2024-2025学年河北省唐山市遵化市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省唐山市遵化市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|−2≤x≤2}，则A∩B=(

)A.[−1,1] B.[−2,2] C.{0,2} D.{−2,0,2}2.已知抛物线y=116x2A.116 B.18 C.8 3.已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，A.8 B.16 C.24 D.484.“旅游胜地，大美遵化”，2025年暑假来临之际，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定一起环游遵化.到遵化的顾客，一般都会选择东陵、汤泉、禅林寺这三个地方游览，如果在某日上午8：00～9：00之间，他们每人只能去一个地方，东陵一定有人去，则不同游览方案的种数为(

)A.243 B.211 C.125 D.605.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r，

若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则ra=(

)

A.22 B.34 C.2−6.已知α+β=5π4，则(1+tanα)⋅A.−1 B.−2 C.2 D.37.已知a=20.3，b=0.20.3，c=A.b>a>c B.a>c>b C.b>c>a D.a>b>c8.若双曲线x2a2−y2b2A.54 B.2516 C.53二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.(多选)下列各式中，值为32的是A.1−cos 120°2 B.cos2π10.下列有关复数的说法中(其中i为虚数单位)，正确的是(

)A.2+i>1+i

B.复数z=3−2i的虚部为2i

C.复数z为实数的充要条件是z=z−

D.已知复数z满足|z|=2，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以11.已知定义域为R的函数f(x)在(−1,0]上单调递增，f(1+x)=f(1−x)，且图像关于(2,0)对称，则f(x)(

)A.f(0)=f(−2) B.周期T=2

C.在(2,3)单调递减 D.满足f(2021)>f(2022)>f(2023)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为______．13.已知平面内的向量a在向量b上的投影向量为12b，且|a|=|b14.已知△ABC的面积为3，A=2π3,BA⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=13x3+ax2−6x+2在x=2处取得极值．

(1)求f(x)的单调区间；

16.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3n2−5n(n∈N∗)．

(1)求数列{an}的通项公式；

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，BC=CD=12AD=1，AD⊥CD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)求证：CE//平面PAB；

(2)若三棱锥P−ABD的体积为23，求PA18.(本小题17分)

为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群(数量较大)进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据(单位：只)：发病没发病合计使用药物103040没使用药物251540合计354580(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？

(2)从该地区此动物群中任取一只，记A表示此动物发病，A−表示此动物没发病，B表示此动物使用药物，定义事件A的优势R1=P(A)1−P(A)，在事件B发生的条件下A的优势R2=P(A|B)1−P(A|B)，证明：R2R1=P(B|A)P(B|A−)，并利用表中数据求出R2R1P(0.0500.0100.001x3.8416.63510.82819.(本小题17分)

阿基米德(公元前287年−公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为2π，椭圆的焦距为23．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点M，N，A，B分别为椭圆的上、下顶点，设D为直线AN上一点，且直线BD，答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

分别求得集合A、B，利用交集定义直接求解．【解答】

解：∵集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|−2≤x≤2}，

A∩B={−2,0,2}．

故选：D．2.【答案】C

【解析】解：由题可得抛物线方程为：x2=16y，

故2p=16，故p=8，

故抛物线的焦点到准线的距离为p=8．

故选：C．

根据抛物线的标准方程可得p=8，即可求解．3.【答案】C

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

由a1<0，S2=a1+a2=3>0，得a2=a1q>0，所以q<0，

由S6=53，得S2+S2q2+S2q4=63，即3+3q2+3q4=63，

所以q4+q2−20=0，解得q4.【答案】B

【解析】解：根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学每人只能去一个地方，则共有35=243种，

