2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题01 相交线与平行线 (8个知识点+7个核心考点+复习提升) (学生版)

专题01相交线与平行线

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

【知识点1两条直线相交】

【邻补角的概念与性质】

1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线.

2.定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.

3.性质：邻补角互补.

【对顶角的概念与性质】

1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.

2.性质：对顶角相等.

【典例1】如图直线相交于点，是的邻补角是，的对顶角是，若

，则𝐴,𝐶,𝐸度，�∠���度．∠���

∠���=50°∠�𝐶=∠�𝐴=

【知识点2两条直线垂直】

【垂直的定义】

1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线

叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.

【垂线的画法及性质】

1.垂线的画法：有一个公共点的两直线是相交线.

一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合

二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点

三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线.

2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

【典例2】已知三角形，用直角三角板过点A作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（）

𝐴���

A．B．

C．D．

【垂线段最短】

1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫作垂线段.

2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成垂线段最短.

【典例3】如图，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最

小值是（）∠�𝐴=90°��=6��=8𝐴=10�𝐴����

A．B．C．D．

4.54.856

【点到直线的距离】

定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

【典例4】在下列图形中，线段的长表示点到直线的距离的是（）

𝑃�𝐴

A．B．

C．D．

【知识点3两条直线被第三条直线所截】

1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）

的同旁，则这样一对角叫做同位角．

2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）

的两旁，则这样一对角叫做内错角．

3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截

线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．

【典例5】如图所示的八个角中，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．

【知识点4平行线的概念】

【平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】

在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．

（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．

（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：

①前提是在同一平面内；

②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．

【平行线的基本事实及其推论】

（1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

【典例6】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②

如果，，那么；③如果，，那么；④如果，�∥�，那�么⊥�．其中�正⊥确�的

是�∥�．�（∥�填写所有�正∥�确的序号�）⊥��⊥��⊥��⊥��⊥��∥�

【知识点5平行线的判定】

定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，

两直线平行．

定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两

直线平行．

定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互

补，两直线平行．

注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．

【典例7】如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其

中，能判定的条件有（∠1）=∠2∠3=∠4∠�=∠5∠1+∠���=180°∠5=∠�

𝐶∥��

A．5个B．4个C．3个D．2个

【知识点6平行线的性质】

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．

【典例8】如图，，若，，则．

��∥��∥𝑆∠2=100°∠3=120°∠1=

【知识点7定义、命题、定理】

命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题．

命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．

命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写

成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论.

举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.

像这样的例子叫作反例.

【命题与证明综合应用】

（1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”“平行于

同一直线的两条直线平行”都可以看作定理.

（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如本

章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明.

（3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经过

分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然后

书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方法.

【典例9】命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角．

(1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式；

(2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．

【知识点8平移】

【平移定义】

1.定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移．

2.平移的条件：决定平移的条件是平移的方向和平移的距离.

【平移的性质】

（1）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同.

（2）平移后，新图形和原图形对应线段平行(或共线)且相等；对应角相等；对应点所连线段平行(或共线)且

相等.

【平移作图】

（1）定：确定平移的方向和距离；

（2）找：找出原图形中的关键点；

（3）移：过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段得到关键点平移后的对应点；

（4）连：按原图形顺序依次连接各个对应点得到的图形即为平移后的图形.

