2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第15讲 等边三角形 (3个知识点+7个题型+思维导图+过关测) (学生版)

第15讲等边三角形内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：7大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升【知识点1等边三角形的性质】性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．【知识点2等边三角形的判定】1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形．2.三个角都相等的三角形是等边三角形．3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识点3含30°角的直角三角形的性质】性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD.又因为∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC，所以BC=12AB.由此可以得到【题型1利用等边三角形的性质求角度】【例1】如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，过点D的直线与AC相交于点E，与AB的延长线相交于点F，当AE=AD时，则∠F=．【变式1-1】如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠ADC的度数为（

）A．15° B．20° C．22.5° D．30°【变式1-2】如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求∠BPD的度数.【变式1-3】如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，求∠BOD的度数.【题型2利用等边三角形的性质求线段长度】【例2】如图，△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE的长为（

）A．7 B．8 C．172 【变式2-1】如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，若△ABC的周长为15,AF=2，则BE的长为．【变式2-2】如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．若BE=1，AE=4，求CE的长．【变式2-3】如图，等边三角形ABC中，BD是中线，延长BC至E使得CE=12BC，过点D作DF⊥BE于F【题型3含30°角的直角三角形的性质简单应用】【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB交BC于点D，AD=2，则BC的长是（）A．12 B．10 C．8 D．6【变式3-1】如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（

）A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2【变式3-2】如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E，CE=3，AC的长为（

）A．6 B．8 C．9 D．12【题型4作垂线构造含30°角的直角三角形】【例4】如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=24，点D在BA的延长线上，CA=CD，BD=15，则AD的长为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式4-1】如图，在等边三角形ABC中，D是AC延长线上一点，E是AB上一点，连接BD，ED．若DE=DB，AD+AE=10，BE=2，则BC的长为．【变式4-2】如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，点E，F在等腰三角形ABC的内部，连接AE，EF，CF，使∠BAE=∠AEF=60°，且CF平分∠ACB．若AE=5，EF=3【变式4-3】如图，在△ABC中，∠ABC=60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB=5.4，CE=3，则BE=．【题型5等边三角形的判定】【例5】如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E=30°，AD=AE．求证：△ABC为等边三角形．【变式5-1】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【变式5-2】已知：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，点E、F为垂足，且DE=DF，∠A=120°．(1)求证；△BDE≌(2)求证：△DEF是等边三角形．【变式5-3】在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．(1)如图（1），当∠BAC=50°时，则∠AED=_____°；(2)如图（2），当∠BAC=60°时，连接AD，判断△AED的形状，并给予证明．【题型6等边三角形的判定与性质】【例6】如图，△ABC与△ABD都是等边三角形，点E、F分别在BC，AC上，BE=CF，AE与BF交于点G．(1)求∠AGB的度数；(2)连接DG，求证：DG=AG+BG．【变式6-1】如图1，在等边△ABC中，E为边AC上一点，D为BC上一点，且AE=CD，连接AD与BE相交于点F．(1)AD与BE的数量关系是，AD与BE构成的锐角夹角∠BFD的度数是；并说明理由．(2)深入探究，将图1中的AD延长至点G，使FG=BF，连接BG，CG，如图2所示．求证：GA平分∠BGC（第一问的结论，本问可直接使用）【变式6-2】如图，△ABC和△ADE是等边三角形，CE、BD交于点F，连接AF．(1)求证：CE=BD；(2)求证：∠AFC=60°；(3)判断线段AF、BF、CF的数量关系，并说明理由．【变式6-3】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE．(1)如图（1），若点D是AC的中点，求证：AD=CE；(2)如图（2），若点D不AC的中点，AD=CE是否成立？证明你的结论；(3)如图（3），若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．【题型7等边三角形中多结论问题】【例7】如图，△ABC中，BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论错误的是（

）A．∠DFB=∠DBF B．∠ECF=∠EFCC．∠BFC=90°+12∠A D．△ADE【变式7-1】如图，已知等边三角形ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G．DF交BC于点P．则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1．其中一定正确的是（

）A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④【变式7-2】如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE．∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③△ABE是等边三角形；④BP=EQ，其中正确的结论个数是（A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-3】如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABF和等边△ACE，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF=BE；②∠COE=60°；③OA平分∠FOE；④OE=OA+OC．其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个1．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（）A．50° B．45° C．40° D．35°2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（

）①有两个角是60°的三角形

②有两个外角相等的等腰三角形③腰上的高也是中线的等腰三角形

④三个外角都相等的三角形⑤有一个角为60°的等腰三角形．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若BE=2，AE=8，则CE的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．74．如图，在△ABC中，∠C=30°，AD⊥AB，垂足为点A，交BC于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段AC，AD=5，则BC的长是（

）A．12 B．15 C．18 D．205．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．86．如图，在△ABC中，∠BAC=120°,AC=8，D为BC的中点，AD⊥AB，则AB的长为．7．如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B,D,E在同一直线上，若∠EBC=35°，则∠ECA的度数为．8．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=度．9．如图，∠AOB=60°，点C是BO延长线时的一点，OC=6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=s

10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③OP=OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB=60°；其中正确的有（注：把你认为正确的答案序号都写上）11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN．(1)证明：AB=BC；(2)若∠CAB=30°，证明：△AMN是等边三角形．12．如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于点D．(1)求证：D为PQ中点；(2)DE的长为？13．如图，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD=BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB=2∠BAC．(1)求∠BDE的度数；(2)点F在AB上，连接DF,DF=BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由．14．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．(1)求证：BE=CD；(2)求证：△AMN是等边三角形；(3)如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N