2024-2025学年贵州省贵阳市观山湖第一高级中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年贵州省贵阳市观山湖第一高级中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=N，集合A={x|x=3k,k∈N}，B={x|x=6k,k∈N}，则正确的关系是(

)A.A∪B=B B.B∩(∁UA)=⌀ C.B∪(2.曲线y=x3+ax在x=1处的切线斜率为2，则a=A.−1 B.1 C.0 D.e3.本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则(

)A.图中x的值为0.020 B.估计样本数据的众数值为90

C.估计样本数据的第80%分位数为95 D.估计样本数据的平均数大于中位数4.已知复数z=x+yi(x,y∈R)，若|z|=1，则x4x2+1A.14 B.13 C.125.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1A.39 B.156 C.395 D.6.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，A是该抛物线上一动点，且|AF|的最小值为1，点P(2,3)，则|AP|+|AF|的最小值为(

)A.10 B.4 C.2 D.7.下列说法中，正确的个数是(

)

①已知变量x、y线性相关，其一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,10)，其中i=110xi=30，i=110yi=90，用最小二乘法得到的经验回归方程为y=2x+a，则a=−3．

②根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.712，根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验A.0 B.1 C.2 D.38.把△D1D2D3沿三条中位线折叠成四面体ABCD，其中D1D2=12A.77π B.77π4 C.77π8 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知2a+a=log2A.ab<1 B.2a−b>14

C.10.对于函数f(x)=−2sin(3x+π4)+1A.函数的最小值是−32

B.图象的对称轴是直线x=kπ3−π12(k∈Z)

C.图象的振幅为11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A.异面直线C1P与CB1所成角的大小为定值

B.三棱锥D−BPC1的体积是定值

C.直线CP和平面ABC1D1所成的角的大小是定值

D.若点Q是线段BD上动点，则直线PQ与12.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F13.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于______(用数字作答)．14.已知f(x)=xex+1e+e2，g(x)=−x2−2x−1+a，若存在x1∈R四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2,a2n+1=2an+3(n∈N∗)，等比数列{bn}的前n项和为Tn16.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，DA=AB=PD=2，DC=4，E，F分别为棱CD，PD的中点．

(1)求证：AB⊥平面PAD；

(2)求证：PB//平面AEF；

(3)求二面角P−BC−A的正弦值．17.(本小题15分)

某电视台综艺节目举行闯关答题的活动，具体规则如下：

(1)第一关，有三个必答问题，至少答对两个问题参与者就可以过关；

(2)进入第二关，还有三个问题，参与者只要连续答对两个题目就可以获得奖品，并终止答题，如果参与者连续答错两个题也终止答题没有奖品.只要没有出现连对或者连错的情况，答题就不终止，直到答完这三个问题.已知红星中学的李华同学参加了这个活动，并且李华同学答对第一关每一个问题的概率都是23，答对第二关三个问题的概率依次为34，12，13，请问：

(1)李华同学可以闯过第一关的概率是多少？

(2)李华同学进入第二关后，她可以获得奖品的概率是多少？

(3)设李华同学结束此次活动后，两关加一起共答对X18.(本小题17分)

19世纪法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为a2+b2(a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长).已知椭圆E上任一点到点(2,0)的距离与到直线x=322的距离之比为63，椭圆E的蒙日圆为圆O．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知点O为坐标原点，点P是椭圆E上的任意一点，F1，F2是椭圆左右焦点，直线OP与圆O相交于M，N两点，求证：|PM||PF1|⋅|PN||PF2|19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−aln(x+1)，g(x)=sinx−x，其中a∈R．

