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文档简介
第12讲线段的垂直平分线的性质
内容导航——预习三步曲
第一步:学
析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习
练题型强知识:6大核心考点精准练
第二步:记
串知识识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步:测
过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1线段垂直平分线的定义及性质】
1.定义:过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
如图,若点C是AB的中点且PC⊥AB,则直线l是线段AB的垂直平分线。
2.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=BC,点P在l上.求证PA=PB.
证明:当点P与点C不重合时,
∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB,又AC=BC,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS),∴PA=PB.
【知识点2线段垂直平分线的判定】
方法①:根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。
方法②:到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距
离相等。
【知识点3作已知线段的垂直平分线】
已知:线段AB,求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
①以线段AB两个端点为圆心,大于线段长度的一半为半径画圆弧,两圆弧在线段的两侧别分交于C、
D,如图。
②连接CD,过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示:
【题型1利用线段垂直平分线的性质求线段长度】
【例1】如图,在中,是的垂直平分线,交于点,交于点,,,,
则周长为△(𝐴�)𝐷��������𝐴=4cm��=5cm��=6cm
△𝐴�
A.B.C.D.
【答案】9Bcm10cm11cm12cm
【分析】本题考查垂直平分线的性质,根据是的垂直平分线得,继而得到
,可得答案.解题𝐷的关�键�是掌握:垂直平�分�线=上��的点到线段两�端�点+的��距+离�相�等=.
【�详�解+�】�解+:�∵�=�是�+的��垂直平分线,
∴,𝐷��
∵��=��,,,
∴𝐴=4cm��=5cm��=6cm,
∴𝐴+�周�长+�为�=𝐴.+��+𝐴=𝐴+��=4+6=10cm
故选△:𝐴B�.10cm
【变式1-1】如图,DE垂直平分AC,△ABD的周长是,,则的周长是()
8.5�m��=3cm△𝐴�
A.B.C.D.
【答案】8D.5cm9.5cm10.5cm11.5cm
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理,熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相
等是解题的关键.
根据线段垂直平分线的性质定理,可得,从而得到,再由的周长为,
可得到,即可求解.��=����=��+��△𝐴�8.5cm
【详解】�解�:+�∵�=是8.5cm的垂直平分线,
∴,𝐷��
∴��=��,
∵��=�的�周+长��为=��+,��
∴△𝐴�15cm,
∴𝐴+��+��=8.5cm
∵𝐴+��=,8.5cm
∴��=3cm.
故选𝐴:+D�.�+��=8.5+3=11.5cm
【变式1-2】如图,在中,,的垂直平分线分别交、于点D、E,的垂直平分线分别
交、于点F、G△,�则���的�周=长7为�(�)𝐴����
����△𝐷�
A.5B.6C.7D.8
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质,由线段垂直平分线的性质可得,,再由三角
形的周长公式计算即可得解,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关�键�.=����=��
【详解】解:∵垂直平分,垂直平分,
∴,𝐷,𝐴𝐺��
∴𝐷=�的�周�长�为=��,
故选△:𝐷C�.𝐷+��+��=��+��+��=��=7
【变式1-3】如图,中,,垂直平分,交于点F,交于点E,且.若
周长为13,Δ𝐴�,��⊥����.��������=𝐷△𝐴�
cm��=6cm��=cm
【答案】
【分析】本3.5题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定,
先根据线段垂直平分线的性质和判定得,再根据的周长为,,求出
,然后等量代换可得答案.𝐴=𝐷=𝐷△𝐴�13cm��=6cm𝐴+
【�详�解=】7c解m:∵是的垂直平分线,
∴.����
∵𝐷=𝐷,
∴��是⊥��的,�垂�直=平𝐷分线,
∴����,
∴𝐴=𝐷.
∵𝐴=�的�周=长𝐷为,,
∴△𝐴�13cm��,=6cm
∴𝐴+��=13−6=7(cm),
则𝐴+𝐷+��+,𝐷=7cm
∴2𝐷+2𝐷=7,
即𝐷+𝐷=3..5cm
故答��案=为3:.5cm.
【题型2利3用.5线段垂直平分线的性质求角度】
【例2】如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点、
1
,作直线交△�于��点,∠连�接=90.°若�,则�的大小为2�(�)�
��������∠�=13°∠���
A.B.C.D.
