【高考模拟】广东省湛江市2025年普通高考测试(一)数学试题（含解析）

广东省湛江市2025年普通高考测试(一)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=xx2+2x≤0，A．−1,0 B．−2,1 C．∅ D．−1,02．已知向量a=−1,12，b=A．3 B．2 C．5 D．53．在等比数列an中，a3⋅a5A．−567 B．567 C．451 D．6994．一组数据1，3，7，9，mm>0A．5,7 B．5,15 C．7,15 D．5,205．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为2π3A．2π B．23π C．226．已知函数f(x)=sin(2x+πA．7π6 B．π C．π3 7．已知A−1,0，B1,0，点P满足PA=3PBA．334 B．324 C．328．已知定义在R上的函数fx为奇函数，且当x>0时，fx=ex−a，若A．−2025 B．2025 C．e2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知A1,6，B2,4，C3,4，D4,2，E5,4A．样本相关系数r变大B．残差平方和变小C．决定系数R2D．若经验回归直线过点3.5,2.8，则其经验回归方程为y10．复数z1，z2满足z1A．z1⋅z2=8 B．z111．设定义在R上的函数fx和gx，记gx的导函数为g'x，且满足fA．f2+f4C．n=12025fn三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S2n−1=4n2−213．已知tanα+π12=14．已知椭圆A:x2a12+y2b12=1a1>b1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3asinB+bcos∠BAC=b，D为BC（1）求∠BAC的大小；（2）若AD=158，a=7，求16．已知函数fx=aln（1）若a=−8，求函数fx（2）当a<−2时，试判断fx17．如图，四棱锥S−ABCD的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点，且SB∥平面PAC．（1）求证：AC⊥SD．（2）求直线SB到平面PAC的距离．（3）请判断在平面PAC上是否存在一点E，使得△ESB是以SB为底边，2π318．已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线l1，l（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线AB的距离的最小值．19．甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的A类问题以及难度系数较高的B类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为12，甲遇到A类问题时回答正确的概率为12，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到B类问题时回答正确的概率为（1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望．（2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为Gn（ⅰ）证明：Gn+1（ⅱ）求Gn

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：解不等式x2+2x≤0，可得−2≤x≤0，即集合A=x−2≤x≤0，

因为集合故答案为：A．【分析】解不等式求得集合A，再根据集合的交集定义计算即可．2．【答案】C【解析】【解答】解：向量a=−1,12，b=1,m，

若a⊥故答案为：C．【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求得m=2，再求b→3．【答案】B【解析】【解答】解：设等比数列an的公比为q，

因为a3⋅a5当a4=−7时，−7−7q则a4=7，即7+7q2=70故答案为：B.【分析】设等比数列an的公比为q，根据等比中项可得a4．【答案】B【解析】【解答】解：易知数据1，3，7，9，mm>0的平均数为1+3+7+9+m则这组数据的中位数只可能是m或7，若这组数据的中位数是m，则4+m5≤m≤7若这组数据的中位数是7，则4+m5≤7≤m综上所述，m的取值范围为5≤m≤15.故答案为：B.【分析】由题意，先计算这组数据的平均数，由平均数可得这组数据的中位数只可能是m或7，分两种情况分别求解即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：半径为3，圆心角为2π3的扇形，扇形的弧长l=3×则该圆锥的底面圆的半径r=l2π=1设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面图，如图所示：由题意可得：S△ABC=1则该球的体积V的最大值是43故答案为：D.【分析】由题意，根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，再由三角形面积公式求内切球半径，最后根据球的体积公式求解即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：当x∈(0,m)时，2x+π6∈(π6,2m+π6)，

因为函数f(x)=sin(2x+π6故答案为：A.【分析】由题意可得2x+π7．【答案】D【解析】【解答】解：设Px,y，

因为PA=3整理可得x−22+y2=3，则点P当直线AP与圆D相切时，∠PAB最大，则AP⊥PD，

因为PD=3，AD=3又因为AB=23故答案为：D．【分析】设Px,y，由PA=3PB可得点P轨迹方程，再根据直线8．【答案】D【解析】【解答】解：因为函数fx是定义在R上的奇函数，所以f0=0，

