2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第04讲 三角形的内角 (2个知识点+6个题型+思维导图+过关测) (学生版)

第04讲三角形的内角

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：6大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

【知识点1三角形的内角和】

1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.

如图，在△ABC中，ABC180．

注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.

2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个

角,再说明这个角是平角即可.

【知识点2直角三角形的性质及判定】

1.性质：直角三角形的两个锐角互余.

表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.

2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.

【题型1与角平分线有关的角度计算】

【例1】如图，在中，，分别为边上的高线和的角平分线，于点F，当，

时，△的𝐴度�数为�（�𝐴）��∠�����⊥𝐴∠𝐴�=69°

∠�=65°∠�

A．B．C．D．

【变式12-11】°在中，23°，2是5°的高，是30°的角平分线，则．

11

△𝐴�∠�=2∠�=3∠�𝐴𝐴△𝐴�𝐴∠�𝐴∠�𝐴=

【变式1-2】如图，在中，，．若P为的角平分线，的交点，则

；若△P�为��∠内��一�点=，68则°∠1=∠2．△𝐴���𝐵

∠���=△𝐴�∠���=

【变式1-3】如图，在ABC中，AD⊥BC，CE是ABC的角平分线，AD，CE交于F点，当∠BAC＝80°，

∠B＝40°时，求∠AC△B、∠AEC、∠AFE的度数．△

【题型2三角板中的角度计算】

【例2】如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别

交，于点，，若𝐴，，��则�的度数为�（）𝐴���

𝐴����∠�=60°∠𝐴�=15°∠1

A．B．C．D．

【变式23-15】°两个直角三角板4如5°图摆放，其中50°，55°，，若是上一点

且，则的大小为（）∠𝐴�=∠���=90°∠�=45°∠�=30°���

��∥��∠𝐴�

A．B．C．D．

【变式25-20】°如图，将一副三6角0°板放置在一组平行线75内°，其中8，0下°列结论一定正确的是（）

∠𝐴�=45°

A．B．C．D．

【变式2∠-31】=如2图5°所示，一副∠三2=角5板0叠°放在一起，则∠图3=中35°等于．∠4=75°

∠�

【题型3与方向角有关的角度计算】

【例3】某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，

船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则38°的度数为（）22°

78°∠�𝐴

A．B．C．D．

【变式37-10】°如图，一艘轮船8由0°海平面上地出发，9要0到°地的北偏东方1向00的°处，已知轮船先沿正东方向

行驶了100海里到达地，再沿北偏东�方向行进，恰�能到达目的地60°，那么�，、两地相距海里．

�30°���

【变式3-2】如图，点B在点A的西南方向，点C在点A的南偏东方向，点C在B的北偏东方向，

则．15°80°

∠�𝐴=

【变式3-3】如图，是，，三个便民核酸采样点和小亮家（点）的平面图，已知，，三点在同一条

东西方向的路段上，�在�的北�偏东方向，在的北偏西方�向，且点到，两�点�的距�离相等，试求

出从小亮家（点）观�测检�测点，5两0°处的视角�的度数20．°���

���∠���

【题型4与方向角有关的角度计算】

【例4】如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若

，则△𝐴的�度数∠是𝐴（�∠）�𝐴�△𝐴�����∠1+

∠2=80°∠���

A．100°B．110°C．120°D．130°

【变式4-1】如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在外的

点处．若，则的度�数�为�（∠）�=65°∠�=75°�△𝐴�

′

�∠2=25°∠1

A．115°B．100°C．105°D．95°