【答案】2B6°64°74°77°
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形内角和定理,由作图可知:平分,由线段垂
直平分线的性质得出,最后由三角形内角和定理即可得出答案.��𝐴
【详解】解:由作图可∠知�:=∠��平�分=13,°
,��𝐴
∴��=��,
∴∠�=∠�𝐴=13°,
∴故∠选��:�B=180°−∠�−∠�−∠�𝐴=64°
【变式2-1】如图,在中,,.通过观察尺规作图的痕迹,可以求得的度
∘∘
数为().△𝐴�∠�=40∠�=50∠�𝐷
A.B.C.D.
∘∘∘∘
【答案】2B0253035
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点,熟练掌握线
段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键.
由题可得,直线是线段的垂直平分线,为的平分线,再根据线段垂直平分线的性质、角平分
线的定义以及三角𝐺形内角和𝐴定理求解即可.𝐷∠���
【详解】解:由题可得∶直线是线段的垂直平分线,为的平分线,
∴,𝐺𝐴𝐷∠���
∴��=��,∠�𝐷=,∠�𝐷
∵∠�=∠��,�=40°,
∴∠�=40°∠�=50°,
∴∠���=180°−∠�−∠�=90°
∴∠���=∠���−∠���.=50°
1
故答∠�案𝐷为=:2B∠.���=25°
【变式2-2】如图,中,平分,的中垂线交于点E,交于点F,连接、若,
,则△𝐴的�度数�为�∠.𝐴�������𝐺∠�=60°
∠�𝐺=48°∠𝐴�
【答案】/48度
【分析】由48角°平分线的定义可得,由垂直平分线的性质可得,从而得到,
进而得到∠�,��由=三∠角�形��内角和定理进行计算即可得�到�答=案�.�本题主要考∠�查�了�垂=直∠�平𝐴分
线的性质、∠�三��角=形∠内�角��和=定∠理�,𝐴熟练掌握以上知识点是解题的关键.
【详解】解:平分,
∵��,∠𝐴�
∴∠𝐴�=∠𝐴�
垂直平分,
∵��,��
∴��=𝐺,
∴∠���=∠�𝐴,
∴∠𝐴�=∠���=∠�𝐴,,,
∵∠�+∠�𝐺+∠𝐴�+∠𝐴�+,∠�𝐺=180°∠�=60°∠�𝐺=48°
∴∠𝐴�=∠𝐴�=∠�𝐺,=24°
∴故∠答�案��为=:2∠�.��=48°
【变式2-3】如48图°,在中,,、分别是、的垂直平分线,则的度数是.
△𝐴�∠�=70°��𝐷𝐴��∠�𝐴
【答案】/20度
【分析】本20题°考查了三角形的内角和定理,线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分线的性
质.连接、,根据线段垂直平分线的性质可得:,,推出,,
���,�得到,由,可��得=𝐴��=��,𝐴=��∠𝐴�=∠�𝐴
∠���=∠�,�即�可求解∠.𝐴�=∠�𝐴∠�=70°∠𝐴�+∠���=70°∠𝐴�+∠�𝐴=180°−
【∠详�解=】14解0°:如图,连接、,
、分别是、��的垂�直�平分线,
∵��𝐷,𝐴,��
∴��=𝐴,��=��,,
∴𝐴=��∠�,��=∠�𝐴∠���=∠���
∴∠𝐴�=∠,�即𝐴,
∵∠�=70°∠�𝐴+,∠���=70°,
∴∠𝐴�+∠���=70°∠𝐴�+∠�𝐴=180°−∠�=,140°
1
∴故∠答�案𝐴为=:2∠�.��+∠�𝐴−∠𝐴�+∠���=20°
20°
【题型3作已知线段的垂直平分线】
【例3】如图,两条笔直的小路与相交于点,点、处分别为枫叶林景区和花卉景区,现打算在
�������∠���
内部修建一处观景台,使得观景台到的距离与观景台到的距离相等.且,请你找出观景
台的位置.(尺规作�图,保留作图痕�迹�,�不写作法)�����=��
�
【答案】见解析.
【分析】本题考查了尺规作图,作角平分线和线段的垂直平分线,涉及角平分线的性质和线段的垂直平分线
的性质,正确理解题意是解题的关键.作线段的垂直平分线,的平分线,交点即为所求.
