2024-2025学年黑龙江省双鸭山市部分学校高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省双鸭山市部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足1−iz=z，则z的虚部是(

)A.12 B.12i C.−2.m，n为空间两条不重合直线，α为空间平面，下列命题正确的是(

)A.m⊥α，n⊥m，则n//α

B.m，n与α所成角均为30°，则m//n

C.m//α，n//α，m//n，则直线m，n到α的距离相等

D.m//α，n//α，则m，n可以是异面直线3.如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准a(单位：t)，根据直方图估计，下列最接近a的数为(

)

A.8.5 B.9 C.9.5 D.104.如图，三个元件T1，T2，T3正常工作的概率均为13，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是(

)

A.19 B.C.527 D.5.如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径BC=2，点D为底面BC的中点，则在该圆锥的侧面展开图(图2)中DB⋅DC=(

)A.−9B.−9C.9−9D.27−186.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n.设平面向量a=(4,2),b=(m,n)，则向量a,A.112 B.16 C.147.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若BC2=2BC⋅AB，则A.32 B.12 C.8.如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是(

)A.AC⊥BD

B.AB与平面BCD所成角为60°

C.△ADC为等边三角形

D.二面角A−BC−D的平面角的正切值是二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2∈C，下列说法正确的是A.若|z1|=|z2|，则z12=z22

B.若z1z2=0，则z110.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位.降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响.如图，这是A，B两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．

下列结论正确的是(

)A.这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大

B.这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大

C.这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大

D.这年上半年A地月降雨量的80%分位数比B地月平均降雨量的80%分位数大11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，QA.不存在点Q，使得C1Q//A1C

B.存在点Q，使得C1Q⊥A1C

C.对于任意点Q，Q到三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a，b的夹角为2π3，a=(3,1)，|13.如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC，将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点C为半圆弧的中点，该几何体的体积为______．14.已知某艺术协会的会员中，有1112的会员喜爱书画或戏曲，有23的会员喜爱书画，有12的会员同时喜爱书画、戏曲.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C16.(本小题15分)

某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量(简称“单量”)，得到如下的频数分布表：单量/单[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55)人数100120130180220150603010

(1)补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；

(2)根据图表数据，试求样本数据的中位数(精确到0.1)；

(3)根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：日单量/单(0,20)[20,40)[40,+∞)类别普通骑手精英骑手王牌骑手装备价格/元250040004800根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本．17.(本小题15分)

某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖．

(1)求顾客一次抽奖中奖的概率；

(2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值．18.(本小题17分)

已知a=(sinωx,cosωx)，b=(cosωx,3cosωx)，ω>0，函数f(x)=a⋅b−32的最小正周期为π．

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a19.(本小题17分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB=AC，A1B=A1C.

(1)证明：A

答案解析1.【答案】C

【解析】解：由题意，z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，则2.【答案】D

【解析】解：对于A，m⊥α，n⊥m，则n/​/α或n⊂α，所以A选项错误；

对于B，m，n与α所成角均为30°，则m，n可以不平行，

例如圆锥的母线都与轴成30°，所以B选项错误；

对于C，m/​/α，n/​/α，m/​/n，直线m，n到α的距离可以不相等，所以C选项错误；

对于D，m/​/α，n/​/α，则m，n可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，所以D选项正确．

故选：D．

根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断．

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．3.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图，百分位数，属于基础题．

