2024-2025学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−3,−2,−1,0,1}，B={x∈Z|x+3x−1<0}，则A∩B=A.[−3,1) B.[−3,1]

C.{−3,−2,−1,0,1} D.{−2,−1,0}2.下列说法不正确的是(

)A.若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，则P(3<X<4)=0.2

B.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14

C.若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强

D.对具有线性相关关系的变量x，y，且线性回归方程为y=0.3x−m，若样本点的中心为3.已知(1−i)2z=2+2i，则|z|=A.2 B.2 C.1−i D.4.已知圆C1：(x+2)2+y2=4与圆CA.相交 B.外离 C.外切 D.内含5.已知平面α及直线a，b，则下列说法错误的个数是(

)

①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；

②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；

③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直；

④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行．A.1 B.2 C.3 D.46.根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求最多出现2个紫色格子，那么一共可以传递的不同的信息有(

)A.36种 B.45种 C.46种 D.84种7.已知从椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点(3,0)，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦点，动点PA.33 B.32 C.8.已知函数f(x)=(12a−3)sinx+(32a+1)cosx，将f(x)图象向右平移π3个单位长度得到函数A.−1 B.1 C.−2 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设复数z=a+bi(a,b∈R)(i为虚数单位)，则下列说法正确的是(

)A.“z∈R”的充要条件是“z=z−”

B.若a=b=1，则z3的虚部为2

C.若a=0，b=1，则k=12022zk=z+10.下列四个结论中，正确的结论为(

)A.函数f(x)=x与函数g(x)=x2相等

B.若函数f(x)=ax−a(a>0且a≠1)的图象没有经过第二象限，则a>1

C.当x∈(1,2)时，关于x的不等式x2+mx+4<0恒成立，则实数m的取值范围为m<−5

D.11.非零实数a，b，c不全相等.下列说法正确的是(

)A.若a，b，c成等差数列，则1a，1b，1c可以构成等差数列

B.若a，b，c成等比数列，则1a，1b，1c必定构成等比数列

C.若b>a>0，ab=ba三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若A={x|y=4−x2}，B={y|y=x13.已知双曲线C：x2a2−y24=1的一条渐近线方程为P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|P14.若函数f(x)=logxa(a>0,x>0，且x≠1)的图象与直线x+y=2lna没有交点，则a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知公差不等于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4=16，a1，a2，a5成等比数列．

(Ⅰ)求数列{an}16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PCD，AD//BC，PD⊥PB．

(1)求证：平面PAD⊥平面PBC；

(2)若AD=1，PD=2，CD=3，BC=4，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=xlnx+ax．

(1)讨论函数f(x)在区间[1,+∞)上的单调性；

(2)当a=−3时，证明：f(x)≥−x18.(本小题17分)

我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=14[a2c2−(a2+c2−b22)2]．

(1)用“三斜求积”公式证明S=12acsinB；

(2)若b=2，且3c⋅cosB+23cosC=c，求△ABC面积的最大值；

(3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体19.(本小题17分)

新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税．某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份编号t12345销量(万辆)0.50.611.41.7(1)经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y(万辆)与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程y​=b​t+a​，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；

(2)2018年6月12补贴金额预期值区间(万元)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)频数206060302010(i)求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值x的样本方差s2及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；

