2024-2025学年广西崇左市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西崇左市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={−3,−2,1,5}，∁UA={−2,1}，则集合A=(

)A.{−3} B.{5} C.{−3,5} D.{−3,2}2.3|a|+7|a|的最小值为(

)A.321 B.421 C.3.2020−2024年我国居民人均可支配收入(单位：元)分别为32189，35128，36883，39218，41314，则这组数据的75%分位数是(

)A.36883 B.38050.5 C.39218 D.413144.在平行四边形ABCD中，AB=2BE，则DE=A.AD−32AB B.32AB5.若α+β=3π4，则(1−tanα)(1−tanβ)的值是(

)A.12 B.1 C.32 6.已知复数z满足z−2z−=1+3i，则|z|=A.3 B.3 C.2 D.7.从正五棱锥P−ABCDE的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点所在的直线与直线AB是异面直线的概率为(

)A.25 B.15 C.358.已知函数f(x)=x(2−2x)，当x=m时，f(x)取得最大值n，则函数g(x)=logm|x+n|的大致图象为A. B.

C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.经过3个点的平面有且只有一个B.若直线a//平面α，则平面α内有无数条直线与a平行

C.若平面α，β，γ满足α//β，γ⊥α，则γ⊥βD.若直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，则b//c10.如图，在一个古典概型的样本空间Ω与事件A，B，C中，n(Ω)=16，n(A)=8，n(B)=4，n(C)=2，n(A∪B)=10，则(

)A.P(AB)=18

B.P(A−B−C−)=18

C.事件11.在△ABC中，AB=6，AC=10，∠BAC=120°，D为BC的中点，E为△ABC的垂心，则(

)A.|AD|=19 B.AC⋅AD=35

C.cos∠BAD=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f(x)是奇函数，且f(2)=−27，则log3f(−2)=______．13.已知上底面半径为r，下底面半径为2r的圆台的体积为V1，上底面边长为r，下底面边长为2r的正四棱台的体积为V2，若该圆台与正四棱台的高相等，则V1V14.已知函数f(x)=32cos(ωx+φ)(ω>0)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为5，f(x)在[2,4]上单调，且f(2)+f(4)=0，则ω=______，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

2025年5月31日，贵港市港南区香江端午龙舟赛激情开赛，香江码头热闹非凡，鼓声阵阵、人潮涌动.此次龙舟赛，还为观众带来了动力滑翔伞队表演、传统手工艺品展示、民俗技艺互动体验等活动，让大家尽享节日的快乐.据统计，当天共吸引了约3万名观众前来观赛助威，网络平台观看人数更是超过100万人次.某统计人员在现场随机抽取了n名观众对此次活动进行打分(满分100分)，将得到的数据按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分为5组，如下表所示：分数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数101020bb频率aa0.20.30.3(1)求n，a，b；

(2)请在图中画出频率分布直方图；

(3)估计这n名观众打分的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的周长为3+2，且sinB+sinC=322sinA．

(1)求a．

(2)已知△ABC的面积为sinA．

①求b，c；17.(本小题15分)

若函数f(x)的定义域为A，值域为B，且B⊆A，则称f(x)为“子集函数”．

(1)证明：函数f(x)=1x2是“子集函数”．

(2)判断函数g(x)=2x−1−1是否为“子集函数”，并说明理由．

(3)若函数ℎ(x)=asin(2x+π18.(本小题17分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为AB的中点，AA1=AB=4，B1E=3EB．

(1)证明：CD⊥A1E19.(本小题17分)

甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每轮由其中一人进行投篮，若投中，则投篮者得1分，对方得0分，且下一轮继续投篮；若未投中，则投篮者得0分，对方得1分，且下一轮由对方投篮；当一方领先对方2分时，领先者获胜，比赛结束.已知甲投篮命中的概率为12，乙投篮命中的概率为13，且每轮投篮相互独立.第一轮甲先进行投篮．