【详解】解:如图,作线段的垂直平分线,作��的平分线,与∠��的�垂直平分线交于点,点即为所求.
��∠�������
∵观景台到的距离与观景台到的距离相等,
∴点在��的�角平分线上,���
∵�∠�,��
∴�点�=在�线�段的垂直平分线上,
∴�的角平��分线于线段的垂直平分线上的交点即为点.
【变∠式��3�-1】尺规作图:求作�点�P,使点P到点M,N的距离相�等,同时到的两边的距离也相等.
∠�𝐴��,𝐴
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定定理,垂直平分线的判定应用,作线段的垂直平分线,作角平分线.解
题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
由点P到点M和点N的距离相等,可知点P在线段的垂直平分线上,由点P到两边的距离相等,
可知点P在的平分线上,即点P为线段的垂�直�平分线与的平分线的交∠�点�,�如图作线段的垂
直平分线与角∠�平�分�线即可.��∠�𝐴
【详解】解:如图:点P即为所求.
【变式3-2】如图,直线与的两边,相交于,两点,(不写作法,可用一定工具,保留必
要的作图痕迹和相应符号𝐷表示∠)�𝐴��𝐴��
(1)将线段平移,使点与点重合;
(2)过,�分�别作,�的垂�线,相交于;
(3)在�边�上求一�点�,�使�最短.�
【答案�】�(1)作图见解�析𝐺
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】()如图,作,并在射线上截取,则即为所求;
()根据垂1线的作法分别∠�过�点�=、∠�作𝐷,的垂�线�,两垂�线�相=交�于�即可��;
(2)过点作的垂线,垂足�为点�,�则�垂�线�段即为所求;�
本3题考查了�平�移�作图,过一点作已知�直线的垂线�,�垂线段最短,掌握基本作图方法是解题的关键.
【详解】(1)解:如图所示,线段即为所求;
��
(2)解:如图所示,直线、即为所求;
(3)解:如图所示,线段��即为��所求.
【变式3-3】请用没有刻度�的�直尺和圆规,按要求作图(写出必要的文字说明,保留作图痕迹).
(1)已知,是钝角,,
①在图△1中𝐴求�作点∠�P�,�使得:点�P�在<边𝐴<上�,�且;
②在图2中求作,使得:点M、�N�在边�上�,+且��=��的周长等于的长;
(2)如图3,已知线△段���,求作,使得�:�直角边△�在�线�段上,且��的周长等于的长.
【答案】(1)见解析��Rt△𝐷�𝐺��Rt△𝐷���
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图:作垂线,作一线段等于已知线段,作线段的垂直平分线,掌握这些基本作图
是解题的关键.
(1)①作线段的垂直平分线,则;②分别作边的垂直平分线与交点为
,则𝐴��+��=𝐴+��=�;�𝐴,����
(�2,)�在�上△�取��点=,��过+点��作+�的�垂=线��,在+垂��线+上�取�点=�使�,连接,作的垂直平分线交于
点,则������,则�𝐷即=为�所�求.������
【详�解】(𝐷1)+解��:+①�解�:=如𝐴图+,�点�+即�为�所=求��:Rt△𝐷�
�
②如图,即为所求:
△���
(2)解:如图,即为所求:
Rt△𝐷�
【题型4线段垂直平分线的判定的运用】
【例4】如图,在中,的垂直平分线交于点M,交于点D,的垂直平分线交于点N,
交于点E,与△�相��交于点𝐴O,的周�长1为�1�0.�����2��
���1�2△�𝐷
(1)求的长;
(2)试判��断点O是否在边的垂直平分线上,并说明理由.
【答案】(1)��
(2)点在边��的=垂10直平分线上,理由见解析
【分析�】此题�考�查了线段垂直平分线的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
(1)根据线段垂直平分线的性质得到,同理,于是得到结论;
(2)连接,,,根据线段垂直𝐴平=分�线�的性质与��判=定�即�可得到结论.
【详解】(�1�)��垂直��平分,
,∵�1𝐴
∴同�理�=��,
��=��;
(∴2�)�点=�在�边+𝐷的+垂�直�平=分��线+上�,�+��=10
理由:连�接�,�,,
������
与是,的垂直平分线,
∵�1�2�,���,
∴��=��,��=��
∴点𝐴在=边��的垂直平分线上.
