2024-2025学年吉林省友好学校高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省友好学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若复数z满足(1−i)z=3+i(其中i是虚数单位)，则(

)A.z的实部是2 B.z的虚部是2i C.z−=1+2i 3.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是5，则该正四棱锥的表面积为(

)A.3 B.12 C.8 D.4.已知向量a=(0,1)，b=(2,x)，若b⊥(b−4A.−2 B.−1 C.1 D.25.已知O(0,0)，A(2,0)，B(3,1)，则(OB−OAA.4 B.2 C.−2 D.−46.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，45×250+55×450+65×1150A.14 B.38 C.5127.如图，在四边形ABCD中，DC=2AB，BE=2EC，设DC=a，DA=bA.56a+12b B.28.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(

)A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等.根据下方的统计图，下列结论正确的是(

)

A.2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万

B.2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万

C.2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势

D.2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是(

)A.AB⊥EF

B.AB与CM所成的角为60°

C.EF与MN是异面直线

D.MN//平面ACD11.下列选项中，正确是(

)A.如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行

B.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行

C.如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行

D.如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______．13.已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为______．14.已知向量a,b满足，|a|=3,|b|=2,(2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC．

(1)求A的大小；

(2)若a=7，且顶点A到边BC的距离等于15314，求b和16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若点F是棱AB的中点，求证：CF//平面PAE．17.(本小题15分)

随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生人数；

(2)估计该校100名学生身高的75%分位数．18.(本小题17分)

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为19.(本小题17分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

(1)求异面直线AB1

答案解析1.【答案】A

【解析】解：(1+3i)(3−i)=3−i+9i+3=6+8i，

则在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．

故选：A．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】D

【解析】解：由(1−i)z=3+i，得z=3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i1−i2=1+2i．

∴z的实部为1，虚部为2，z3.【答案】B

【解析】解：如图所示：

在正四棱锥S−ABCD中，取BC中点E，连接SE，

则△SBE为直角三角形，又底面正方形边长是2，侧棱长是5，

∴SE=SB2−BE2=5−1=2，

∴4.【答案】D

【解析】解：a=(0,1)，b=(2,x)，

则b−4a=(2,x−4)，

b⊥(b−4a)，

则2×2+x(x−4)=(x−2)5.【答案】A

【解析】解：因为O(0,0)，A(2,0)，B(3,1)，

所以OB−OA=(1,1)

则(OB−OA)⋅OB=(1,1)6.【答案】A

【解析】解：依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137，271，436共3个，

所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率P=312=14．

故选：A7.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查平面向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题．

由已知结合向量的线性运算即可求解．【解答】

解：因为DC=a，DA=b，DC=2AB，

所以DB=DA+AB=8.【答案】A

【解析】【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．

本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．【解答】

解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，

7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，

故选：A．9.【答案】AC

【解析】解：对A选项，由统计图可知2010年到2019年每年新生儿数量都远远超过1400万，

只有2020，2021，2022三年每年新生儿数量略低于1400万，

故可看出2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，∴A选项正确；

对B选项，∵13×14=3.25，∴第一四分位数为从小到大排列的第4个数据，

由图可知从小到大排列的第4个数据为第2019年的新生儿数量，该数量大于1400万，∴B选项错误；

对C选项，由图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，∴C选项正确；

对D选项，由图可知2010至2016年每年新生儿数量比较集中于平均数，

而2016至2022年每年新生儿数量相对平均数比较分散，

∴2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，∴D选项错误．

故选：AC．

10.【答案】ACD

【解析】解：如图所示，将平面图形还原为立体图形，

根据正方体的性质，知EF⊥MC，MC/​/AB，故AB⊥EF，A正确，B错误；

EF与MN是异面直线，C正确；

平面MNF//平面ACD，MN⊂平面MNF，MN/​/平面ACD，D正确．

故选：ACD．

将平面图形还原为立体图形，根据正方体的性质，可知MC/​/AB，AB⊥EF，A正确，B错误，由立体图形，知C正确，根据平面MNF//平面ACD得到D正确．

本题空间中直线与直线的位置关系以及线面平行问题，属于中档题．11.【答案】BC

【解析】解：对于A，如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，故A不正确；

对于B，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行，故B正确；

对于C，如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行，故C正确；

对于D，如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或者相交，故D不正确．

故选：BC．

根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可．

本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．12.【答案】310【解析】解：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C53=10，

甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数C31=3，

根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P=C31C53=13.【答案】28【解析】解：取三棱柱ABC−A′B′C′的两底面中心O，O′，连结OO′，取OO′的中点D，连结BD

则BD为三棱柱外接球的半径．

∵△ABC是边长为2的正三角形，O是△ABC的中心，

∴BO=233．

又∵OD=1，

∴BD=213．

∴三棱柱外接球的体积V=43π×B14.【答案】34【解析】解：由(2a+b)⋅b=1，得2a⋅b+|b|2=1，

有2a⋅b15.【答案】解：(1)由正弦定理，2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，

即a2=b2+c2+bc．

因为cosA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，0<A<π，

所以A=2π【解析】(1)先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解；

(2)利用面积公式求出bc=15，联立方程组可求答案．

本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角形的面积公式及方程思想与化归思想，属于中档题．16.【答案】证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

又因为底面ABCD是菱形，则BD⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC．

(2)连接CF，AE，如图所示：

因为E，F分别为CD，AB的中点，

则AF//E且AF=CE，

所以四边形AFCE为平行四边形，所以AE/​/CF，

又AE⊂平面PAE，CF⊄平面PAE，

所以CF/​/平面PAE．

【解析】(1)由PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为菱形，即可得到BD⊥平面PAC内的两条相交直线，则可证得BD⊥平面PAC；

(2)由E，F分别为中点，可得到CF/​/AE，则问题即可得以证明．

本题主要考查线面垂直、线面平行的判定定理，考查推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知：

5×(0.01+0.02+0.04+x+0.07)=1，

解得x=0.06，

(0.06+0.04+0.02)×5×100=60(人)，

即身高在170cm及以上的学生人数为60人；

(2)[180,185]的人数占比为5×0.02=10%，[175,180]的人数占比为5×0.04=20%，

∴该校100名生学身高的75%分位数落在[175,180]，

设该校100名生学身高的75%分位数为x，

则0.04(180−x)+0.1=25%，解得x=176.25，

故该校100名生学身高的75%分位数为176.25．

【解析】(1)由频率和为1求出x的值，再计算身高在170

cm以上的学生人数；

(2)根据已知条件，结合分位数公式，即可求解．

本题主要考查了频率分布直方图的性质，考查了百分位数的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1−14−12=14，1−12−14=14；

租车费用相同可以分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况，

都付费0元的概率为P1=14×12=18；

都付费2元的概率为P2=12×14=18；

都付费4元的概率为P3=【解析】(1)先求出甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率，分析可得租车费用相同可以分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况，利用分类计数原理以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可；

(2)两人的租车费用