(ii)将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．

参考公式及数据：①回归方程y​=b​x+a​，其中答案解析1.【答案】D

【解析】解：∵集合A={−3,−2,−1,0,1}，

B={x∈Z|x+3x−1<0}={−2,−1,0}，

∴A∩B={−2,−1,0}．

故选：D．

求出集合A，B2.【答案】B

【解析】解：对A：若随机变量X服从正态分布X(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，

则P(X>4)=1−P(X≤4)=0.3，

则P(3<X<4)=0.5−P(X>4)=0.2，A正确；

对B：因为10×60%=6，所以第60百分位数为14+162=15，B错误；

对C：若线性相关系数|r|越接近1，

则两个变量的线性相关性越强，C正确；

对于D，样本点的中心为(x−,y−)，

所以x−=m，y−=2.8，

而对于回归直线方程y​=b​x+a​，

因为此时线性回归方程为y=0.3x−m，

所以b3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是基础题．

根据复数的运算性质求出z，再计算即可．【解答】

解：∵(1−i)2z=2+2i，

∴−2iz=2+2i，

∴z=2+2i−2i=(2+2i)i−2i⋅i=−1+i4.【答案】A

【解析】解：对于圆C1：(x+2)2+y2=4，圆心坐标O1(−2,0)，半径r1=2，

对于圆C2：(x−2)2+(y−1)2=9，圆心坐标O2(2,1)，半径r2=3，

则圆心距d=5.【答案】C

【解析】解：①若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行，错误，如图：

在直线a上取一点A，作AA1⊥α，在直线b上取一点B，作BB1⊥α．

可以使∠AOA1=∠BOB1=30°，但a与b不平行；

②若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直，错误，

上图中在∠AOA1=∠BOB1=30°时，可以使∠AOB=90°，即a⊥b；

③若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直，正确．

原因是若a与b与平面α都垂直，则a/​/b，a与b不垂直；

④若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行，错误，如a，b都垂直平面α．

∴6.【答案】C

【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：

①没有紫色的格子，可以传递1种信息，

②有1个紫色的格子，可以传递C91=9种信息，

③有2个紫色的格子，可以传递12×C92=36种信息，

则一共可以传递1+9+36=46种信息；

7.【答案】A

【解析】解：设P(x,y)，不妨令E(−3,0)，F(3,0)，

故|PE||PF|=(x+3)2+y2(x−3)2+y2=2，整理得(x−533)2+y2=163，

故P点轨迹为圆，圆心为(533,0)，半径为433，

由题意得A(−a,0)，B(a,0)，

则P点到x轴的距离最大值为433，

∴S△PAB=12×433|AB|=8.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．

由三角函数中的恒等变换应用化简可得f(x)的解析式，根据平移变换可得g(x)解析式，由题意g(x)图象关于直线x=π4对称，从而解得【解答】

解：∵f(x)=12asinx+32acosx−3sinx+cosx=asin(x+π3)+2cos(x+π3)．

∴将f(x)图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)9.【答案】ABD

【解析】解：对于A，若z∈R，则z=a，此时z=z−，

若z=z−，则a+bi=a−bi，即b=0，故z=a∈R，故A对；

对于B，z=1+i，则z3=(1+i)3=−2+2i，故虚部为2，故B对；

对于C，z=i，则z+z2+z3+z4=i−1−i+1=0，

故k=12022zk=505×(z+z2+z3+z4)+z2021+z2022=z+z2=−1+i，故C错；

对于D，由z2−5|z|+6=a2−b2−5a2+b10.【答案】BD

【解析】解：对于A，函数f(x)=x值域为R，函数g(x)=x2值域为[0,+∞)，所以f(x)=x与函数g(x)=x2不是相等函数，选项A错误；

对于B，若函数f(x)=ax−a(a>0且a≠1)的图象没有经过第二象限，则a>1f(0)=a0−a≤0，解得a>1，所以选项B正确；

对于C，当x∈(1,2)时，关于x的不等式x2+mx+4<0恒成立，

即m<−x2−4x=−x−4x，设g(x)=−x−4x，则m<g(x)min，

因为y=x+4x在x∈(1,2)单调递减，所以g(x)=−x−4x在x∈(1,2)单调递增，

所以g(x)>g(1)=−5，所以m≤−5，选项C错误；

对于D，函数f(x)=(x+1)2x2+1=2xx2+1+1，设ℎ(x)=2xx2+1，

则ℎ(−x)=−2x11.【答案】BD

【解析】解：对于A，若a=1，b=2，c=3，则1，12，13不可以构成等差数列，故A错误；

对于B，若a，b，c成等比数列，则ac=b2，且a，b，c都不为0，

则1ac=1b2，即1a，1b，1c必定构成等比数列，故B正确；

对于C，若b>a>0，ab=ba，则blna=alnb，即lnbb=lnaa，

令f(x)=lnxx(x>0)，f′(x)=(lnx)′x−x′lnxx2=1−lnxx2，

当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)=lnxx是单调递增函数，

当x>e时，f′(x)<0，f(x)=lnxx是单调递减函数，

由于b>a>0，f(b)=lnbb=f(a)=lnaa，则b>e，故C错误；

对于D，若非零实数a，b，c，ab=c2，且a+b+c=ln(b+c)，则b+c>0，ab>0，

设g(x)=lnx−x+1(x>0)，则g′(x)=1x−1=1−xx，

当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)=lnx−x+1是单调递增函数，

当x>1时，g′(x)<0，g(x)=lnx−x+1是单调递减函数，

所以g(x)≤g(1)=ln1−1+1=0，所以lnx≤x−1(x>0)，

所以ln(b+c)≤b+c−1，可得a≤−1，

又b+c>012.【答案】[−2,2]