根据百分位数的定义求解．【解答】

解：用水在10.2t以下的居民用户所占比例为3×(0.077+0.107+0.043)=0.681，

故a<10.2，

则0.681−0.60=0.043×(10.2−a)，

解得a≈8.3．

故选：A．4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式相关知识，属于基础题．

根据相互独立事件的概率乘法公式可解．【解答】

解：三个元件T1，T2，T3正常工作的概率均为13，且是相互独立的，

则电路不发生故障的概率为135.【答案】D

【解析】解：如图，连结AB，AD，

由题意圆锥的母线长为3，底面圆直径BC=2，点D为底面BC的中点，

可得圆锥底面圆的周长为2π，母线为3，所以扇形展开图的圆心角为2π3，

则∠BAC=π3，∠BAD=∠DAC=π6，

DB⋅DC=(AB−AD)⋅(AC−AD6.【答案】A

【解析】解：抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．

a=(4,2),b=(m,n)且a,b不能作为基底，则4n=2m，即m=2n，

当m=2时，n=1；当m=4时，n=2；当m=6时，n=3；

两次投掷得到点数的总可能性为6×6=36种，

所以所求的概率P=336=112．7.【答案】A

【解析】【分析】本题考查利用余弦定理解决范围与最值问题，属于中档题．

运用数量积定义和余弦定理，结合基本不等式即可计算求解．【解答】

解：由题意在△ABC中，BC2=2BC⋅AB，

所以a2=−2ac⋅cosB，

则a2=−2ac⋅a2+c2−b22ac=−a2−c8.【答案】B

【解析】解：如图，

在左图中，连接AC，BD，交点为O，所以AC⊥BD，

对于选项A，翻折后图中，AO⊥BD，CO⊥BD，

因为AO∩CO=O，AO，CO⊂平面AOC，

所以BD⊥平面AOC，

又AC⊂平面AOC，所以AC⊥BD，故选项A正确；

对于选项B，因为二面角A−BD−C是直二面角，且平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊥BD，

所以AO⊥平面BCD，

所以AB与平面BCD所成角为∠ABO，

因为AO=BO，所以∠ABO=45°，故选项B错误；

对于选项C，设正方形的边长为2，则AO=CO=12BD=2，则AC=2=AD=CD，

即△ADC为等边三角形，故选项C正确；

对于选项D，如图，取BC的中点E，连接OE，AE，由B项，已得AO⊥平面BCD，

因为BC⊂平面BCD，则AO⊥BC，又OE/​/CD，CD⊥BC，则OE⊥BC，

因为AO∩OE=O，AO，OE⊂平面AOE，

所以BC⊥平面AOE，

因为AE⊂平面AOE，则BC⊥AE，

所以∠AEO为二面角A−BC−D的平面角，

设正方形的边长为2，则AO=2,OE=12CD=1，tan∠AEO=2，

所以二面角A−BC−D的平面角的正切值是2，即选项D正确．

故选：B．

连接AC，BD，交点为O，证明BD⊥平面AOC，由线面垂直的性质即可判断A；

证明AO⊥平面BCD，即得AB与平面BCD所成角即∠ABO，即可判断B；

通过边长计算可判断C；

取BC的中点E9.【答案】BCD

【解析】解：若z1=1，z2=i，满足|z1|=|z2|，但z12=1,z22=−1，故A错误，

由z1z2=0，则|z1z2|=0⇒|z1z2|=|z1||z2|=0⇒|z1|=0或|z2|=0，故z1，z2中至少有一个为0，B正确，

设z1=m+ni(m,n∈R)，

则z1−10.【答案】ACD

【解析】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：25，27，28，38，42，50，

B地月降雨量按升序排列可得：22，25，30，37，40，45，

B地月平均降雨量为y−=22+25+30+37+40+456=1996，

可知A地月平均降雨量为x−=25+27+28+38+42+506=35，

因为x−>y−，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确；

A地月降雨量的中位数为28+382=33，B地月降雨量的中位数为30+372=33.5，

因为33<33.5，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误；

A地月降雨量的极差为50−25=25，B地月降雨量的极差为45−22=23，

因为25>23，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确；

因为6×80%=4.8，

可知A地月降雨量的80%分位数为42，B地月降雨量的80%分位数为40，

且42>40，所以A地月降雨量的11.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，点到线距离的求法，余弦定理等是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．

对于A：由C1Q⊂平面CDD1C1，A1C与平面CDD1C1相交，即可判断；对于B：当点Q与点D重合时，根据线面垂直的判定定理与性质定理，可证C1Q⊥A1C；对于C：取两个特殊点进行运算，当点Q与点D重合时，由等面积法可得点Q到A1C的距离d=63；当点Q为棱DD【解答】

