325充电桩日均使用时长y(时)5710121517充电桩日均使用率P0.150.210.30.360.450.51(1)若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为X，求X的分布列；

(2)求y关于x的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；(精确到0.01)

(3)若y关于x的经验回归方程为y=bx−1.2，求b的值(精确到0.1)，并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少．

参考数据：i=16xiyi=126719.(本小题17分)

已知函数f(x)=xex，g(x)=x−xlnx．

(1)求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求g(x)的单调区间；

(3)若m>0，且不等式|f(x)−m|+mg(x)>0对任意x>0恒成立，证明：m<e答案解析1.【答案】C

【解析】解：由题意，复数z=21−i+2i=2(1+i)(1−i)(1+i)+2i=1+3i．

故选：2.【答案】D

【解析】解：因为随机变量X服从0−1分布，所以P(X=1)+P(X=0)=1，

又P(X=1)=2P(X=0)−1，解得P(X=0)=23．

故选：D．

P(X=1)+P(X=0)=1，结合题目条件得到方程，求出答案．

本题考查离散型随机变量的分布列、3.【答案】D

【解析】解：(1−2x)7的展开式中x3的系数为C73×14×(−24.【答案】C

【解析】解：因为一个不透明的箱子中装有9本书，其中有《三国演义》3本，《西游记》6本，

所以每次抽取到《三国演义》的概率为13，

则η～B(4,13)，

所以E(η)=4×13=43．

5.【答案】B

【解析】解：已知某班选派6名同学到学校的A，B，C这3个活动场地做志愿者工作，每个场地至少去1名同学，每名同学只能去1个场地，且3个场地去的同学人数互不相同，

先分组有C63C32C11=60种方式，然后对这三组进行全排列有A33=6种方式，6.【答案】A

【解析】解：导函数f′(x)=3x2−2ax−b，

f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值4，

因此f(1)=4且f′(1)=0，

13−a⋅12−b⋅1+a2=43⋅12−2a⋅1−b=0⇒a2−a−b=3b=3−2a⇒a2+a−6=0，

所以a=2或a=−3．

由于函数f(x)的所有极值点的符号相同，导函数f′(x)=3x2−2ax−b，代入b=3−2a得：

3x2−2ax+(2a−3)=0，根据韦达定理：

2a−33>0⇒a>32或2a−33<0⇒a<32，

此时需满足根的和2a3<0⇒a<0．7.【答案】B

【解析】解：测试成绩X～N(70,σ2)，则对称轴为X=70，又参加选拔测试的学生中80分及以上的人数为3173，

P(X≥80)=317320000≈0.15865，

则P(60<X<80)=1−P(X≥80)2≈1−2×0.15865≈0.6827，σ≈10，

P(X≥100)=P(X≥70+3σ)=1−P(μ−3σ<X<μ+3σ)2≈0.00135，

则参加夏令营的人数约为20000×0.00135=27人．

故选：8.【答案】A

【解析】解：因为axex−a≤1，所以aeax≤ex，

①x=0时，0≤1成立，a∈R；

②x<0时，aea≥exx，又g(x)在(−∞,0)单调递减，此时exx∈(−∞,0)，

所以aea≥0⇒a≥0；

③x>0时，aea≤exx，令g(x)=exx，g′(x)=(x−1)exx2=0⇒x=1，

所以g(x)在(−∞,0)单调递减，在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，

所以x>09.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A，由组合数性质得C20255=C20252020，故选项A正确；

对于选项B，由组合数计算公式得A96=C96A66，故选项B正确；

对于选项C，不妨设n=4，m=3，则A43=24,A42=12,A53=60，

显然Anm10.【答案】AD

【解析】解：A：由题易知，第二次抽黄盒中共有4个球，其中1个黄球，所以抽到黄球的概率为P=14，故A正确；

B：第一次抽到绿球的概率为16，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为14，所以概率为16×14=124，故B错误；

