2024-2025学年陕西省铜川市王益中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省铜川市王益中学高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−32<x≤3}，B={x|−3≤x<52A.{x|−32<x≤3} B.{x|−3≤x≤3}

C.{x|−3≤x<2.若复数z=(2+i)(1−2i)，则|z|=(

)A.3 B.3 C.5 3.已知数列{an}满足a1=2，aA.10 B.11 C.12 D.134.已知函数f(x)=log2(x+2),g(x)=3xA.729 B.81 C.27 D.35.已知向量a=(x,−1)，b=(−4,x)，则“a//b”是“x=−2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.曲线y=2x−1x+2在点(1,f(1))处的切线方程为(

)A.5x−9y−2=0 B.5x+9y−8=0 C.6x−3y−5=0 D.6x+3y−7=07.已知某圆锥的侧面积为82π，母线长为4，则该圆锥的体积为A.162π3 B.828.已知点P是抛物线C：y2=4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x−y+3=0的距离为d2，则dA.1+355 B.5 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知双曲线E：y216−A.双曲线E的实轴长为8 B.双曲线E的虚轴长为3

C.双曲线E的离心率为53 D.双曲线E的渐近线的斜率为10.若函数f(x)=sin(2x−π3A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)在区间[−π12,5π12]上单调递增

C.函数f(x)的图象关于直线x=π1211.将n2个数排成n行n列的一个数阵，如：

该数阵第一列的n个数从上到下构成以d为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以d为公比的等比数列(其中d>0).已知a1,1=1，a5,1=a1,4+1，记这A.d=2B.a5,7=512

C.ai,j三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在化学实验课上，某实验小组的8名同学利用微型天平测量某胆矾化合结晶物的质量，8名同学在测量后得到的数据(单位：克)分别为：56，64，72，76，88，67，76，80，则这组数据的第70百分位数是______．13.已知tanα=32，则tan2α=______．14.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3,c=2．

(1)若b=32，求a；16.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=42，椭圆E的焦距为4．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知点M(M不在17.(本小题15分)

某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下2×2近视学生非近视学生合计每天使用时长不低于2小时105250每天使用时长低于2小时合计175400(1)完善2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？

(2)按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记X为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求X的分布列和数学期望．

参考公式：χ2=n(ad−bcα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小题17分)

如图，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是正方形，DE⊥CD，CD//EF，CD=3EF，CD=2DE．

(1)求证：AC⊥BE；

(2)求平面DBF与平面CBF夹角的余弦值．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−ax−1，g(x)=ln(x+2)−x−1(e为自然对数的底数，a∈R)，函数f(x)的极值点为0．