【典例10】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平

移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为．

△�𝐸𝐴=10��=4

考点一：相交线中的角度计算

例1．如图所示，直线相交于点，，垂足为，已知．

𝐴,𝐶���⊥𝐴�∠���:∠���=1:4

(1)若平分，求的度数；

(2)若𝐸的∠度�数��比∠�的𝐸度数的倍多，试判断与垂直吗，并说明理由．

【变式∠1�-�1】�如图，直∠线�𝐸、相交3于点O5，4°，��平�分�．

𝐴����⊥����∠���

(1)若，求的度数；

(2)若∠���=40．°∠���

①用含∠��的�代=数�式分别表示和；

②求�的度数∠．�𝐸∠���

1

∠���+2∠�𝐸

【变式1-2】如图，直线与相交于点，是的平分线，，．

𝐴𝐶���∠�����⊥𝐴𝐸⊥𝐶

(1)如果，求的度数；

∘

∠���=42∠�𝐸

(2)设，求证：．

1

∠���=�∠���=2�

【变式1-3】若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分．

𝐴𝐶���∠�����∠���𝐸∠���

(1)若，求和的度数？

(2)若∠�𝐶是=任58意°角∠�𝐸∠�𝐸，求的度数？

(3)请猜∠�想�，�度数�(会0°改<变�吗<？90若°)改变，∠�请�说�明理由；若不改变，则度数是多少？

考点二：填写∠�推�理�依据，完善证明过程∠�𝐸

例2.完成下面的推理填空：

如图，已知，，求证：．

𝐴∥𝐶,∠1=∠2∠3=∠4∠�=∠���

证明：，

∵𝐴∥（𝐶_________）．

∴∠2=∠���_________，

∵∠���=∠3__+_______，

∴∠2=∠3，+

∵∠3=∠4，

∴又∠2=∠4+，∠���=∠�𝐶

∵∠1=∠__2_______，

∴∠�𝐶__=_______（_________）．

∴𝐶∥．（_________）．

【∴变∠式�=1-∠1】��如�图，，求的度数．

∠1+∠2=180°,∠�𝐸=∠�,∠�𝐶=60°∠�𝐴

解：∵（已知）

∠1+∠2=1（80°）

∠∴2+∠���=（180°）

∴∠1=∠��（�）

∴𝐴∥（）

又∠∵�𝐸+∠𝐶�（=已1知80）°

∴∠�𝐸=∠�（等量代换）

∴∠�+__（___=180°）

∴��∥��（）

【变∠式��1�-2=】∠将�下𝐶面=的6说0°理过程补充完整．

已知：如图，，垂足为．

∠1=∠�,𝐸⊥���,∠2+∠3=180°

（1）试说明；

（2）试求出∠2=∠的4度数．

解：（1）∠𝐶�（已知），

____∵__∠_1__=__∠_�__（______________）．

∴��∥（______________）．

（∴2∠）2=∠4（已知），

∵𝐸⊥��（垂直的定义）．

∴∠𝐸�=（90已°证），（已知），

∵∠2=∠4（__∠_2__+__∠_3__=__1_8_0）°．

∴∠3+∠4=180°

______________（______________）．

∴𝐶∥______________．

∴∠𝐶�的=度∠数为______________．

【∴变∠式𝐶1�-3】把下列推理过程补充完整：

如图，已知交BC于点M，交BC于点E，，，求证：．

𝑀⊥��𝐶⊥��∠1=∠�∠2=∠3𝐴∥𝐸

证明：，，

∵𝑀⊥，��𝐶⊥��（①）．

∴∠�𝑀=90°∠（�等𝐶量=代9换0°）．

∴∠�𝑀=（∠��②�）．

∴𝑀∥③𝐶（两直线平行，同位角相等）．

∴∠3=，

∵∠2=∠3（等量代换）．

∴∠2=∠�（�内�错角相等，两直线平行）．

∴𝐸∥④，

∵∠1=∠�（内错角相等，两直线平行）．

∴𝐴∥𝐶（⑤）．

∴考�点�三∥：𝐸平行线的判定与性质证明

例3.如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，

已知，𝐴���．𝐴������������

∠𝐸�=∠�𝐴∠���+∠�=180°

(1)求证：；

��∥��

(2)若，平分，求的度数．

【变式∠1�-1=】3如8°图，��在三角∠形���中，∠�点��在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交