(1)证明：当x∈[0,+∞)时，g(x)≤0；

(2)若x>0时，f(x)有极小值，求实数a的取值范围；

(3)对任意的x∈[0,π]，2[f(x)−1]≥g′(x)恒成立，求实数a的取值范围．答案解析1.【答案】B

【解析】解：由题意，当k=2n，n∈N，集合A={x|x=6n,n∈N}，A=B，

当k=2n+1，n∈N，集合A={x|x=6n+3,n∈N}，B⊆A，

所以A∪B=A，A错误；

B∩(∁UA)=⌀，B正确；

由B⊆A，所以B∪∁UA≠U，C错误；

因为B⊆A，所以A∩(∁UB)≠A，D错误．

故选：B2.【答案】A

【解析】解：由y=x3+ax在x=1处的切线斜率为2，

可得y′=3x2+a，且y′|x=1=3+a=2，可得a=−13.【答案】C

【解析】解：已知某校随机抽取了100名学生进行成绩统计，

对于A，由题设(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1，可得x=0.030，故A错；

对于B，由直方图知，估计样本数据的众数值为90+1002=95，故B错；

对于C，由(0.005+0.010+0.015+0.030)×10=0.6<0.8，

则样本数据的第80%分位数在[90,100]内，

设为m，则0.6+(m−90)×0.04=0.8，可得m=95，故C对；

对于D，由平均数为0.05×55+0.1×65+0.15×75+0.3×85+0.4×95=84，

由图易知中位数在[80,90)内，设中位数为n，则0.3+(n−80)×0.03=0.5，可得n=8623，

所以中位数大于平均数，故D错．

故选：C．

根据频率和为4.【答案】A

【解析】解：复数z=x+yi(x,y∈R)，|z|=1，

由题意得x2+y2=1，

令x2+1=m(1≤m≤2)，y2+2=n(2≤n≤3)，

则m+n=x2+1+y2+2=4，则m4+n4=1，

∴x5.【答案】D

【解析】解：等比数列{an}中，a1=15,a3a4=a5，

设等比数列{an}的公比为q，

由a3a46.【答案】B

【解析】解：抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，A是该抛物线上一动点，且|AF|的最小值为1，点P(2,3)，

抛物线x2=2py(p>0)上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则有p2=1，解得p=2，

在抛物线x2=4y中，当x=2时，y=1<3，

因此点P(2,3)在抛物线x2=4y上方．

过点P作PP′⊥准线l于P′，交抛物线于点Q，连接QF，过A作AA′⊥准线l于A′，连接PA′，

如图，显然|AP|+|AF|=|AP|+|AA′|≥|PA′|≥|PP′|=|PQ|+|QP′|=|PQ|+|QF|，

当且仅当点A与点Q重合时取等号，所以(|AP|+|AF|7.【答案】C

【解析】解：①，根据题意x−=110i=110xi=3，y−=110i=110yi=9，

将样本中心点(3,9)代入回归直线方程得2×3+a=9，解得a=3，①错；

②，因为χ2=4.712>3.841=x0.05，由独立性检验可知，②对；

③，在等式f(x−1)+f(5−x)=2中，用x+4替代x可得

f(x+3)+f(1−x)=2，

因为函数f(x+1)为偶函数，故f(1−x)=f(x+1)，

所以f(x+3)+f(1−x)=f(x+3)+f(x+1)=2，

即f(x+2)+f(x)=2，进而可得出f(x+4)+f(x+2)=2，则f(x+4)=f(x)，

所以函数f(x)是周期为4的周期函数，

f(2026)=f(4×506+2)=f(2)，

在等式f(x−1)+f(5−x)=2中，令x=38.【答案】D

【解析】解：如图，记D1D2，D2D3，D3D1的中点分别为B，C，D，

因为D1D2=12，D1D3=10，D2D3=8，

由中位线性质可得DB=4，CD=6，BC=5，

翻折后的四面体如图：

由翻折的性质可得AB=6，AC=4，AD=5，所以四面体ABCD对棱相等，

故可以考虑将四面体ABCD补形为长方体如下；

四面体ABCD的外接球即长方体的外接球，

设其外接球半径为R，BM=x，BN=y，BP=z，

则(2R)2=x2+y2+z29.【答案】ABD

【解析】解：∵2a+a=log2b+b=2，∴2a=2−a，log2b=2−b，

故a、b分别是y=2x、y=log2x与y=2−x交点的横坐标．

而y=2x

与y=log2x与互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，

图中红色曲线为y=2x

的图象，图中蓝色曲线为y=log2x的图象．

可得点A(a,2a)、点B(b,log2b)关于直线y=x对称，

于是，a>0，b>0，a≠b，a+b=2．

故有ab<(a+b2)2=1，故A正确．

由于b=2−a，2a−b=22a−2=10.【答案】AD

【解析】解：因为函数f(x)=−2sin(3x+π4)+12(x∈R)，则有：

对于A：当3x+π4=π2+2kπ,k∈Z，即x=π12+23kπ,k∈Z时，

函数f(x)取得最小值为−2×1+12=−32，故A正确；

对于B：令3x+π4=π2+kπ,k∈Z，解得x=π12+kπ3,k∈Z，

函数f(x)的图象的对称轴是直线x=π12+kπ3,k∈Z，故B错误；

对于C：因为f(x)=−2sin(3x+π4)+12=−2sin[(3x−3π411.【答案】AB

【解析】【分析】本题考查异面直线所成角和线面角，考查线线平行的向量求法，属于中档题．

利用正方体的结构特征得CB1⊥平面ABC1D1，再利用线面垂直的性质得CB1⊥C1P，对A进行判断，利用正方体的结构特征得点P到平面BD【解答】

解：因为CB1⊥BC1，CB1⊥AB，BC1∩AB=B，

所以CB1⊥平面ABC1D1，

又C1P⊂平面ABC1D1，得CB1⊥C1P，

所以异面直线C1P与CB1垂直，选项A正确．

三棱锥D−BPC1以BDC1为底面，

因为AD1//平面BDC1，

所以点P到平面BDC1的距离为定值，故三棱锥D−BPC1的体积是定值，选项B正确．

点C在平面ABC1D1的射影是定点(BC1与B1C12.【答案】7【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线的两支于A，B两点，△ABF2为等边三角形，