(1)求a的值；

(2)证明：对∀x∈(−2,+∞)，f(x)>g(x)；

(3)已知数列{an}答案解析1.【答案】B

【解析】解：A∪B={x|−32<x≤3}∪{x|−3≤x<52}={x|−3≤x≤3}．

故选：2.【答案】D

【解析】解：因为z=(2+i)(1−2i)=4−3i，

所以|z|=42+(−3)2=5．

3.【答案】D

【解析】解：因为an+1=3an−n，且a1=2，

所以a2=3a1−1=5，a3=3a4.【答案】C

【解析】解：因为函数f(x)=log2(x+2),g(x)=3x，

所以f(6)=log28=3，所以g(f(6))=g(3)=33=27．

5.【答案】B

【解析】解：因为向量b=(−4,x)，a=(x,−1)，

若a//b，则x2=−1×(−4)=4，解得x=±2，

因此，“a//b”是“x=−2”的必要不充分条件．

故选：6.【答案】A

【解析】解：因为f(x)=2x−1x+2=2−5x+2，所以f′(x)=5(x+2)2，

而f(1)=13,f′(1)=59，

因此所求切线方程为7.【答案】A

【解析】解：设底面半径为r，高为ℎ，母线长为l=4，

则圆锥的侧面积为πrl=82π，解得r=22，

则ℎ=l2−r2=428.【答案】B

【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1，

过点F作FE⊥m，交直线m于点E，

点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x−y+3=0的距离为d2，

由抛物线的定义可知，d1=|PF|，所以当P在线段EF上时，

d1+d2取得最小值，

(d1+d2)min=|FE|=|2−0+3|5=5．

9.【答案】AD

【解析】解：由y216−x29=1，双曲线的实轴在x轴，可得a=4，b=3，

∴c=a2+b2=5，

∴实轴2a=8，虚轴2b=6，故A选项正确，B选项错误；

离心率e=ca=54，故C选项错误；

渐近线方程y=±10.【答案】ABD

【解析】解：根据函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，可知A正确；

当x∈[−π12,5π12]时，2x−π3∈[−π2,π2]，

结合正弦函数的单调性，可知f(x)在区间[−π12,5π12]上单调递增，故B正确；

因为f(π12)=sin(π6−π3)=sin(−11.【答案】ACD

【解析】解：由题意，根据等差数列的通项公式得ai,1=a1,1+(i−1)d=1+(i−1)d，

ai,j=ai,1dj−1=[1+(i−1)d]dj−1．

因为a1,1=1，a5,1=a1,4+1，所以1+4d=d3+1，

解得d=2(d=0,d=−2舍去)，故A正确；

所以ai,j=(2i−1)2j−112.【答案】76

【解析】解：8名同学在测量后得到的数据(单位：克)分别为：56，64，72，76，88，67，76，80，

将数据从小到大排列为56，64，67，72，76，76，80，88，

由于8×70%=5.6，所以这组数据的第70百分位数为76．

故答案为：76．

由百分位数的概念及运算公式求解即可．

本题主要考查百分位数的求解，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：因为tanα=32，所以tan2α=2tanα1−tan2α=14.【答案】72

【解析】解：先确定C，有C41=4种方法，因为共有四种颜色，故A与E，B与D至少有一对同色，

则它们的涂色方法共有：A32+C21⋅A33=18种方法，

故共有4×18=72种方法．

故答案为：72．15.【答案】a=14；

C=【解析】(1)在△ABC中，A=π3，b=32，c=2，

根据余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccosA=18+2−2×32×2×12=14

可得a=14；

(2)已知a=3，c=2，A=π316.【答案】x28+y2【解析】(1)设椭圆半焦距为c，则依题意有2c=4，所以c=2，

因为椭圆左、右顶点分别为A，B，且|AB|=42，所以2a=42，则a=22，

所以b2=a2−c2=8−4=4，

所以椭圆E的方程为x28+y24=1．

(2)设M(x0,y0)(x0≠±22)，为点M在椭圆上，所以x028+y024=1，

由17.【答案】列联表见解析，有关联；

分布列见解析，73．【解析】(1)2×2列联表如下：近视学生非近视学生合计每天使用时长不低于2小时145105250每天使用时长低于2小时30120150合计175225400因为χ2=400×(145×120−30×105)2250×150×175×225≈55.010>10.828=x0.001，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，

可认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001．

(2)在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取105×15225=7人，

在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取120×15225=8人．

所以X的可能取值为0，1，2，3，X012345P87056140401所以E(X)=0×8429+1×70429+2×56143+3×140429+4×40429+5×1143=1001429=73．

(1)根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得到结论；18.【答案】证明见解析；

22110【解析】(1)证明：因为DE⊥CD，平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，DE⊂平面CDEF，

所以DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，

所以AC⊥DE.因为四边形ABCD是正方形，

所以AC⊥BD，又DE∩BD=D，DE，BD⊂平面BDE，

所以AC⊥平面BDE，又BE⊂平面BDE，

所以AC⊥BE；

(2)由(1)知DE⊥平面ABCD，

又AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，

又四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD，

所以AD，CD，ED两两垂直．

以AD，CD，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设CD=6，则D(0,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，F(0,2,3)，

所以DB=(6, 6, 0), BF=(−6, −4, 3), CB=(6, 0, 0)，

设平面DBF的法向量为m=(x, y, z)，

则m⊥DBm⊥BF，则m⋅DB=6x+6y=0,m⋅BF=−6x−4y+3z=0,

令x=1，得y=−1, z=23，

所以平面DBF的一个法向量为m=(1, −1, 23)，

设平面CBF的法向量为n=(a, b, c)，

则n⊥CBn⊥BF，则n⋅CB=6a=0,n⋅BF=−6a−4b+3c=0,，

令b=3，得a=0，c=4，

所以平面CBF的一个法向量为n=(0, 3, 4)，

设平面DBF与平面CBF的夹角为θ，

则cosθ=|m⋅n||m| |n|=|0−3+19.【答案】a=1；

证明见解析；

证明见解析．

【解析】(1)由f(x)=ex−ax−1，得f′(x)=ex−a，

因为函数f(x)的极值点为0，所以f′(0)=e0−a=0，解得a=1．

若a=1，f′(x)=ex−1，当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

所以0是函数f(x)的极值点，符合题意．

综上，a=1．

(2)证明：令ℎ(x)=f(x)