【∴变式�4-1】��如图,在四边形中,,点是的中点,连接并延长交的延长线于点,点
在线段上,且𝐴�,�连接��∥.�求�证:�𝐴𝐷𝐴��
��∠�𝐺=∠�𝐺��
(1);
��=��
(2)垂直平分.
【答�案�】(1)见解�析�
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质,三角形全等的判定和性质,等腰三角形的判定和性质.熟练掌握三角形全
等的判定定理是解题关键.
(1)由平行线的性质可得出,再根据点E是的中点,即得出,由对顶角相等得出
,即证明∠�𝐷=∠���,得出𝐴;𝐷=��
(∠2�)�由�=∠���,得△出𝐷�≌△�.�根�据AA题S意又易证��=��,结合,可证,
即得出△𝐷�≌△���,��即=��,从而可得结�论�.=����=��△𝐺�≌△�𝐷SSS
【详解】∠(𝐷1�)=证∠明�:��∵=90°,�即�⊥𝐺,
∴.��∥����∥𝐺
∵∠点�E𝐷是=∠的��中�点,
∴𝐴.
又�∵�=��,
∴∠𝐷�=∠���,
∴△𝐷�≌;△���AAS
(2�)�证=明�:�∵,
∴.△𝐷�≌△���
∵��=��,,
∴∠�𝐷=∠���,∠�𝐺=∠�𝐺
∴∠𝐺�=.∠�𝐺
又�∵�=��,
∴��=��,
∴△𝐺�≌△�𝐷SSS,即.
∴∠�垂��直=平∠分𝐷�.=90°��⊥𝐺
【变�式�4-2】如图�,�在中,,点D、E分别在边、上,,,
且.Rt△𝐴�∠�𝐴=90°𝐴����=��,𝐺⊥𝐴𝐷=𝐺
��⊥��
(1)求证:;
(2)连接�,�如=果𝐺.求证:点F在的垂直平分线上.
𝐺∠�𝐺=∠𝐴���
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的判定,熟记全等三角形的判定定理与性质
定理是解题的关键.
(1)利用证明,根据全等三角形的性质即可得证;
(2)根据直HL角三角形Rt的△性��质�求≌出Rt△�𝐺,利用证明,根据全等三角形的性质求
出,结合即可得∠证��.�=∠�𝐺ASA△�𝐷≌△���
【详�解�=】(��1)证明�:�∵⊥��,
∴、是直�角�三⊥角�形�,,∠�𝐴=90°
在△�𝐺△和�𝐷中,
Rt△��,�Rt△�𝐺
𝐷=𝐺
∴,
��=��
∴Rt△�𝐷;≌Rt△�𝐺HL
(2�)�∵=𝐺,,
∴��⊥��𝐺⊥𝐴,
∴∠𝐷�=90°,∠�𝐺=,90°
又∠∵���+∠𝐴�=90°,
∴∠�𝐴=∠��,�+∠�𝐺=90°,∠�𝐺=∠𝐴�
在∠���=和∠�𝐺中,
△�𝐷△���
,
∠�𝐺=∠���
𝐷=𝐺
∴,
∠𝐷�=∠�𝐺=90°
∴△�𝐷≌,△���ASA
又�∵�=��,
∴点�F�在⊥��的垂直平分线上.
【变式4-3】��如图,在中,平分,,于点E,点F在上,.
△𝐴���∠���∠�=90°𝐷⊥𝐴����=𝐺
(1)求证:.
(2)连接�,�求=证��:垂直平分.
𝐷��𝐷
(3)若,,求的长.
【答案�】�(=1)证10明见𝐺解=析6𝐺
(2)证明见解析
(3)
【分�析�】=本2题考查了直角三角形全等的判定与性质,角平分线的性质,解题关键是在图形中找到正确的全等
三角形以及熟悉以上性质与判定.
(1)利用角平分线的性质可得,再利用“”证明,即可证明;
(2)利用“”证明��=𝐷,可得HL,R所t△以�点𝐺A≌在Rt△的�垂�直�平分线上,�根�据=��,
可得点D在HL的垂R直t平△分��线�上≌,Rt进△而�可��以解决问�题�;=𝐷𝐷��=𝐷
(3)设𝐷,则,即可建立方程求解.
