新课预习-3.1 椭圆（学生版）-新高二暑假衔接

关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等第三章《圆锥曲线的方程》3.1椭圆【划重点】1．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.2．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．3．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.4．会判断直线与椭圆的位置关系．【知识梳理】知识点一椭圆的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2.3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.知识点二椭圆的标准方程及其几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)知识点三直线与椭圆的位置关系(1)直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．直线与椭圆解的个数Δ的取值两个不同的公共点两解Δ>0一个公共点一解Δ＝0没有公共点无解Δ<0(2)弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])或|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率)．【例题详解】一、椭圆的定义及其应用例1(1)设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段(2)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（

）A． B． C．4 D．(3)设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（

）A．12 B．24 C． D．跟踪训练1(1)P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（

）A． B． C． D．(2)已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5二、椭圆的简单几何性质例2(1)椭圆与椭圆的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等(2)椭圆的焦点坐标为（

）A．B．C．D．(3)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（

）A． B．C． D．跟踪训练2(1)已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（

）A．2 B．3 C． D．(2)（多选）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的短轴长为 B．的坐标为C．椭圆的离心率为 D．存在点P，使得三、求椭圆的标准方程例3求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)经过两点和；(3)经过两点.(4)过点且与椭圆有相同焦点.跟踪训练3求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；(2)椭圆过点，离心率；(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；(4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．四、与椭圆有关的轨迹问题例4(1)在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是.(2)已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为．跟踪训练4(1)已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．(2)点是圆内一定点，动圆与已知圆相内切且过点，判断圆心的轨迹．(3)已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程．五、求椭圆的离心率例5(1)椭圆的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（）A． B．-1 C． D．(2)已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是.跟踪训练5(1)已知是椭圆的两个焦点，是上一点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．(2)已知椭圆的焦点分别为，则的离心率为.(3)已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率．六、直线与椭圆命题角度1直线与椭圆的位置关系例6(1)直线：与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交(2)直线与椭圆只有一个交点，则的值为（

）A． B． C． D．跟踪训练6(1)已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定(2)若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（

）A．0或1 B．2 C．1 D．0或1或2命题角度2弦长问题例7(1)直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（

）A． B． C． D．(2)过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（

）A． B． C． D．(3)已知直线与椭圆交于M，N两点，且，则.跟踪训练7(1)一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（

）A．3 B．6 C． D．(2)已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为．(3)已知直线：与椭圆：交于，两点．(=1\*romani)求的取值范围；(=2\*romanii)若，求的值．【课堂巩固】1．，为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则（

）A．9 B．4 C．2 D．12．如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（

）A．6 B．10 C．8 D．123．椭圆的焦距是（

）A．2 B． C． D．4．曲线与曲线一定有（

）A．相同的焦距 B．相同的离心率C．相等的长轴长 D．相等的短轴长5．点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．6．直线与椭圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（

）A．3 B．9 C． D．9．已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为.10．在平面直角坐标中，已知椭圆：（）的左焦点为，左顶点为，过点作轴的垂线在第二象限交椭圆于点，连接并延长交轴于点.若，则椭圆的离心率为.11．已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上．若的面积最大为12，则椭圆的标准方程为．12．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标，并用描点法画出它的图形．13．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)求外接圆的标准方程．14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；(2)经过两点；(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点.15．已知离心率为的椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长．【课时作业】1．已知，动点C满足，则点C的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．点2．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（

）A． B．或C． D．或3．已知椭圆的方程为，弦AB过椭圆的焦点F1，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（

）A．8 B．10 C．16 D．204．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．45．椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（

）A． B．3 C． D．6．椭圆与椭圆的关系为（

）A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率7．已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于（）A．B．C．D．9．（多选）对于椭圆，下面说法正确的是（

）A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．离心率为 D．焦距为210．（多选）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（

）A．离心率为 B．长轴长是C．焦距2 D．焦点坐标为11．直线和曲线的位置关系为.12．已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为.13．已知是椭圆：的右焦点，直线过椭圆的下顶点且斜率为，以点为圆心、半焦距为半径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为.14．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．15．已知椭圆的左右焦点分别为、.(