于点，，𝐴�．�,����𝐴���𝐸𝐶

�∠1=∠�∠2+∠3=180°

(1)判断与的位置关系，并说明理由；

(2)若��𝐶，且，求的度数．

【变式∠1�-�2】�已=知5：8如°图，∠点�E=在∠4+上1，0°∠�，，垂足分别为D、F，点M、G在上，，

．求证：����⊥．��𝐸⊥��𝐴∠�𝐶=∠�𝐸

∠1=∠2∠�𝐴+∠𝐴�=180°

【变式1-3】如图，已知，．

∠1+∠���=180°∠2+∠4=180°

(1)证明：；

(2)若𝐶∥�，�

①∠3=90，°求的度数；

②∠求4证=：140°∠���

考点四：∠平�行𝐶线−中∠的�拐��点=问9题0°

例4.如图，，，，则．

𝐴∥𝐶∠𝐶�=120°∠�=3∠�∠�=

【变式1-1】如图，已知：，，，．则x，y，z之间的数量关系是（）

𝐴∥𝐶∠�=�°∠�=�°∠�=�°

A．B．

C．�+�+�=180D．�+�−�=180

【变式1�-2+】�如=图�①为北斗七星的位置图，如图②将�北+斗�+七�星=分3别60标为A，B，G，C，D，E，F，将A，B，

G，C，D，E，F顺次首尾连接．若B，G，C三点共线，恰好经过点G，且，，

，则为（）𝐸𝐸∥��∠�=∠�𝐶+10°

∠�=105°∠�−∠�𝐸

A．B．C．D．

【变式11-31】5°【问题初探】95°90°85°

（）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：

1；1𝐴∥𝐶�𝐴𝐶��∠���=

【∠类��比�探+究∠�】��

（）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写

出2，，之间的数量关系；2𝐴∥𝐶�𝐴𝐶��

【学∠以��致�用】∠���∠���

（）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得

334𝐴∥𝐶��⊥𝐶

知，，求的度数．

∠𝐴�=75°∠���=115°∠�𝐸

考点五：平行线中多结论问题

例5.如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，

点在上，连接，，已𝐴知��𝐴∥�，�����；�下列�结�论：�①,∠𝐸�与=55°

互为�,同�位�角�；②��；��③平∠分𝐸�=；10④°∠���=∠�．��其,∠中�所��有=正∠确��结�论的序号为∠���．∠�𝐶

��∥����∠𝐸�∠���=50°

【变式1-1】如图，，点，在直线上（在的右侧），点在直线上，，为线段

上的一点，连接�，�∥�，��与�的�角�平分�线交�于点，且点�在直线𝐶，之��间⊥，�下�列结�论：��

①��𝑃；②∠𝐸�∠𝑃�；③若��，�则�𝐶；④

若∠���+∠𝑃�=，9则0°∠���+2∠�𝑃=．2其7中0°正确的∠结𝑃论�是=2∠𝑃�．3∠���+∠𝑃�=270°

1

∠𝑃�=�∠𝑃�∠���+�∠𝑃�=90°

【变式1-2】如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，

则下列结论：①𝐴∥𝐶；②𝐴平分��∥�；�③��∠𝐸�；④��⊥��；∠�⑤��=2∠�

，其∠中�正=确30的°是��∠�填��序号）∠．𝐸�=∠���∠𝐸�+∠���=∠���2∠�+

∠���=90°

【变式1-3】如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，

则下列结论：𝐴∥𝐶�；𝐴平分𝐸⊥；𝐶�∠�𝐶；=90°��∠���∠；��其�中=正50确°

的有．（请①填∠写��序�号=）75°②��∠�𝐴③∠�𝐸=∠�𝐶④∠�𝐶+∠���=180°

考点六：平行线中的判定与性质综合探究题

例6.综合与探究

如图，，点，分别在直线，上．

𝐴∥𝐶��𝐴𝐶

(1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明．

(2)如图2，�是直线𝐴，𝐶之间一点，连接��，��．若∠�𝑃=，∠���+∠𝑃�，求的度数．

(3)如图3，�平分𝐴，𝐶平分，试�探�究��与∠�𝐸=之1间1°的数∠�量�关�系=，72并°说明∠理𝐸由�．

【变式1-1】【�探�究结∠论�】�如�图�1�，∠��，�为平行线∠内�一𝑃点，∠连�接��、得到，经推理证明可得

．（不要求证明）𝐴∥𝐶�����∠�𝐶∠�𝐶=

∠�+∠�

【探究应用】利用以上结论解决下面问题：

(1)如图2，和的平分线交于点，的度数是________；

∠�𝐸∠𝐸��∠�

(2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，试说明

；��𝐸∠�𝐸∠1=∠2∠𝐸���∠���+

(∠3�)如=图1840，°点为线段（端点除外）上的一个动点，过点作的垂线交于，交于，、

的平分线相交�于，则𝐸________．�𝐸𝐴�𝐶�∠�𝐸∠�𝑄

∘

【变式1-2】已知�直线∠���，=将一个含角的直角三板按如图1所示位置

摆放，使分别在𝐴∥𝐶上，P在60°之间，设�𝑀∠�=90°,∠��．�=60°

�,�𝐴,𝐶𝐴,𝐶∠�𝐶=�0°<�<90°

(1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）；

(2)如图2，∠�分�别�画+∠�𝐶的∠�平分线，交于点Q，求的度数；

(3)如图3，在（2）∠的��条�件,∠下�，𝐶若平分，交于点∠�E�，�过点N作，交于点F．请在图3

中补全图形，并判断的大小�是�否是一∠�个�定�值？�若�是，请求出它的值；��若∥�不�是，请�说�明理由．

【变式1-3】已知直线∠𝑀�，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连

接、．𝐴∥𝐶��𝐴𝐶�𝐴𝐶

����

(1)如图1，若，，试说明；

(2)如图2，在（∠1�）�的�结=论�下∠，�点��是=直�线下方∠一�点=，�满+足�平分，平分．若，

求的度数；�𝐶��∠�����∠𝑀�∠���=35°

(3)∠如�图+3∠，�点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等

分线，平分�，𝐴��，则𝑀�_______�__�．��∠���

考点七�：�：平行∠�线�中�的∠动�态�旋�转=问10题0°−2∠�∠���=

例7.如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，

分别在射线，上�，且𝐴，．�𝐶

����𝐴∠�𝐶=60°∠�𝐸=45°

(1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板

旋转的角度为_______�_�_�__度．�𝐸𝐴�𝐸

(2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究

与之间满足什么等量�关𝐸系，并�说明理由．𝐸∠���∠���

(3)∠在�上𝐸述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直

角三角板的边所在��的�直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出�此时三角6°板绕点的运动

时间�𝐸的值．����𝐸�

【变式�1�->1】0如图，直线，一副三角尺（，，，

）按如图①�放�置∥�，�其中点E在直线∠𝐴上�，=点∠�B�，�C=均9在0°直∠线�𝐴上=，30且°∠�平�分�=60°．∠���=

∠���=45°𝑃𝑀��∠�𝑀

AI

(1)求的度数．

(2)如图∠�②𝑃，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），

当落在射线上时，�立��即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为

t（�s�）．������

①在旋转过程中，若边，求t的值．

②若在三角形绕点�B�旋∥转𝐶的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对

应点为H，K）�，��两个三角形同时停止运动．请𝐶直�接写出当的角平分线与的角平分线平行时t

的值．∠𝐴�∠�𝐸

【变式1-2】如图，直线，一副三角板（，，，

）按如图1�放�∥置�，�其中点E在直线∠𝐴上�，=点∠�B�，�C=均90在°直∠线�𝐴=上，30且°∠�平�分�=60°；∠���=

∠���=45°𝑃𝑀��∠�𝑀

(1)求的度数；

(2)如图∠�2�，�若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转

时间为t秒△𝐴�；6°

①在旋转过程0中≤，�≤若6边0，求t的值；

②若在绕B点旋�转�的∥�同�时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别

为K、T△）�，��请直接写出与平△行时𝐶�的值．3°

【变式1-3】如图，已知𝐸��是直线�，间的一点，于点，交于点，．

𝐴∥𝐶,�𝐴𝐶𝐸⊥𝐶���𝐴�∠���=120°

(1)．

(2)∠如�图��2，=射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返

回至后停止运�动�；射𝐸线从出发4，5°以每秒�的速度绕点按逆时针方向�旋�转至𝐴后停止运动，若射

线�，�射线同时开始运��动，�设�运动时间为秒2．0°�𝐴

①�当���时，请求出的度数；�

②当∠���=时1，0°请求出的值∠．�𝑀

��∥𝑀�

1．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边的有（）

�∥�

①；②；③；④；⑤．

∠A1．=2∠个2∠3=∠B4．3个∠2+∠4=90°C．∠4个+∠5=180°D∠．1+5个∠4=90°

2．下列命题中，①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线

与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种；④不相交的两条

直线是平行线；⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角互为补角是假命题的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，

若设，，则和之间的关系𝐸是(��)���∥��∥��∠���=40°��∠�𝐶

∠𝐶�=�°∠�=�°��

A．B．C．D．

4．如图�，+2�与=18交0于点�，−点2�在=直60线上，�−�=80，�+�=1，50，下列

四个结论：�①�𝑀；②��𝐶∠�；�③�=∠���∠�𝑀=2；∠�④𝐴∠���=2∠���．其

中正确的结论�是�（∥𝐶）∠�𝑀+∠���=2∠���∠���+∠𝐸�=90°3∠���−∠𝐸�=180°

A．①②④B．①③C．①②D．①②③

5．如图，图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的

的度数是．∠�𝐸=26°𝐸��∠𝐸�

6．直线相交于点O，且，平分．

𝐴,𝐶,𝐸𝐶⊥𝐸��∠�𝐸

(1)如图1，①的余角有_______．（填写所有符合情况的角）

②若∠�𝐶，求的度数．

(2)如∠图��2，�:请∠�直�接�写=出2:3∠与�𝐶的数量关系为________．

7．完成下面推理过程：∠�𝐶∠���

如图，，，，，．求的度数．

𝐴∥𝐶∠𝐴�=50°∠�𝑀=150°∠𝑀