【详解】�(�=1)�证�明=:�∵𝐷=𝐴于−点�E�,=10−�=��=𝐺+��=6+�
∴,𝐷⊥𝐴
又∠�平��分=90°,,
∴��∠,���∠�=90°
在��=𝐷和中,
Rt△��,�Rt△𝐷�
𝐺=𝐴
∴,
��=𝐷
∴Rt△�𝐺.≌Rt△𝐷�HL
(2�)�证=明�:�连接,如图,
𝐷
在和中,
Rt△��,�Rt△𝐷�
��=��
∴,
��=𝐷
∴Rt△���≌Rt△𝐷�HL
∴�点�A=在𝐷的垂直平分线上,
∵𝐷,
∴�点�D=在𝐷的垂直平分线上,
∴垂直�平�分;
��𝐷
(3)解:设,
∵,𝐺=��,=�
∴𝐴=10𝐺=6,,
∵𝐷=𝐴,−��=10−���=𝐺+��=6+�
∴𝐷=��,
解得10:−�=6,+�
∴�=.2
【题�型�=52线段垂直平分线的性质与判定综合】
【例5】已知:如图,,,点E在上,求证:.
𝐴=��𝐴=������=��
【答案】见解析
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的
距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键.根据线段的垂直平分
线的判定定理可知是线段的垂直平分线,根据线段的垂直平分线的性质可知.
【详解】解:∵��,����=��
∴点A在的垂𝐴直=平�分�线上,
∵��,
∴�点�D=在��的垂直平分线上,
∴是线�段�的垂直平分线,
∵�点�E在�上�,
∴��.
【变�式�=5-�1】�如图,在中,,.线段的垂直平分线交于点,交于点,连接
.试问:线段与△𝐴的�长相等��吗⊥?�请�说�明�理=由�.���������
��𝐷��
【答案】相等,理由见解析
【分析】本题考查中垂线的判定和性质,连接,中垂线的性质,推出,即可得出结论.
【详解】解:相等,理由如下:𝐷𝐷=𝐷,��=𝐷
连接,
𝐷
∵,
∴��垂⊥直��平,�分�=,��
∴��,𝐴
∵,线�段�=�的�垂直平分线交于点,
∴��,���
∴𝐷=𝐷.
【变�式�=5-�2】�如图,在中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,点D为线段CE的中点,
,△𝐴�.求证:.
∠���=20°∠�𝐴=70°��=��
【答案】见解析
【分析】首先证明AD是线段EC的垂直平分线,即可得出AE=AC,根据AB的垂直平分线EF,即可得出
AE=BE,即可证明.
【详解】证明:连接AE,
∵,,
∴∠�𝐴=70°∠���=20°,
∴∠���=.180°−∠���−∠�𝐴=180°−20°−70°=90°
∵�点�D⊥为��线段CE的中点,
∴,
∴�A�D=垂�直�平分线段CE,
∴,
∵�EF�垂=直��平分AB,
∴,
∴𝐷=��.
【点�睛�】=本��题考查了线段垂直平分线的性质与判定,熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键.
【变式5-3】如图,在中,直线垂直平分边,分别交,于点,.
△𝐴����������
(1)若,的周长为,求的长度;
(2)若𝐴=9△�,�求�的度1数9;��
(3)已知∠�点𝐴在=线90段°上∠,��且�点在边的垂直平分线上,连接,试判断点是否在边的垂直平分线上,
若在,请证�明;若�不�在,请说明�理由�.����𝐴
【答案】(1)
(2)��=10
(3)∠点��在�边=45的°垂直平分线上,理由见解析
【分析�】本题𝐴考查了线段垂直平分线的判定与性质,等腰直角三角形的性质,三角形的周长公式,熟练掌握
以上知识点是解答本题的关键.
(1)由线段垂直平分线的性质得,再根据的周长为、得,所以
,即;��=��△𝐴�19𝐴=9��+��=10��+
(�2�)=由10��=1得0,由线段垂直平分线的性质得,所以;
(3)由线∠�段𝐴垂=直9平0分°线∠的��性�质=得90°,,所以��,=即��可得解.∠�𝐴=∠𝐴�=45°
𝐴=����=����=𝐴
【详解】(1)解:直线垂直平分边,
,∵���
∴��=�的�周长为,
∵△𝐴�19,
∴𝐴+��,+��=19
∵𝐴=9,
∴��+��=10,
∴��+��;=10
(∴2�)�解=:10,
∵∠��,�=90°
∴直∠�线��垂=直9平0°分边,
∵�,��
∴��=��;
(∴3∠)�解𝐴:=点∠�在�边�=4的5°垂直平分线上,理由如下:
连接、�,𝐴
��𝐴
直线垂直平分边,点在直线上,
∵�,����
∴点𝐴在=边��的垂直平分线上,
∵��,�
∴��=��,
∴点��在=边𝐴的垂直平分线上.