(1)求第二轮投篮后乙获胜的概率；

(2)求第四轮投篮后甲获胜的概率；

(3)求第六轮投篮后甲获胜的概率．答案解析1.【答案】C

【解析】解：由全集U={−3,−2,1,5}，∁UA={−2,1}，

可知，A={−3,5}．

故选：C．

由补集的定义可知．2.【答案】D

【解析】解：由题意可得，|a|>0，

则3|a|+7|a|≥23|a|×7|a|=221，

当且仅当3|a|=73.【答案】C

【解析】解：根据题意可知，5×75%=3.75，

故75%分位数是39218．

故选：C．

利用百分位数即可解题．

本题考查了百分位数的性质，属于基础题．4.【答案】B

【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB=2BE，

所以DE=AE−AD=32AB−AD．

故选：5.【答案】D

【解析】解：若α+β=3π4，则tan(α+β)=−1=tanα+tanβ1−tanαtanβ，∴tanα+tanβ=tanαtanβ−1．

∴(1−tanα)(1−tanβ)=1−tanα−tanβ+tanαtanβ=1−(tanαtanβ−1)+tanαtanβ=2，

故选D．

由题意可得tan(α+β)=−1=tanα+tanβ1−tanαtanβ，即6.【答案】D

【解析】解：设z=a+bi，(a,b∈R)，由z−2z−=a+bi−2(a−bi)=−a+3bi=1+3i，

∴−a=1，3b=3，解得a=−1，b=1，

∴z=−1+i，∴|z|=(−1)2+12=2．

7.【答案】B

【解析】解：根据题意可知，这个试验的样本空间为：

{(P,A)，(P,B)，(P,C)，(P,D)，(P,E)，(A,B)，(A,C)，

(A,D)，(A,E)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)}，

共包含15个样本点．记事件G=“这2个顶点所在的直线与直线AB是异面直线”，

则G={(P,C)，(P,D)，(P,E)}，包含3个样本点，所以P(G)=315=15．

故选：B8.【答案】A

【解析】解：因为f(x)=x(2−2x)，

所以当x=12时，f(x)取得最大值f(12)=12，则m=n=12，

所以g(x)=log12|x+12|，

由|x+12|>0，得x≠−12，故C，D错误．

当x>−129.【答案】BC

【解析】解：对于A，如果经过同一条直线上的3个点的平面有无数个，

只有经过不在同一条直线的三个点才确定一个平面，所以A错误；

对于B，直线a/​/平面α，经过直线a有无数个平面与平面α相交，每条交线都与a平行，所以B正确；

对于C，令α∩γ=l，在平面α内作直线m⊥l，则m⊥γ，过直线m作平面δ∩β=n，

而α/​/β，则n/​/m，n⊥γ，因此γ⊥β，所以C正确；

对于D，因为a⊥b，a⊥c，可得垂直于同一条直线的两条直线可能是平行直线，可能相交直线，也可能异面直线，所以D错误．

故选：BC．

举例说明判断AD；利用线面平行的性质推理判断B；利用面面垂直的性质判定、面面平行的性质推理判断C．

本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，面面平行的性质定理的应用，属于基础题．10.【答案】ACD

【解析】解：根据题意可知，n(A)=8，n(B)=4，n(C)=2，n(A∪B)=10，

n(AB)=n(A)+n(B)−n(A∪B)=2，

n(A−B−C−)=n(Ω)−n(A∪B)−n(C)=4，

所以P(AB)=18，P(A−B−C−)=14，A正确，B错误；

由图可知A∩C=⌀，所以事件A与事件C互斥，C正确；

易得P(A)=12，P(B)=14，P(AB)=P(A)P(B)，11.【答案】ABD

【解析】解：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，

建立如图所示的直角坐标系，

由AB=6，AC=10，∠BAC=120°，D为BC的中点，

可得A(0,0)，B(6,0)，C(−5,53)，D(12,532)，

由AD=(12,532)，可得|AD|=(12)2+(532)2=19，故A正确；

由AC=(−5,53)，可得AC⋅AD=−5×12+53×512.【答案】3

【解析】解：因为f(x)是奇函数，且f(2)=−27，

由题意得f(−2)=−f(2)=27，

所以log3f(−2)=log327=3．

故答案为：313.【答案】π

【解析】解：设圆台与正四棱台的高均为ℎ，

因为圆台的上底面半径为r，下底面半径为2r，

正四棱台的上底面边长为r，下底面边长为2r，

则V1V2=13πℎ(r214.【答案】π4

3π【解析】解：设f(x)的最小正周期为T，

由于函数f(x)=32cos(ωx+φ)(ω>0)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为5，

可得(2×32)2+(T2)2=25，得T=8，

则ω=2πT=π4，

因为f(x)在[2,4]上单调，且f(2)+f(4)=0，

所以f(x)的图象关于点(3,0)对称，

则π15.【答案】n=100，a=0.1，b=30；

作图见解析；

81分．

【解析】(1)根据题意可得n=200.2=100，所以a=10100=0.1，所以b=100×0.3=30；

(2)补全后的频率分布直方图如下：

(3)估计平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81分．

(1)根据[70,80)内的频数和频率得到n=100，从而得到a，b；

(2)计算出各个组的频率/组距，作出频率分布直方图；16.【答案】a=2；

①b=2，c=1或b=1，c=2；②【解析】(1)因为sinB+sinC=322sinA，

由正弦定理得b+c=322a，

因为a+b+c=3+2，所以a+322a=3+2，

得a=2；

(2)①由题意得S△ABC=12bcsinA=sinA，则bc=2，

则有bc=2b+c=322a=3，解得b=2，c=1或b=1，c=2；

17.【答案】证明见解析；

g(x)不是“子集函数”，理由见解析；

(0,π3【解析】(1)证明：若f(x)=1x2，则定义域为A=(−∞,0)∪(0,+∞)，

值域为B=(0,+∞)，

因为B⊆A，

所以f(x)=1x2是“子集函数”；

(2)g(x)不是“子集函数”，理由以下：

由于2x−1≥0，可得x≥0，

所以函数g(x)的定义域为[0,+∞)，

因为2x−1≥0，所以g(x)≥−1，即g(x)的值域为[−1,+∞)，

因为[−1,+∞)⊈[0，+∞)，

所以g(x)不是“子集函数”；

(3)因为−π6≤x≤π2，所以−π6≤2x+π6≤7π6，

所以−12≤sin(2x+π6)≤1，

因为a>0，

所以ℎ(x)的值域为[−12a,a]18.【答案】证明见解析；

证明见解析；

513【解析】解：(1)证明：在等边△ABC中，因为D为AB的中点，可得CD⊥AB，

在正三棱柱ABC−A1B1C1中，可得AA1⊥平面ABC，且CD⊂平面ABC，

所以CD⊥AA1，

因为AA1∩AB=A，且AA1，AB⊂平面ABB1A1，

所以CD⊥平面ABB1A1，

又因为A1E⊂平面ABB1A1，

所以CD⊥A1E.

(2)证明：由(1)知CD⊥平面ABB1A1，且A1E⊂平面ABB1A1，

所以CD⊥A1D，

在直角△A1AD中，由AD=2，AA1=4，

可得A1D=AA12+AD2=42+22=25，

在直角△BDE中，因为B1E=3EB，可得BD=2，BE=1，

可得DE=BD2+BE2=22+12=5，

在直角△A1B1E中，由A1B1=4，B1E=3，

可得A1E=A1B12+B1E2=42+32=5，

因为(5)2+(25)2=52，

则满足A1D2+DE2=A1E2，

所以A