若没有人去东陵，则共有25=32种，

则东陵一定有人去的不同游览方案的种数为243−32=211．

故选：B．5.【答案】D

【解析】解：根据题意，设储物盒所在球的半径为R，

如图：若小球的最大半径r，有(2+1)r=R，变形可得r=R2+1=(2−1)R，

若正方体的最大棱长为a，有(2a)2+(a2)2=R2，变形可得a=23R，6.【答案】C

【解析】解：∵α+β=5π4，

∴tan(α+β)=tan5π4=tan(π+π4)=tanπ4=1，

∴7.【答案】D

【解析】解：因为y=2x单调递增，所以a=20.3>20=1，

又因为y=0.2x单调递减，所以1=0.20>0.20.3>0.20.6，

所以8.【答案】C

【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为θ，且sinθ=45，

根据对称性不妨设θ为锐角，由sinθ=45，可知cosθ=1−sin2θ=35，则tanθ=9.【答案】AB

【解析】解：选项A，原式=1−(2cos260°−1)2=sin60°=32，即A正确；

选项B，原式=cosπ6=32，即B正确；

选项C，原式=sin(45°−15°)=sin30°=12，即C错误；

选项D10.【答案】CD

【解析】解：对于A，虚数不能比较大小，故A错误；

对于B，复数z=3−2i的虚部为−2，故B错误；

对于C，复数z为实数的充要条件是虚部为0，而虚部为0的充要条件为z=z−，

所以复数z为实数的充要条件是z=z−，故C正确；

对于D，已知复数z满足|z|=2，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆，故D正确．

故选：CD．

由虚数不能比较大小可判断A，由虚部的定义可判断BC，由复数的几何意义可判断11.【答案】ACD

【解析】解：由f(1+x)=f(1−x)，知f(x)的对称轴为x=1，所以f(0)=f(2)，

由f(1+x)=f(1−x)，知f(2+x)=f(−x)，

又图像关于(2,0)对称，

即f(2+x)=−f(2−x)，且f(2)=0，

故f(4+x)=−f(−x)，

所以−f(2+x)=f(4+x)，即−f(x)=f(2+x)，

所以f(x+4)=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x)，

所以f(x)的周期为4，

在f(4+x)=−f(−x)中，令x=0，则有f(4)=−f(0)，

所以f(0)=f(0+4)=f(4)=−f(0)，

所以f(0)=0，

又因为f(2)=0，

所以f(2−4)=f(−2)=0，

所以f(0)=f(−2)=0，故A正确，B错误；

因为f(x)在(−1,0]上单调递增，且T=4，所以f(x)在(3,4]上单调递增，

又图像关于(2,0)对称，所以f(x)在(0,1]上单调递增，

因为关于x=1对称，所以f(x)在(1,2]上单调递减，

又关于(2,0)对称，在(2,3)单调递减，故C正确；

根据周期性，f(2021)=f(1)，f(2022)=f(2)，f(2023)=f(3)，

因为关于x=1对称，所以f(2)=f(0)，

因为周期T=4，所以f(3)=f(−1)；

结合f(x)在(1,2]上单调递减，且(−1,0]上单调递增，

故f(3)=f(−1)<f(0)=f(2)<f(1)，

即f(2021)>f(2022)>f(2023)，故D正确．

故选：ACD．

由f(1+x)=f(1−x)，可得f(x)的对称轴为x=1，又由f(x)的图像关于(2,0)对称，可得T=4，f(2)=0，从而判断A，B；

由f(x)在(−1,0]上单调递增，且T=4，可得f(x)在(3,4]上单调递增，结合f(x)图像关于(2,0)对称，所以f(x)在(0,1]上单调递增，再由f(x)的对称轴为x=1，可判断C；

由题意可得f(2)=f(0)，周期T=4，所以f(3)=f(−1)，结合f(x)在(1,2]上单调递减，且(−1,0]上单调递增及f(2021)=f(1)，f(2022)=f(2)，f(2023)=f(3)，即可判断D．

本题考查了抽象函数的对称性、周期性及单调性，得出周期为4是关键，属于中档题．12.【答案】π2【解析】解：设正方体的棱长为：1，所以正方体的表面积为：S1=6；

正方体的体对角线的长为：3，就是球的直径，∴球的表面积为：S2=4π(32)2=3π

13.【答案】3【解析】解：根据题意，因为a⋅b|b|2⋅b=12b，所以a⋅b|b|2=12，

又|14.【答案】2

【解析】解：由题设12bcsinA=34bc=3，则bc=4，

又BA⋅BC=AB⋅(AB−AC)=AB2−AB⋅AC15.【答案】解：(1)f(x)=13x3+ax2−6x+2，

f′(x)=x2+2ax−6，

若函数f(x)在x=2处取得极值，

则f′(2)=4+4a−6=0，解得a=12，

故f(x)=13x3+12x2−6x+2，则f′(x)=x2+x−6，

令f′(x)>0，解得x>2或x<−3，

令f′(x)<0，解得−3<x<2，

故f(x)在(−∞,−3)递增，在(−3,2)递减，在(2,+∞)递增；

【解析】(1)求出函数的导数，根据f′(2)=0，求出a的值，求出函数的单调区间即可；

(2)根据函数的单调性求出函数的最大值和最小值即可．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．16.【答案】an=3n−4(n∈N∗)【解析】(1)因为在数列{an}中，2Sn=3n2−5n，

当n=1时，a1=S1=−1，符合上式，

当n≥2时，2Sn−1=3(n−1)2−5(n−1)，

两式相减得2an=6n−8，即an=3n−4(n≥2)，

所以an=3n−4(n∈N∗)；

(2)由(1)知，b1=a2=2，b2=17.【答案】证明见解答；

55【解析】解：(1)证明：取PA的中点F，连结BF，EF，

因为E为PD的中点，

所以EF/​/AD，EF=12AD，

又因为BC/​/AD，BC=12AD，

所以四边形BCEF是平行四边形，

所以CE/​/BF，又因为BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB

所以CE/​/平面PAB；

(2)过A作直线BC的垂线AH，H为垂足，连结PH，

因为三棱锥P−ABD的体积为23，所以13S△ABD×PA=23，解得PA=2，

因为PA⊥平面ABCD，所以BC⊥PA，

又因为BC⊥AH，PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，且PA∩AH=A，

所以BC⊥平面PAH，

又因为BC⊂平面PBC，

所以平面PAH⊥平面PBC，

所以直线PA在平面PBC上的射影为直线PH，

所以∠APH即为PA与平面PBC所成角θ，

在Rt△APH中，AH=1，AP=2，所以sinθ=AHPH=55，

所以PA与平面18.【答案】能；

证明过程见解析，R2R【解析】解：(1)零假设H0：该药物与预防该疾病无关，

根据列联表可得，χ2=80×(10×15−25×30)235×45×40×45≈11.429>10.828，

依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关；

(2)由于1−P(A|B)=1−P(AB)P(B)=P(B)−P(AB)P(B)=P(A−B)P(B)=P(A−|B)，

所以R2=P(A|B)1−P(A|B)=P(A|B)P(A−|B)，R1=P(A)1−P(A)=P(A)P(A−)，

所以R2R1=P(A|B)P(A−X0123P1248所以E(X)=3×23=2．

(1)计算χ2的值，再与临界值比较即可；

(2)利用条件概率公式证明；

(3)题意可知，X=0，1，2，3，且X～B(3,219.【答案】解：(1)依题意有ab=2a2−