【∴题型�6�线�段垂直平分线的性质与角平分线的性质综合】
【例6】如图,点,分别在的边,上,的平分线与的垂直平分线交于点,
于点,��于点.∠�������∠�����𝐴���𝐷⊥
���𝐺⊥���
(1)求证:;
(2)若𝐷,=��,求的长.
【答案�】�(=1)见8解�析�=6��
(2)
【分�析�】=本4题考查了角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,全等三角形的判定与性质,解题的关键是掌
握相关知识.
(1)连接,,由线段垂直平分线的性质可得,根据角平分线的性质可得,
��,�证�明,根据全�等�=三�角�形的性质即可得证;𝐷=𝐺∠𝐷�=
(∠2�)�根�据=角90平°分线的性Rt质△可𝐷得�≌Rt△�,��,证明,得到,
推出,结合𝐷=,𝐺∠𝐷�=∠𝐺�=90°Rt△𝐷�≌Rt△𝐺�𝐷=𝐺=6
即可求��解=.2𝐷=��=2
【详解】(1)证明:连接,,
垂直平分,����
∵��,𝐴
∴��=��,,平分,
∵𝐷⊥��,𝐺⊥����∠�,��
∴𝐷=𝐺∠𝐷�=∠𝐺�,=90°
∴Rt△𝐷�;≌Rt△𝐺�HL
∴𝐷=��
(2),,平分,
∵𝐷⊥,��𝐺⊥����,∠���
∴𝐷=𝐺,∠𝐷�=∠𝐺�=90°
∵��=��,
∴Rt△𝐷�≌R,t△𝐺�HL
∴𝐷=𝐺=6
,
∴由(��1)=知𝐴,−𝐺=8−6,=2
𝐷=��=2.
∴��=𝐷−𝐷=6−2=4
【变式6-1】在中,垂直平分,连接,平分.
△𝐴�𝐷��𝐷𝐷∠�𝐴
(1)若,求的度数.
(2)若∠𝐷�=,46°的∠�周长比的周长多8,的面积为6,则三角形的面积为多少?
【答案�】�(=1)4△𝐴�△���△���𝐷�
(2)12111°
【分析】本题考查了垂直平分线的性质,角平分线的性质,熟知相关性质是解题的关键.
(1)利用垂直平分线的性质得到,再得到,利用三角形内角和即可解答;
(2)过点作交的延长∠线�=于点23°,根据题∠意�求𝐴得=46°的长即可解答.
【详解】(�1)�解�:⊥���垂�直平分,���,��
,∵𝐷��
∴��=��,
∴∠�=∠�𝐷,
∵∠���=46°
1
∴∠�为=角∠平��分�线=46°×=23°
2
∵𝐷
;
∴∠�𝐴=2∠�𝐷=46°
(∴2∠)�解=:1如80图°−,∠过�点−∠作�𝐴=18交0°−4的6延°−长2线3°于=点111°
,�,��为⊥角�分�平�线�,�
∵��⊥��,𝐷⊥��𝐷
∴��=𝐷,
11
∴�△���=2×��⋅��=2×4×��=6
,
∴��=𝐷=3,,且,
∵�△𝐴�=𝐴+��+���△���=��+��+��=𝐴+���△𝐴�−�△���=8
∴��=8,
1
∴�△𝐷�的=面2×积�为�×12�.�=12
∴△𝐷�
【变式6-2】如图,在四边形中,所在的直线垂直平分线段,过点A作交于F,延长
、交于点E.𝐴������𝐺∥����
𝐴��
(1)求证:平分;
(2)求证:��∠�𝐺;
(3)若∠���=∠�,的面积为,求的长.