当x<0时，−x>0，f−x=e−x令ex−a≥−e因为ex+e−x2若a≤1，则函数fx在R又因为x−a−1≤x，所以即f−x+fx−若a>1，则a−1>0，函数fx在R又因为f−x+fx−即函数fx−a−1的图象在函数由图象可得：a−1≥2lna，即令ga则g2025=2lnge故答案为：D.【分析】由题意，利用奇函数的性质求出fx的解析式，再按a的不同取值分类讨论fx在9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、易知变量x与变量y是负相关，将数据E5,4去掉后，样本相关系数r的绝对值变大，所以rBC、将数据E5,4去掉后，变量x与变量y的相关性变强，残差平方和变小，决定系数R2变大，D、易知x=2.5，y=4，i=14xi=30,i=14则经验回归方程是y=−1.2x+7故答案为：BCD．【分析】根据散点图的性质可知去掉E后相关性变强即可判断A；残差平方和以及决定系数即可判断BC；根据回归直线的求法和性质即可判断D.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：复数z1，z2满足z1+z2=4，z1⋅z2=8，

则复数z1A、z1B、z1C、z1D、z1故答案为：ABD．【分析】由题意，列一元二次方程，求得复数，再逐项计算判断即可.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：fx+g'x因为fx−1−g'3−x则g'x关于1,0对称，且又因为gx是奇函数，所以g'x是偶函数，所以g'x满足条件g'x+4A、因为g'4=−所以f2B、f2025C、因为g'3=−所以n=12025D、g'故答案为：ABC．【分析】由题意可得：g'(x)的图象关于1,0对称，且g'(x)是以4为周期的偶函数，通过12．【答案】a【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d由S2n−1=4n因为S3=a1+a2又因为a1=1，所以故答案为：an【分析】设等差数列an的公差为d，根据S3=15−213．【答案】4【解析】【解答】解：由tanα+π12=1因为cos2α+π则sin=cos故答案为：45【分析】由题意，利用同角三角函数基本关系式求得cos2α+π14．【答案】3【解析】【解答】解：如图所示：由OP=12焦点三角形△F1PF根据双曲线的性质可得：S△PF1F2=b22tan∠F则22当且仅当e22=故2e12故答案为：32+215．【答案】（1）解：3asinB+bcos∠BAC=b，由正弦定理可得3sin∠BACsinB+sinBcos∠BAC=sinB，

因为sinB≠0，所以3sin∠BAC+cos∠BAC=1，所以sin∠BAC+π6（2）解：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=π又因为S△ABC=S即12bcsin即bc=158由余弦定理72=b2将①代入②得：8b+c2−15则△ABC的周长为a+b+c=7+8=15．【解析】【分析】1由题意，利用由正弦定理得3sin∠BACsinB+sin2由题意可得S△ABC=S△ABD+S△ADC（1）由正弦定理得3sin又因为sinB≠0，所以3所以sin∠BAC+∴∠BAC+π6=π6∴∠BAC=2kπ或∠BAC=2π3又∵∠BAC∈0,π，∴∠BAC=（2）∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=π∵S所以121所以34即bc=158由余弦定理得72即49=b+c2将①代入②得8b+c所以b+c=8，b+c=−49所以△ABC的周长为a+b+c=7+8=15．16．【答案】（1）解：函数fx=alnx−1+当a=−8时，f'令f'x=0当x∈1,3时，f'x当x∈3,+∞时，f'x>0，函数fx的单调递增，

即函数（2）解：令fx当x=2时，f2=0，故2是当x≠2时，a=−令gx=−x2+2xln因为limx=2−x2+2x故当a<−2时，a=−x2当x∈1,2时，g故当a<−2时，a=−综上可知，当a<−2时，fx【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，将a=−8代入，利用导数求函数fx（2）先判断2是fx（1）由题知x>1，f'当a=−8时，f'令f'x=0，得x=3当x∈1,3时，f'x<0，故当x∈3,+∞时，f'x>0（2）解法一：因为f2=0，故令f'x=0，解得x当x∈1,x2时，f当x∈x2,+∞时，当a<−2时，x2=1+−f1−a下面先证明当x≥1时，x−ln令gx=x−ln故gx在1,+所以gx因为−a>2>1，所以f1−a易知1−a>x2，所以fx在x所以当a<−2时，fx有两个零点，为2和x解法二：当x=2时，f2=0，故2是令f'x=0，又x>1当x∈1,x0时，f当x∈x0,+∞时，所以x=x0是当a<−2时，x0>2，所以下证lnx≤x−1令gx=x−1−ln当x∈0,1时，g'x<0，gx单调递减，当x∈从而gx所以当x>1时，lnx−1所以aln即fx令x1>2−a，则有x1易得当a<−2时，2−a>x0，所以fx综上，当a<−2时，fx解法三：令fx当x=2时，f2=0，故2是当x≠2时，a=−令gx易得gx在1,2和2,+因为limx=2所以当x∈2,+∞时，故当a<−2时，a=−x2而当x∈1,2时，g故当a<−2时，a=−综上可知，当a<−2时，fx17．【答案】（1）证明：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，如图所示：

