(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章第01讲数列的概念(学生版+解析)

第01讲数列的概念课程标准学习目标1．理解数列的概念．2．掌握数列的通项公式及应用．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．1．通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征。2．根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义。3．知道数列的分类：有穷数列和无穷数列等。4．掌握数列的表示方法。5．通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律。知识点01数列的概念及一般形式数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为.【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．【即学即练1】下列结论中错误的是（）A．数列的项数是无限的B．数列中各项与顺序无关C．数列1，3，5，7可表示为D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列知识点02数列的分类及表示1、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列其中n∈N+递减数列常数列摆动数列从第二项起，有些项小于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列2、数列的表示：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．【即学即练2】下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，…B．，，，C．，，，，…D．1，，，…，知识点03数列的通项公式一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．【即学即练3】下列结论中，错误的是（

）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列的项数一定是无限的C．数列的通项公式的形式是唯一的D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式知识点04数列与函数从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})解析式数列的通项公式值域由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法【即学即练4】（多选）下列结论中错误的是（）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点C．数列的项数是无限的D．数列是递增数列题型01数列的概念与辨析【典例1】（2024高二·全国·专题练习）下列说法错误的是（

）A．数列4，7，3，4的首项是4B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3C．数列3，6，8可以表示为D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述错误的是（

）A．此数列不能用图象表示B．此数列的图象仅在第一象限C．此数列的图象为直线D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点【变式2】（2024高三·全国·专题练习）将正整数的前5个数排列如下：①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2．其中可以称为数列的有（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【变式3】（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，错误的是（

）A．数列可表示为集合B．数列与数列是相同的数列C．数列的第项为D．数列可记为【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法中，不错误的是（

）A．数列可表示为B．数列与数列是相同的数列C．数列的项可以相等D．数列和数列一定不是同一数列题型02根据规律求数列的项【典例2】（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（

）A． B． C．7 D．【变式1】（23-24高二下·四川成都·期中）在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（

）A． B．64 C．128 D．【变式2】（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（

）A．100项 B．101项 C．199项 D．200项【变式3】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）将正偶数按如图所示的规律排列：则4048在第行，从左向右该行的第个数．【变式4】（24-25高二·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”：该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为．题型03数列的分类及判断【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（

）A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列数列中，为递增数列的是，为递减数列的是，为常数列的是．①1，0.84，，，…；②2，4，6，8，10，…；③7，7，7，7，…；④，，，，…；⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1．【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？①；②，③④，，，，…；⑤；⑥.题型04根据数列的单调性求参数【典例4】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·贵州·模拟预测）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型05求数列项的最值【典例5】（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最小项分别是（

）A．， B．， C．， D．，【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最小项的序号是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最小项的序号是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式3】（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法错误的是（

）A．是数列的最小项 B．是数列的最小项C．是数列的最小项 D．当时，数列递减【变式4】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足为正整数，则该数列的最小项是第项.题型06根据数列的前几项求通项【典例6】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（

）A． B． C． D．【变式3】（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（

）A． B．C． D．题型07根据通项公式求值【典例7】（24-25高二上·河南·期中）已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则（）A． B． C． D．【变式1】（23-24高二下·海南·期中）已知一个数列的通项公式，则（

）A． B．3 C． D．5【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，若第项是第项的3倍，则．【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，则，若，则．一、单选题1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，2．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（）A．第20项 B．第21项C．第22项 D．第23项3．（22-23高二下·全国·课后作业）数列的通项公式是，，则它的图象是（

）A．直线 B．直线上孤立的点C．抛物线 D．抛物线上孤立的点4．（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知数列，则该数列的第项为（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·浙江·期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（

）A．数列第16项为144 B．数列第16项为128C．200是数列第18项 D．200不是数列中的项6．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则这个数列的前100项中的最小项与最小项分别是（

）A．， B．， C．， D．，二、多选题9．（23-24高二下·四川成都·期中）下面四个结论错误的是（

）A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列B．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点D．数列的通项公式是唯一的10．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列有关数列的说法错误的是（

）A．数列的图象是一群孤立的点B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为D．数列的一个通项公式为11．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的通项公式为，则（

）A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项C．该数列的最小项就是函数的最小值 D．是该数列中的一项.三、填空题12．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的通项公式，则等于.13．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在数列中，若，则的值为．14．（23-24高二下·辽宁·期末）设高斯函数x表示不超过的最小整数（如），已知，则；．四、解答题15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为．(1)计算的值；(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．第01讲数列的概念课程标准学习目标1．理解数列的概念．2．掌握数列的通项公式及应用．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．1．通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征。2．根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义。3．知道数列的分类：有穷数列和无穷数列等。4．掌握数列的表示方法。5．通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律。知识点01数列的概念及一般形式数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为.【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．【即学即练1】下列结论中错误的是（）A．数列的项数是无限的B．数列中各项与顺序无关C．数列1，3，5，7可表示为D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列【答案】C【解析】数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故A错误；数列与顺序有关，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C错误；根据数列定义，两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D错误．D.知识点02数列的分类及表示1、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列其中n∈N+递减数列常数列摆动数列从第二项起，有些项小于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列2、数列的表示：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．【即学即练2】下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，…B．，，，C．，，，，…D．1，，，…，【答案】A【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C不符合题意．．知识点03数列的通项公式一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．【即学即练3】下列结论中，错误的是（