15
【答案∠】��(1�)见=解90析°,𝐷=5△𝐷�4𝐺
(2)见解析
(3)
3
【分2析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到,根据等腰三角形的性质得到,根据
平行线的性质得到,等量代换证�明�结=论��;∠���=∠���
(2)根据线段垂直平∠�分𝐺线=的∠性�质��得到,根据等腰三角形的性质得到,再根据三角形
的外角性质证明即可;��=��∠���=∠���
(3)首先推导出,过点C作,垂足为M,依据的面积为,求得,结合
153
平分,𝐺⊥𝐺,从而��得到⊥𝐷.△𝐷�4��=2��
3
【详解∠】��(�1)�证�明⊥:𝐷∵,�在�四⊥边𝐺形中,𝐺所=在��的=直2线垂直平分线段,
∴,𝐴������
∴��=��,
∵∠过�点��A=作∠���交于F,
∴𝐺∥,����
∠�𝐺=∠���
∴,
即∠�平𝐺分=∠���;
(2�)�证明:∠�∵�在�四边形中,所在的直线垂直平分线段,
∴,𝐴������
∴��=��,
∵∠���是=∠���的一个外角,
∴∠���△�𝐷,
∴∠���=∠�+∠���,
∵∠�+∠���=∠,���+∠�𝐺
∴∠�𝐺=∠��;�
(3∠)�解��:=过∠点�C作,垂足为M,如图,
��⊥𝐷
∵,
∴∠���=90°,
又∠∵�+∠�𝐷=,90°
∴���=∠�,
∴∠���+∠��,�=90°
∴∠𝐺�=,90°
∵𝐺⊥�的�面积为,
15
∴△𝐷�,4
115
又∵2𝐷·��=,4
∴𝐷=,5
3
∵��平=分2,
∴��∠�𝐺.,��⊥𝐷,𝐺⊥𝐺
3
【变�式�=6-�3】�如=图21,中,,点D是上点,连接,的平分线交于点E,并延
长至点F,使得△𝐴,�且∠�𝐴=90°.𝐴��∠���𝐴
��=𝐺∠�𝐺=∠�𝐴
(1)求证:.
(2)如图2,��若⊥𝐴,点H为上一点,连接,K为中点,且,求证:.
【答案】(1)见解��析⊥����������⊥����=��
(2)见解析
【分析】(1)根据角平分线定义设,则,根据得
,再根据得∠�𝐷,=然∠后�根𝐷据=�∠���=得�+∠1��=,�据�此即∠�可�得�=出结∠3论=;�+
(∠22)连接∠,�先𝐺根=据∠角�平𝐴分线∠的1=性∠质2得,∠2再+证∠明�=9是0线°段∠1+的∠垂�直=平90分°线,则,然后可
依据判𝐷定和全等�,�再=根��据全等三角�形�的性质�可�得出结论𝐷=𝐷
【详解H】L(1)R证t明△:𝐷如�图1R,t△𝐷�
∵平分,
∴�设�∠���,
∴∠�𝐷=∠�𝐷=�,
∵∠�𝐴=,∠�𝐷+∠1=�+∠1
∴��=𝐺
又∠∵�𝐺=∠3
∴∠3=∠�𝐷+,∠2=�+∠2
∴∠�𝐺=�+∠2,
∴∠�𝐺=∠�𝐴
∴�+∠1=,�+∠2
在∠1=∠中2,,
∴△𝐴�∠�𝐴=90°
∠2+∠�=90°
∴,
在∠1+∠中�,=90°,
∴△���;∠�𝐴=180°−∠1+∠�=90°
(2�)�证⊥明�:�连接,如图:
𝐷
∵平分,,
∴𝐷∠�,����⊥��,��⊥𝐴
∵�点�=为��中点,且,
∴�为��的垂直平分�线�⊥,𝐸
∴����,
在𝐷=𝐷和中,
Rt△𝐷,�Rt△𝐷�
𝐷=𝐷
∴,
��=��
∴Rt△𝐷�.≌Rt△𝐷�HL
��=��
1.如图,在中,的垂直平分线分别交、于点D、E,连接.若平分,且,
则的度△数�为��()����������∠𝐴�∠�=72°
∠𝐷�
A.B.C.D.