【变式4-2】如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若

，则△（𝐴�）𝐴��△𝐴�𝑀��∠1+

∠2+∠3+∠4=235°∠�=

A．B．C．D．

【变式43-35】°如图，中45°，E是边上65的°点，先将沿5着5°翻折，翻折后的边

交于点D，又将△𝐴�沿∠着�=3翻0°折，C点��恰好落在上，此△时𝐴���，则中△𝐴�𝐴

��．△�𝐴����∠𝐴�=84°△𝐴�

∠𝐴�=

【题型5直角三角形的判定】

【例5】在下列条件中不能判定为直角三角形的是（）

A．△𝐴�B．

C．∠�=90°−∠�D．∠�=∠�−∠�

1

【变式5∠-1�】=如2图∠�，=在3直∠�角三角形中，∠�=，∠下�列=条2∠件�能判定的是（）

𝐴�∠�𝐴=90°��⊥��

A．B．C．D．

【变式5∠-2�】�如�图=所∠示𝐴，�在中∠，𝐴�是=∠�边�上�的高，点∠E𝐴是�=上∠�一�点�，交∠�于�点�=M，∠且���，

求证是直角三角形△．𝐴�𝐴��𝐴𝐴𝐴∠���=∠�𝐴

△�𝐴

【变式5-3】如图，在中，，平分，且，求证：是直角

三角形．Rt△𝐴�∠���=90°��∠𝐴�∠�𝐴=∠𝐴�△𝐴�

【题型6直角三角形的性质】

【例6】如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，

则（）Rt△𝐴�∠𝐴�=90°𝐴∠���������∠�=�

∠���=

A．B．C．D．

��

【变式6�-1】如图，在�中+，22.5°，2+22.于5°D．2+45°

△�𝐴∠�𝐴=90°𝐴⊥𝐴

(1)求证：；

(2)若平∠分�𝐴=分∠�别交、于E、F，求证：．

【变式�6�-2】如∠�图�，�AC，B�D�为四��边形ABCD的对角∠线�，��∠=AB∠C�＝��90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝

∠BCD．

（1）求证：AD⊥AC；

（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．

【变式6-3】直角三角形，，点D为边上一点，为的高线，

𝐴�∠�𝐴=90°𝐴��△�𝐴

(1)求证：；

(2)如图（2∠）�：𝐴+∠𝐴交�直=线∠𝐴于�F，G为上一点，交直线于点K，交于点H，若

𝐷，⊥请�你�在不添�加�任何辅助线�，�直接写出�与�⊥𝐴相等的�角�（不包括𝐵�）�∠�𝐴=

∠𝐴�=∠𝐴�∠�𝐷∠�𝐷

1．在下列条件：①，②，③，④，⑤

；⑥∠�+∠�=∠�中，能∠�确:∠定�:∠�=是5:直3:角2三角∠形�的=条90件°−有∠（�∠）�=2∠�=3∠�∠�=

111

∠�A=．23∠�个∠�=2∠B�．=43个∠�△C�．��5个D．6个

2．如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，

则的大△小为𝐴（�）∠���=70°,∠�=40°,𝐴��𝐴∠�𝐴𝐴�𝐴�

∠𝐷�

A．B．C．D．

3．如图5所5°示，在中，65°，是两条高，75°，则的度5数6°为（）

△𝐴���𝐴∠�=50°∠���

A．B．C．D．

4．如果1将10一°副三角板按如图12方0°式叠放，那么等1于30（°）140°

∠1

A．B．C．D．

5．如图1，05在°中，点7为5°和的角平6分0°线的交点，连接45°，作的一条角平分线

．若△𝐴�，则�∠�的�度�数∠为�（𝐴）��, ��, ��△𝐵�

𝐴∠���=�∠1+∠2

A．B．C．D．

311

6．在一9个0°直+角4�三角形中，已12知0°一+个2�锐角比另一个1锐6角0°的倍多，则较18小0°锐−角4�的度数为．

7．如图，点是内一点，、分别平分、4，15°，则．

�△𝐴�����∠���∠���∠�=64°∠�=

8．如图，巡逻艇在游轮A北偏东的方向上，巡逻艇在游轮北偏东的方向上，游轮位于游轮A

�60°��15°�

的正东方向，则的度数为．

∠�𝐴°

9．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，

且，则Rt△�的��度数为∠�=90°．∠�=58°������△𝐴���△���

��∥𝐴∠���

10．在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数

为△�．��∠�=40°�𝐴𝐴𝐴𝐴5°∠�

11．如图，°，垂足为E．．求证：是直角三角形

𝐴⊥𝐴∠�=∠�△𝐴�

12．如图，在中，，平分．

△𝐴�𝐴⊥��𝐴∠���

(1)若，，求