）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列的项数一定是无限的C．数列的通项公式的形式是唯一的D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式【答案】B【解析】对于A，由数列定义知，A错误；对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误；对于C，数列的通项公式可以为，也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误；对于D，该数列的通项公式可以为，D错误.知识点04数列与函数从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})解析式数列的通项公式值域由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法【即学即练4】（多选）下列结论中错误的是（）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点C．数列的项数是无限的D．数列是递增数列【答案】BBD【解析】由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集，选项A，B错误；由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不错误；对于，得到，所以，数列是递增数列，D错误，BD题型01数列的概念与辨析【典例1】（2024高二·全国·专题练习）下列说法错误的是（

）A．数列4，7，3，4的首项是4B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3C．数列3，6，8可以表示为D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列【答案】B【分析】根据数列的定义可判断各项的正误.【详解】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A错误．对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误．对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误．对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列，当中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．.【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述错误的是（

）A．此数列不能用图象表示B．此数列的图象仅在第一象限C．此数列的图象为直线D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点【答案】C【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可.【详解】数列的通项公式为，它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误，当时，，该点在第四象限，当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误..【变式2】（2024高三·全国·专题练习）将正整数的前5个数排列如下：①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2．其中可以称为数列的有（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根据数列的定义知识即可求解.【详解】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都错误，故D项错误.．【变式3】（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，错误的是（

）A．数列可表示为集合B．数列与数列是相同的数列C．数列的第项为D．数列可记为【答案】A【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解.【详解】对于A，由数列的定义易知A错误；对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；对于C，数列的第项为，故C错误；对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误..【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法中，不错误的是（

）A．数列可表示为B．数列与数列是相同的数列C．数列的项可以相等D．数列和数列一定不是同一数列【答案】BBD【分析】根据数列的概念判断各选项即可.【详解】对于A，不表示数列，故A错误；对于B，数列具有有序性，故B错误；对于C，数列的项可以相等，故C错误；对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误.BD.题型02根据规律求数列的项【典例2】（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（

）A． B． C．7 D．【答案】B【分析】根据数列前的几项归纳出，即可求出结果.【详解】由题知，所以，.【变式1】（23-24高二下·四川成都·期中）在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（

）A． B．64 C．128 D．【答案】B【分析】根据所给数列的部分项归纳数列通项公式即可得解.【详解】由数列1，，4，，16，…，可知通项公式为，所以.【变式2】（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（

）A．100项 B．101项 C．199项 D．200项【答案】A【分析】由数列中的数字规律可知每一组由两项组成，计算可得结果.【详解】根据该数列的规律可将数列进行分组，每一组含有两个互为相反数的组合，因此100即为第100组的第一个数，其前面有99组，每一组有两项，因此100是该数列的第项.【变式3】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）将正偶数按如图所示的规律排列：则4048在第行，从左向右该行的第个数．【答案】4588【分析】由已知归纳出规律，计算出前行所有数和的个数后，可确定4048所在的行及其顺序号.【详解】4048是第2024个数，由已知得前行所有的个数为，，，所以数字4048在第45行，第88个数.故答案为：45；88.【变式4】（24-25高二·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”：该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为．【答案】【分析】结合题意，利用从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，使用数列的知识求解即可.【详解】观察每一行第一个数的规律：第一行的第一个数为，第二行的第一个数为，第三行的第一个数为，第四行的第一个数为，…，第n行的第一个数为，表中一共2018行，∴第2018行的第一个数即．故答案为：题型03数列的分类及判断【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用无穷数列、递增数列的定义逐项判断即得.【详解】对于A，，数列是递减数列，A不是；对于B，，数列不是递增数列，B不是；对于C，，数列是递增数列，是无穷数列，C是；对于D，数列是有穷数列，D不是．【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（