【答案】7C2°64°54°36°
【分析】本题考查中垂线的性质,与角平分线有关的三角形的内角和问题,根据三角形的内角和定理求出
的度数,中垂线的性质,角平分线的定义,推出,进而求出的度数,再根据三角
∠形�的��内+角∠和�定理求出的度数即可.∠𝐴�=2∠�∠�
【详解】解:∵∠𝐷,�
∴∠�=72°,
∵∠�平��分+∠�=,180°−72°=108°
∴��∠𝐴�,
∵∠�的��垂=直∠平𝐴分�线分别交、于点D、E,
������
∴,
∴∠���=90°,,��=𝐷
∴∠𝐴�=∠�,
∴∠𝐴�=∠𝐴,�=∠�
∴∠𝐴�=2∠�,
∴∠𝐴�+∠,�=3∠�=108°
∴∠�=36°;
故选∠�C��.=90°−∠�=54°
2.如图,中,的平分线和边的垂直平分线交于点D,的延长线于点M,
于点N.△若𝐴�∠𝐴�,则�的�长�为�()𝐷��⊥����⊥��
��=2,��=7𝐴
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质,角平分线的性质,灵活运用这些性
质解决问题是解题的关键.
连接、,由是的平分线,可得,,由线段垂直平分线的性质的得到,
进而由��“��”可证��∠𝐴�,可��得=����=�,�即得到,据此即可求�解�.=��
【详解】H解L:连接Rt△、��,�≌如R图t所△示��,���=��=2��=��=5
����
,是的平分线,
,,∵��∠𝐴�
∴��是=��的垂�直�平=分��线,
∵𝐷��,
∴在��=��和中,
��=��
Rt△���Rt△���,
��=��
∴Rt△���≌R,t△���HL
∴��=��=2,
∴��=��=��−��=��−��=7−2=5
,
∴故�选�:=C�.�−��=��−��=5−2=3
3.在中,的垂直平分线分别交,于点,,的垂直平分线分别交,于点N,Q.若
△�,��𝐴,则的周长为(𝐴)����������
��A=.108或�1�4=2△B.��12�或10C.8或10D.10或14
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质.根据线段垂直平分线的性质可得:,,分两种情
况:当点在点左侧时,当点在点的右侧时,根据三角形的周长公式求�解�即=可�得�到�答�案=.��
【详解】解�:当点�在点左侧时�,如图�所示:
��
由垂直平分线性质可知,,
∴��=����=��;
当点�△�在��点=�的�右+侧��时+,�如�图=所��示+:��+��=��=10
��
由垂直平分线性质可知,,
∴��=����=��
�△���=��+��+��=��+��+��
;
=��+��+��+��
=综上��所+述2,��=10+的4周=长1为410或14,
故选:D.△���
4.如图,线段,的垂直平分线交于点,且,,则的度数为()
𝐴𝐷�∠𝐴�=∠���=72°∠𝐷�=92°∠���
A.B.C.D.
【答案】1C68°158°128°118°
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是依据全等三
角形的对应角相等,以及三角形内角和定理得出结论.
【详解】解:如下图所示,连接,
是的垂直平分线,是𝐷的垂直平分线,
∵��𝐴,,��𝐷
∴��=𝐴𝐷=,��,
∴∠𝐴�=∠�𝐴∠𝐷,�=∠�𝐷
∵∠𝐴�=∠���=72°,
∴在∠𝐴�=中∠,���=∠�𝐴=∠𝐷�=72°,
在△𝐴�中,∠�𝐴=180°−∠𝐴�−∠���=180°−72°−72°=36°,
△���∠���=1,80°−∠𝐷�−∠�𝐷=180°−72°−72°=36°
∴∠�𝐴=∠���=36°,
∴∠�𝐴−∠�𝐴,=∠���−∠�𝐴
∴∠�𝐷=∠���
在和中,,
��=𝐴
△�𝐷△���∠�𝐷=∠���
,
𝐷=��
∴△�𝐷≌△���,
∴设∠𝐷�=∠���,
则∠𝐷�=∠���=�,,
∠�𝐷=∠�𝐷−∠���=72°−�∠𝐷�=∠𝐷�−,∠𝐷�=92°−�
∴在∠���=中∠,𝐷�−∠𝐷�=72°−92°−�=�−20°.
△�𝐷∠���=180°−∠���−∠�𝐴=180°−72°−�−�−20°=128°
故选:C.
5.如图,在中,按以下步骤作图:①分别以点,为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于
1
,两点;△②�作�直�线交于点,
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