2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第14讲 等腰三角形 (3个知识点+8个题型+思维导图+过关测) (学生版)

第14讲等腰三角形内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：8大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升【知识点1等腰三角形的性质】性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”.【知识点2等腰三角形的判定】1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【知识点3作一个等腰三角形】尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形.作法：如图（2）①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h；④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.【题型1利用等边对等角直接求角度】【例1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，CE是△ABC的角平分线．若∠BAC=40°，则∠BEC的度数为（

）A．70° B．75° C．105° D．125°【变式1-1】如图，△ABC中，∠BAC>∠B，∠C=70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕ED交AB于D，交BC于E，若AE=AC，则∠B的度数为【变式1-2】如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AB=AC=DC，AD=BD，求【变式1-3】如图，在△ABC中，AB>AC，AD是角平分线，AE是高，AE=CE，∠DAE=10°，求∠CAE和∠B的度数．【题型2方程思想求角度】【例2】如图，在△ABC中，∠ABC=54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（A．104° B．106° C．117° D．136°【变式2-1】如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE=40°，则∠BAC的度数为（A．100° B．105° C．110° D．120°【变式2-2】如图，△ABC中，∠BAC=67°，PD垂直平分AB，PE垂直平分AC，则∠PBC的度数为．【变式2-3】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA=DE，DB=BE=EC．若∠ABC=130°，则∠C的度数为．【题型3分类讨论思想求角度】【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数为（

）A．40° B．40°或130° C．40°或140° D．140°【变式3-1】已知AD是△ABC的高，AC=BC，∠CAD=50°，则∠B的度数为．【变式3-2】△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DM交直线BC于点M，交AB于点D，若CA=CM，则∠ABC的度数为．【变式3-3】如图，∠MON=32°，点A在ON上，BC垂直平分OA分别交OM、ON于点B、C．点D在射线OM上，不与点O、B重合，当△ABD是等腰三角形时，求∠OAD的度数．【题型4“三线合一”的应用】【例4】如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，BD=CE，AD=AE．求证：AB=AC．【变式4-1】如图，已知：∠1=∠2，DA=DB，AC=12AB【变式4-2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点．(1)若∠A=40°，求∠ABC的度数；(2)求证：DG垂直平分EF．【变式4-3】如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点D是边BC的中点，以AD为底边向上作等腰△ADH，使得∠ADH=∠C，DH交AB于点K(1)若∠B=20°，求∠H的度数；(2)若HD=BC，求证：AD=2AC．【题型5确定等腰三角形的个数】【例5】在平面直角坐标系中，若点A2,0，点B0,1，在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（A．3 B．5 C．6 D．8【变式5-1】如图的正方形网格中，像点A、点B这样网格线的交点称为格点．以AB为边的等腰三角形ABC的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（

）A．10个 B．8个 C．6个 D．4个【变式5-2】如图，直线a,b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-3】如图，已知△ABC中，AB=6，AC=10，BC=14，若过△ABC的顶点的一条直线将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【题型6尺规作等腰三角形】【例6】如图，已知∠α，线段a．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）(1)作出一个等腰三角形ABC，使其底角=∠α，底边长=a；(2)作出一个等腰三角形DEF，使其底角=∠α，底边上的高=a．【变式6-1】如图，在△ABC中，∠A=40°，点D在边C上．请用尺规作图法，在△ABC内求作一点F，使∠CFD=70°．（保留作图痕迹，不写作法）【变式6-2】如图，A为直线l外一点，点B，C在直线l上，已知∠ABC为锐角．请用尺规作图法，在直线l上求作一点D，使得∠ADB=2∠ABC，（保留作图痕迹，不写作法）【变式6-3】线段OA和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段OA上作一点B，连接BC、BD、CD，使得△BCD是以CD为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）【题型7等腰三角形的判定与性质】【例7】如图，已知点A，C分别是△FBE的边BF和BE延长线上的点，作∠AFE的平分线FD，若FD∥BC．(1)求证：△FBE是等腰三角形；(2)作∠FEC的平分线交FD于点H，若∠B=50°，求∠FHE的度数．【变式7-1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AD于点O，交AC于点F，连接(1)求证：△AOC为等腰三角形；(2)若∠BAD=20°，求∠COF的度数．【变式7-2】已知如图△ABC中AC=6cm，AB=8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，(1)求证：△DFC是等腰三角形；(2)求△AEF的周长．【变式7-3】如图，在△ABC中，AC=BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB．(1)求证：△OBC为等腰三角形；(2)若∠ACF=25°，求∠BOE的度数．【题型8等腰三角形与全等三角形的综合】【例8】如图，△BAD和△CAE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，AF⊥CB，垂足为F．(1)求证：∠ABF=∠ADC；(2)判断AF和CE的位置关系，并说明理由；(3)求证：CD=2BF+DE．【变式8-1】如图1，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．(1)①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数；(2)如图2，若CM为△DCE中DE边上的高，BE=4，CM=3，请直接写出四边形ABEC的面积．【变式8-2】【常见类型】（1）如图1，已知：BC=AD，且∠ABC=∠BAD．求证：AC=BD．【变式拓展】（2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答．如图2，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，O为BC中点，BD⊥AO交AO延长线于点D，求证：①CE=BD；②【变式8-3】在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，过点B作射线AD的垂线，垂足为点E．(1)如图1，过点C作射线AD的垂线，垂足为点F，求证：△ABE≌△CAF；(2)在射线EB上取点G，使EG=AE，连接AG，CG，CG与AD交于点H．如图2，若∠AGC=90°，AE=4，求线段BG的长．1．等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（

）A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40°2．如图，在△ABC中，AB=AC=DC，D在BC上，且AD=DB，则∠BAC的度数是（

）A．100° B．105° C．108° D．120°3．如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿DE折叠，使点B落在边AC上的点F处，若∠CFD=57°，且△AEF为等腰三角形，则∠A是度数为（

）A．49° B．52° C．52°或41° D．49°或38°4．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使△ABC为等腰直角三角形，那么点C的个数是（

）A．6 B．7 C．8 D．95．如图，已知AB=A1B,A1B1

A．6823 B．6824 C．6．如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形有个．7．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O平行于BC的直线分别交AB、AC于点D、E，已知AB=9cm，AC=8cm，△ADE的周长为8．如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，且CE=CB，D是BE的中点，若∠BCD=20°，则∠A=．9．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEG=．10．已知等腰△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线交直线AC于点D，若∠BDC=48°，则∠BAC的度数为11．（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形，并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）；（2）已知内角度数的两个三角形如图②、图③所示，能否分别画一条直线把他们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．

12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，∠BDE=∠CEF．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A=40°时，求∠DEF的度数．13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是中线，且DG⊥CE于G，2CD=AB．(1)求证：G是CE的中点；(2)求证∠B=2∠BCE．14．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交