C：设第一次从红盒中抽到红球为A事件，第一次从红盒中抽到黄球为B事件，第一次从红盒中抽到绿球为C事件，

第二次从红盒抽到红球为A1事件，第二次从黄盒抽到红球为B1事件，第二次从绿盒抽到红球为C1事件，设第二次抽到红球为D事件，

则P(A)=36=12，P(A1|A)=36=12，P(B)=26=13，P(B1|B)=24=12，P(C)=16，P(C1|C)=111.【答案】ACD

【解析】解：因为f(x−1)为奇函数，所以f(x−1)=−f(−x−1)，

令x=1，得f(0)=−f(−2)，

即f(0)+f(−2)=0，故A正确；

因为f(x−1)=−f(−x−1)，

即f(x+1)=−f(−x−3)，

又f(x+1)为偶函数，

所以f(x+1)=f(−x+1)=−f(x−3)，

对f(−x+1)=−f(x−3)，

两边求导得−f′(−x+1)=−f′(x−3)，

即f′(−x+1)=f′(x−3)，故B错误；

又f(x+1)=−f(x−3)，

即f(x+4)=−f(x)，

两边求导，得f′(x+4)=−f′(x)，

即f′(x+8)=−f′(x+4)=f′(x)，

令x=−2，得f′(6)=f′(−2)，

又f′(−x+1)=f′(x−3)，

令x=1，得f′(0)=f′(−2)=2，

即f′(6)=f′(−2)，故C正确；

由f′(x+4)=−f′(x)，

得f′(x+8)=−f′(x+4)=f′(x)，

所以f′(x)是以8为周期的周期函数，

所以f′(2004)=f(250×8+4)=f′(4)=−f′(0)=−2，故D正确．

故选：ACD．

由f(x−1)为奇函数，得f(x−1)=−f(−x−1)，赋值即可判断A；

由f(x+1)为偶函数，得f(x+1)=f(−x+1)，结合f(x−1)=−f(−x−1)，可得f(x+1)=f(−x+1)=−f(x−3)，求导可得f′(−x+1)=f′(x−3)即可判断B；

由f(x+1)=−f(x−3)，得f(x+4)=−f(x)，求导可得f′(x+4)=−f′(x)，进而得到f′(x)的周期性，即可判断CD．

本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，考查了复合函数的求导法则，属于中档题．12.【答案】(−1【解析】解：∵z=2a+1+(3a−2)i在复平面内对应的点位于第四象限，

∴2a+1>0，3a−2<0，解得−12<a<23．

故答案为：(−12,23)13.【答案】320【解析】解：因为1+2+3+4+5+6=21，

所以抽出的3张卡片上的数字之和应该为9，

由9=6+2+1=5+3+1=4+3+2得，

抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为P=3C63=320，

14.【答案】1

【解析】解：设f(t)=t3+sint，那么方程x3+sinx−m=0变形为：f(x)=m．

对于4y3+cosysiny+m2=0，化简cosysiny=12sin2y，

所以8y3+sin2y+m=0⇒(2y)3+sin2y=−m，即f(2y)=−m，

f(t)=t3+sint关于原点对称，且f(−t)=(−t)3+sin(−t)=−t3−sint=−f(t)，因此函数f(t)=t3+sint是奇函数．

导函数f′(t)=3t2+cost，因为导函数f′(t)关于原点对称，f′(−t)=3(−t)2+cos(−t)=f(t)，

所以导函数f′(t)为偶函数，开口向上，

所以f′(0)=1为最小值，所以f′(t)>0，即函数f(t)在R上严格单调递增．

因为函数f(x)=m，15.【答案】m=160，n=60；

916；

认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关，理由见解析．【解析】(1)根据题意可得m=160，n=60；

(2)估计广泛应用DeepSeek的企业招聘人数减少的概率为p=90160=916；

(3)零假设H0：企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关．

因为χ2=300×(90×80−60×70)2160×140×150×150=7514≈5.357<6.635，

所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，

因此可认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关．

(1)根据列联表数据计算出m=16016.【答案】12；

m=6．【解析】(1)记“抽取的产品中次品数不超过1”为事件A，

则P(A)=P(X=0)+P(X=1)=C30⋅C1710C2010+C31⋅C179C2010=1938=12；

(2)由题可知P(X=3)=Cm3C20−m7C2010(3≤m≤7,m∈N∗)，

设f(m)=Cm3C20−m7C2010(3≤m≤7,m∈N∗)17.【答案】极小值为−2−2ln2，无极大值．

4．

【解析】(1)由题可知f(x)的定义域为(0,+∞)，导函数f′(x)=1−2x=x−2x(x>0)，

令导函数f′(x)=0，得x=2，

当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上单调递减，

当x>2时，f′(x)>0，f(x)在(2,+∞)上单调递增，

因此当x=2时，函数f(x)取得极小值，且无极大值，极小值为−2−2ln2．

(2)令函数g(x)=xlnx+xx−2(x>2)，那么导函数g′(x)=x−2lnx−4(x−2)2，

根据第一问知f(x)=x−2lnx−4在(2,+∞)上单调递增，

且f(9)=5−4ln3≈5−4×1.1=0.6>0，f(8)=4−6ln2≈4−6×0.7=−0.2<0，

那么在(8,9)内存在唯一的x0，使得f(x0)=x0−2lnx0−4=0，即lnx0=x0−42．

当x∈(x0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(2,x0)时，g′(x)<0，18.【答案】分布列见解析；

0.99，y与x的线性相关程度较强；

y=0.7x−1.2，0.72【解析】(1)根据题意可知可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B(3,0.3)，

则P(X=0)=C30×0．30×0．73=0.343，

P(X=1)=CX0123P0.3430.4410.1890.027(2)由题可知x−=8+13+15+18+23+256=17，y−=5+7+10+12+15+