【解析】解：A={x|y=4−x2}={x|−2≤x≤2}，

y=x2−2x−3，x∈{x|−2≤x≤2}，

则B={x|−4≤x≤5}，

故A∩B=[−2,2]．

故答案为：[−2,2]．13.【答案】1或13

【解析】解：已知双曲线C：x2a2−y24=1的渐近线方程为2x±ay=0，

又双曲线C：x2a2−y24=1的一条渐近线方程为2x+3y=0，

不妨设a>0，

则a=3，

又F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，

则||PF1|−|PF14.【答案】{1}∪(e【解析】解：由题意可得方程logxa=−x+2lna在x∈(0,1)∪(1,+∞)无解，

将方程变形得xlnx−2lna⋅lnx+lna=0，

即函数g(x)=xlnx−2lna⋅lnx+lna在x∈(0,1)∪(1,+∞)无零点，

易得g(x)的定义域为(0,+∞)，仅在讨论零点时舍去x=1的情况；

若a=1时，则g(x)=xlnx，当0<x<1时g(x)<0，当x>1时g(x)>0，

故在(0,1)∪(1,+∞)无零点，因此a=1符合题意；

当a≠1时，则g′(x)=1+lnx−2lnax，设φ(x)=1+lnx−2lnax，则φ′(x)=x+2lnax2，

当a>1时φ′(x)>0，则φ(x)在(0,+∞)单调递增，即g′(x)在(0,+∞)单调递增，

由于x→0时g′(x)→−∞，x→+∞时g′(x)→+∞，

由零点存在性定理可知g(x)在(0,+∞)必有、且只有一个零点，

设为x0，则当x∈(0,x0)时g′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时g′(x)>0，

所以g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，

其中12x0(1+lnx0)=lna，故只需令g(x0)>0，

当x0=1时g(x0)=lna>0符合题意，

因此g(x0)=x0lnx0−x0lnx0(1+lnx0)+12x0(1+lnx0)

=−12x0[2(lnx0)2−lnx0−1]>0，

即2(lnx0)15.【答案】(Ⅰ)an=2n−1；(【解析】(Ⅰ)设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S4=16，a1，a2，a5成等比数列，

所以S4=16a22=a1⋅a5，整理得4a1+6d=16a1(a1+4d)=(a1+d)216.【答案】证明见解析；

23【解析】(1)证明：∵AD⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，∴AD⊥PD，

∵BC/​/AD，∴PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，

∴PD⊥平面PBC，又∵PD⊂平面PAD，

∴平面PAD⊥平面PDC；

(2)过点D作DF/​/AB交BC于点F，连接PF，

则AB与平面PBC所成角即为DF与平面PBC所成角，

∵PD⊥平面PBC，∴PF为DF在平面PBC上的射影，

∴∠DFP为直线DF与平面PBC所成角，

∵AD/​/BC，DF/​/AB，

∴四边形DABF为平行四边形，

∴BF=AD=1，CF=BC−BF=3，

∵AD⊥DC，∴BC⊥DC，

在Rt△DCF中，DF=CD2+CF2=32+32=32，

在Rt△DPF中，sin∠DFP=PDDF=232=23，

∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为23．

(1)利用线面垂直的判定定理证PD⊥平面PBC，最后利用面面垂直的判断定理即可得证；

(2)过点D作17.【答案】(1)解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f’(x)=Inx+a+1，

令f’(x)=0，可得x=e−a−1，

①.当e−a−1≤1，即a≥−1时，函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增；

②.当e−a−1>1，即a<−1时，函数f(x)在区间[1,e−a−1)上单调递减，在区间[e−a−1,+∞)上单调递．

(2)证明：当a=−3时，不等式f(x)≥−x2−2可化为xlnx−3x≥−x2−2，

不等式两边同除以x后整理为x+2x+lnx−3⩾0，

令g(x)=x+2x+lnx−3，

有g′(x)=1−2x2+【解析】本题主要考查利用导数讨论函数单调性的方法，利用导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．

(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；

(2)将原问题进行恒等变形，然后构造新函数，利用导数研究新构造的函数即可证得题中的不等式．18.【答案】(1)证明：由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac，所以a2+c2−b2=2accosB，

所以S=14[a2c2−(a2+c2−b22)2]=14[a2c2−(2accosB2)2]