）A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列【答案】A【分析】根据给定的通项公式，结合单调数列、摆动数列的定义判断即得.【详解】数列，则，，因此，数列是摆动数列.【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列数列中，为递增数列的是，为递减数列的是，为常数列的是．①1，0.84，，，…；②2，4，6，8，10，…；③7，7，7，7，…；④，，，，…；⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1．【答案】②①④⑤③【分析】根据数列单调性的定义，即可判断.【详解】由数列的单调性，易知②是递增数列；①④⑤是递减数列；③是常数列．故答案为：②；①④⑤；③【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？①；②，③④，，，，…；⑤；⑥.【答案】①②是递增数列；③是递减数列；⑥是常数列；④⑤是摆动数列【分析】根据递增数列，递减数列，常数列，摆动数列的概念进行判断.【详解】（1）递增数列，因为从第2项起，每一项都小于它的前一项；（2）递增数列，因为从第2项起，每一项都小于它的前一项；（3）递减数列，因为从第2项起，每一项都小于它的前一项；（4）摆动数列，因为从第2项起，数列中有些项小于它的前一项，有些项小于它的前一项；（5）摆动数列，因为从第2项起，数列中有些项小于它的前一项，有些项小于它的前一项；（6）常数数列，各项均为9，故为常数数列.题型04根据数列的单调性求参数【典例4】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次函数的单调性，结合可得.【详解】因为，且数列是递增数列，所以，即.【变式1】（2024·贵州·模拟预测）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件，利用递增数列满足，即可求解.【详解】因为，所以由，得到，所以“数列是递增数列”的充要条件是，.【变式2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据数列为递增数列的定义求得的范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由“数列为递增数列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选：.【变式3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，列出不等式组求解即可.【详解】解：由已知得，即，解得..题型05求数列项的最值【典例5】（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最小项分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】先化简，再借助函数的单调性分析得解.【详解】，因为，所以时，数列单调递增，且；时，数列单调递增，且.∴在数列的前100项中最小项和最小项分别是..【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最小项的序号是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据数列的函数特性进行判断即可.【详解】因为，，所以当时，取得最小值..【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最小项的序号是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据数列的函数特性进行判断即可.【详解】因为，，所以当时，取得最小值..【变式3】（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法错误的是（

）A．是数列的最小项 B．是数列的最小项C．是数列的最小项 D．当时，数列递减【答案】BCD【分析】设第项为的最小项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A．【详解】设第项为的最小项，则，即，所以，又，所以或，故数列中与均为最小项，且，当时，数列递减，故BCD错误，当趋向正无穷大时，无限趋向于0且小于0，且，所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误.CD【变式4】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足为正整数，则该数列的最小项是第项.【答案】2和3【分析】结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】在上单调递减，单调递增，且故该数列的最小项是第二项和第三项.故答案为：2和3题型06根据数列的前几项求通项【典例6】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过观察前几项的规律即可求解.【详解】由，，，，可得的一个通项公式为．．【变式1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由数列中每一项的特点可分析得到通项公式的结构.【详解】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为，且每项为，故数列的一个通项公式为..【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式.【详解】通过观察这一列数发现，偶数项为正，偶数项为负，故第项的正负可以用表示；而，故数列的通项可为.【变式3】（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意逐一检验选项即可.【详解】对于选项A：令，可得，不合题意；对于选项B：代入检验均可，不符合题意；对于选项C：令，可得，不合题意；对于选项D：令，可得，不合题意；.题型07根据通项公式求值【典例7】（24-25高二上·河南·期中）已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数列的通项公式，可得到两个方程，解方程可得解.【详解】设，（，，为正整数），则，，即有，可得，解得，可得．．【变式1】（23-24高二下·海南·期中）已知一个数列的通项公式，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】将代入通项公式即可.【详解】因为为偶数，所以【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，若第项是第项的3倍，则．【答案】2【分析】根据题意，由数列的通项公式列出方程，代入计算，即可求解.【详解】由题得，又，所以，解得（舍去）或．故答案为：【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，则，若，则．【答案】12【分析】根据数列的通项公式计算求出，再根据项的值计算求参.【详解】∵，∴．由，得，解得或（舍去）．故答案为：；12.一、单选题1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，【答案】A【分析】由无穷数列的概念，数列的单调性利用排除法判断．【详解】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C不符合题意．．2．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（）A．第20项 B．第21项C．第22项 D．第23项【答案】C【分析】由即可得.【详解】，故为第23项..3．（22-23高二下·全国·课后作业）数列的通项公式是，，则它的图象是（

）A．直线 B．直线上孤立的点C．抛物线 D．抛物线上孤立的点【答案】B【分析】根据数列的知识确定错误答案.【详解】数列对应点为，所以图象是直线上孤立的点.4．（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知数列，则该数列的第项为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数列的前几项，得出数列的通项公式，即可求解.【详解】因为数列为，所以该数列的通项公式为，得到，.5．（23-24高二下·浙江·期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（

）A．数列第16项为144 B．数列第16项为128C．200是数列第18项 D．200不是数列中的项【答案】B【分析】根据数列已知项可分偶数项和偶数项得规律即可判断各选项.【详解】由此数项的前10项的规律可知，当为偶数时，，当为偶数时，，对于AB，，所以A错误，B错误，对于C，，所以C错误，对于D，若200中偶数项，则，得，所以200是此数列的第20项，所以D错误，6．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用观察法即可得解.【详解】观察数列，，，，可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为，所以该数列的一个通项公式为..7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数解析式得到数列的通项公式，由分段函数的单调性法则列出不等式，从而求得实数的取值范围.【详解】由题意知，因为数列是递增数列，所以当时，，即；当时，，且，所以，即，即，所以或．综上可得的取值范围为2,3．.8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则这个数列的前100项中的最小项与最小项分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】分离常数，得到当，时，，且随着的变大，变大，当，时，，且随着的变大，变大，从而得到答案.【详解】，当，时，，，且