解：对于A：因为点Q是棱DD1上的动点，

所以C1Q⊂平面CDD1C1，

又A1C∩平面CDD1C1=C，

所以C1Q与A1C异面，即不可能存在点Q，使得C1Q//A1C，故A正确；

对于B：当点Q与点D重合时，

由正方体的性质知，

C1Q⊥CD1，A1D1⊥平面CDD1C1，

因为C1Q⊂平面CDD1C1，

所以A1D1⊥C1Q，

又CD1∩A1D1=D1，CD1，A1D1⊂平面A1CD1,

所以C1Q⊥平面A1CD1，

因为A1C⊂平面A1CD1，

所以C1Q⊥A1C，故B正确；

对于C：设正方体的棱长为1，

当点Q与点D重合时，△A1CQ为直角三角形，

其中A1C=3，CQ=1，A1Q=2，

所以点Q到A1C的距离d=A1Q×CQA1C=612.【答案】7【解析】解：由a=(3,1)，

则|a|=(3)2+12=2，13.【答案】163【解析】解：根据题意可知，三角形ABC即为等腰直角三角形，

作CO⊥AB于点O，如下图所示：

则三角形ABC绕着直径AB所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥AO和BO，

由半径为2可得圆锥底面圆半径为CO=2，圆锥的高AO=2，

则圆锥AO的体积V1=13π×22×2=83π，

半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为V2=43π×23=323π14.【答案】34【解析】解：根据题意，记事件A=“该会员喜爱书画”，事件B=“该会员喜爱戏曲”，

则有P(A∪B)=1112，P(A)=23，P(A∩B)=12，

则P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)，即1112=23+P(B)−12，解得P(B)=15.【答案】解：(1)由题可知，S△C1EF=18，S△BCD=12，ℎ=1，

故根据棱台的体积公式，

可得棱台EFC1−BDC的体积V=13×(18+18×12+12)×1=724．

(2)证明：如图所示，连接B1D1，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，

所以EF/​/B1D1，MN/​/B1D1，

所以EF/​/MN，EF⊂平面EFDB，MN⊄平面EFDB，

所以MN/​/平面EFDB，

连接NE，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，【解析】(1)算出底面面积，代入台体的体积公式即可；

(2)根据条件证出AN/​/BE，再利用线面平行的判定定理即可得证．

本题考查台体的体积计算，以及面面平行的判定，属于中档题．16.【答案】解：(1)由第二组的频数得频率为1201000=0.12，从而第二组矩形的高为0.125=0.024，

由第四组的频数得频率为1801000=0.18，从而第二组矩形的高为0.185=0.036，

补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：

(2)中位数的估计值：

由5×0.02+5×0.024+5×0.026=0.35<0.5，0.35+5×0.036=0.53>0.5，

所以中位数位于区间[25,30)中，

设中位数为x，则0.35+(x−25)×0.036=0.5，

解得x≈29.2.即样本中位数是29.2；

(3)依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有100+120=220(人)，

精英骑手共有130+180+220+150=680(人)，王牌骑手共有60+30+10=100(人)，

这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为220×2500+680×4000+100×48001000【解析】(1)由频数分布表能补全该市1000名外卖骑手周每天单量的频率分布直方图；

(2)由频率分布直方图能求出样本的中位数；

(3)分别求出普通骑手、精英骑手、王牌骑手的人数，由此能估计该市每位外卖骑手购买装备平均成本．

本题考查频率分布直方图的应用，考查计算能力，是基础题．17.【答案】710；

2000元．【解析】(1)设A1，A2为两个标有“中奖”字样的小球，B1，B2，B3为三个未标有“中奖”字样的小球，

从中随机抽取两个小球，则有{A1,A2}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,18.【答案】[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z【解析】(1)因为a=(sinωx,cosωx)，b=(cosωx,3cosωx)，ω>0，

所以a⋅b=sinωxcosωx+3cos2ωx=12sin2ωx+3(1+cos2ωx)2=12sin2ωx+32cos2ωx+32

=sin(2ωx+π3)+32，

所以f(x)=a⋅b−32=sin(2ωx+π3)．

因为f(x)的最小正周期为π，所以T=2π2ω=π，所以ω=1，所以f(x)=sin(2x+π3)．

由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，

所以f(x)