则|AF1|−|AF2|=2a①，|BF2|−|BF1|=2a②，

在等边△ABF2中，|AB|=|BF2|=|AF2|，

可得①+②可得：|AF1|−|BF1|=|AB|=4a，

则|AB|=|AF1|=|AF13.【答案】4105【解析】解：根据题意，农场主与6名同学站成一排，有A77=5040种不同的站法，

2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：

第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；

第二步：相邻女生排在一起有A22种；

第三步：4名男生排在剩下的位置有A44种．

因此2名女生相邻且农场主站在中间共有4A22A44=192种站法，

则2名女生相邻且农场主站在中间的概率14.【答案】[e【解析】【分析】本题考查了利用导数研究单调性最值、二次函数的单调性、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．

存在x1∈R，x2∈(−1,+∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立，等价于：x1【解答】

解：存在x1∈R，x2∈(−1,+∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立，

等价于：x1∈R，x2∈(−1,+∞)，使得f(x1)min≤g(x2)max成立，

f′(x)=(x+1)ex，

∴函数f(x)在x∈(−1,+∞)上单调递增，x∈(−∞,−1)上单调递减，

∴x=−1时，函数f(x)取得极小值即最小值，

f(x)≥f(−1)=−1e+15.【答案】an=2n−1，bn=2n【解析】(1)由等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2,a2n+1=2an+3(n∈N∗)，

可得4a1+6d=4(2a1+d)，即d=2a1，又a3=a1+2d=2a1+3，即a1=2d−3，解得a1=1d=2．

所以an=1+(n−1)×2=2n−1．

在等比数列{bn}中，当n≥2时，由bn+1=Tn+2(n∈N∗)，可得bn=Tn−1+2，

相减可得16.【答案】证明见解析；

证明见解析；

33【解析】解：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，AB⊂面ABCD，则PD⊥AB，

又AB//DC，AD⊥DC，则AB⊥AD，

又AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD．

(2)证明：设AE∩BD=H，连接BF，FH，

因为AB=2，DC=4，AB//DC，E是DC的中点，

所以DE/​/AB，且DE=AB，AD⊥DC，

则ABED为正方形，所以H为BD中点，

又F是PD的中点，所以HF//PB，

又HF⊂平面AEF，PD⊄平面AEF，

所以PB/​/平面AEF．

(3)由(2)知BE⊥DC，又E是DC中点，则DB=BC，

又DB=22,DC=4，所以BD2+BC2=DC2，则DB⊥BC，

又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则PD⊥BC，

又PD∩DB=D，PD，DB⊂平面PDB，

所以BC⊥平面PDB，又PB⊂平面PDB，

所以BC⊥PB，则∠PBD为二面角P−BC−A的平面角，

在Rt△PDB中，PD=2，DB=22，PB=PD2+DB2=23，

所以sin∠PBD=PDPB=223=3317.【答案】解：(1)李华答对2题或3题，即可闯过第一关，

所以李华同学可以闯过第一关的概率P=C32×(23)2×13+(23)3=2027．

(2)李华答对第1，2题，或是第一题错，2，3题答对，即可获得奖品，

所以李华获得奖品的概率P=34×12+14×12×13=512．

(3)第一关答题数为3，若能进入第二关，则答题数目为2或3，

则X=0X012345P12155513E(X)=0×127【解析】(1)利用独立重复事件概率公式，即可求解；

(2)根据题意，利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解；

(3)首先确定X=0，1，2，3，4，5，再根据题意列出对应的概率，求解分布列和数学期望．

本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】x23+y2=1；

【解析】(1)设E(x,y)，

因为椭圆E上任一点到点(2, 0)的距离与到直线x=322的距离之比为63，

所以(x−2)2+y2=63|x−322|，

整理可得x23+y2=1，

则椭圆E的方程为x23+y2=1；

(2)证明：由(1)得该椭圆E的蒙日圆O为x2+y2=4，

设P(x0,y0)，

因为点P在椭圆上，

所以y02=1−x023，

又F1(−2, 0)，F2(2, 0)，

所以|PF1|=(x0+2)2+y02=(x0+2)2+1−x023=23x02+22x0+3=3+63x0，

同理得|PF2|=3−63x0，

所以|PF1|⋅|PF2|=3−23x02，

|PM|⋅|PN|=(2+|