因为SA=SC，所以SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为SO∩BD=O，SO,BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，又因为SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD；（2）解：连接PO，因为SB∥平面PAC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面PAC=PO，所以SB∥PO，

在△SBD中，O为BD的中点，所以点P为SD的中点，易知直线SO，AC，BD两两垂直，以点O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：正方形ABCD的边长为2，A0,−2,0，C0,2,0，B设平面PAC的一个法向量为m=x,y,z，则m⋅AC=0m⋅AP=0，即2因为SB∥平面PAC，所以直线SB到平面PAC的距离等于点B到平面PAC的距离，BC在法向量m上的投影的模为BC⋅则直线SB到平面PAC的距离为62（3）解：不存在．

理由如下：由（2）可得直线SB到平面PAC的距离为62因为SB∥平面PAC，设点Q为SB的中点，所以点Q到平面PAC的距离为62假设在平面PAC上存在点E，使得△ESB是以SB为底边，2π3为顶角的等腰三角形，

则EQ=12SB⋅tan【解析】【分析】（1）连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，根据线线垂直可证明AC⊥平面SBD，利用线面垂直的性质证明即可；（2）连接PO，证得直线SO，AC，BD两两垂直，以点O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点面距离即可；（3）根据线面平行的性质，结合（2）可知Q到平面PAC的距离为62，而EQ=（1）证明：如图，连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由SA=SC得SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD．又SO∩BD=O，SO,BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD．又因为SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD．（2）连接PO，因为SB∥平面PAC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面PAC=PO，所以SB∥PO．在△SBD中，O为BD的中点，所以点P为SD的中点．易知直线SO，AC，BD两两垂直，如图，以点O为原点建立空间直角坐标系．因为正方形ABCD的边长为2，所以A0,−2,0，C0,2,0，设平面PAC的一个法向量为m=x,y,z，则可得所以22y=0−令x=32，可得m因为SB∥平面PAC，所以直线SB到平面PAC的距离等于点B到平面PAC的距离，BC在法向量m上的投影的模为BC⋅所以直线SB到平面PAC的距离为62（3）不存在．理由如下：根据第（2）问可得直线SB到平面PAC的距离为62又因为SB∥平面PAC，设点Q为SB的中点，所以点Q到平面PAC的距离为62假设在平面PAC上存在点E，使得△ESB是以SB为底边，2π3则有EQ=1因为EQ=618．【答案】（1）解：由题意，作图，如图所示：

因为△OAB为正三角形时，面积为483，所以△OAB的边长OA=83易知A,B关于x轴对称，则点A的坐标为12,43将点A代入抛物线的方程可得：48=24p，解得p=2，则抛物线C的方程为y2（2）解：由（1）可得F1,0，

设直线AB的方程为x=my+1，设点A,B的坐标分别为y12联立y2=4xx=my+1Δ=根据韦达定理可得y1+y设直线l1的方程为x=因为l1是抛物线C的切线，所以l联立y2=4xx=Δ=16m12−44m同理可得直线l2的方程为x=计算l1与l2的交点可得y2−y将点P的横坐标代入直线l1及l2，可得其纵坐标为y=y两者相加可得2y=y1+y2所以点P到直线AB的距离d=−1−2当且仅当m=0时等号成立，则点P到直线AB的距离的最小值为2．【解析】【分析】（1）由题意作图，根据正三角形的性质与抛物线的性质，可得点的坐标，代入抛物线方程求解即可；（2）设直线AB方程为x=my+1，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得y1+y2=4m（1）因为△OAB为正三角形时，其面积为483，可得△OAB的边长OA=83根据正三角形以及抛物线的对称性，可知此时点A，B关于x轴对称，所以点A的坐标为12,43将点A代入抛物线的方程可得48=24p，解得p=2，所以抛物线C的方程为y2（2）易得F1,0．设直线AB的方程为x=my+1，联立直线AB与抛物线C的方程可得y2Δ=设点A，B的坐标分别为y124根据韦达定理可得y1+y设直线l1的方程为x=因为l1是抛物线C的切线，所以l联立两个方程可得y2Δ=16m1所以直线l1的方程为x=同理可得直线l2的方程为x=计算l1与l2的交点可得y2所以动点P的轨迹为直线x=−1．将点P的横坐标代入直线l1及l2，可得其纵坐标为y=y两者相加可得2y=y1+所以点P的坐标为−1,2m，所以点P到直线AB的距离d=−1−2当且仅当m=