2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第05讲 全称量词与存在量词（3个知识点+5个考点+过关测）（教师版）

第05讲全称量词与存在量词内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：5大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．知识点2存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．知识点3含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．教材习题01写出下列命题的否定：(1)一切分数都是有理数；(2)正方形都是菱形；(3)，使；(4)，有．解题方法（1）“一切分数都是有理数”的否定为：存在一个分数，不是有理数；（2）“正方形都是菱形”的否定为：存在一个正方形，不是菱形；（3）“，使”的否定为：，有；（4）“，有”的否定为：，使【答案】(1)存在一个分数，不是有理数(2)存在一个正方形，不是菱形(3)，有(4)，使教材习题02判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：(1)实数都能写成小数；(2)在实数集内，有些一元二次方程无解；(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；(4)存在一个自然数n，使代数式的值是负数．解题方法（1）不是（2）是；存在量词是“有些”；（3）是；存在量词是“存在”；（4）是；存在量词是“存在”.【答案】(1)不是(2)是；“有些”(3)是；“存在”(4)是；“存在”教材习题03判断下列命题的真假：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，；(5)设，，是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点使得．解题方法（1）因为，，从而有，即．因此（1）是真命题；（2）因为，但当时，不成立，因此（2）是假命题；（3）因为且，因此（3）是真命题；（4）因为只有两个实数根或，所以当时，因此（4）是假命题；（5），，三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设是外接圆的圆心，则，因此（5）是真命题．【答案】(1)真命题(2)假命题(3)真命题(4)假命题(5)真命题考点一判断命题是否为全称命题1．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词：(1)每一个多边形的外角和都是；(2)所有的素数都是奇数；(3)对任意的无理数x，也是无理数；(4)，x都有平方根；(5)，有．【答案】(1)是，“每一个”(2)是，“所有”(3)是，“任意”(4)是，“”(5)是，“”【详解】（1）命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题．（2）命题中含有存在量词“所有”，是全称量词命题．（3）命题中含有全称量词“任意”，是全称量词命题．（4）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题．（5）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题．2．指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代：(1)对任意正实数，；(2)对某个大于10的正整数，．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合．该命题可以写成“，”；（2）命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合．该命题可以写成“，，”，或者写成“，，”．3．用量词符号“”“”表示下列命题：(1)存在一个多边形，其内角和是；(2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数；(3)存在实数，.【答案】(1)，的内角和是(2)，表示的相反数(3)，【详解】（1）由题意“存在一个多边形，其内角和是”，因此使用特称量词可直接转换为“，的内角和是”.（2）由题意“任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数”，因此使用全称量词可直接转换为“，表示的相反数”.（3）由题意“存在实数，”，因此使用特称量词可直接转换为“，”.考点二判断命题是否为特称命题1．下列命题中，是存在量词命题的是（

）A．正方形的四条边相等B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形C．正数的平方根不等于0D．至少有一个正整数是偶数【答案】D【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题，ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题.故选：D2．下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（

）A．， B．有的矩形不是平行四边形C．， D．，【答案】C【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意，选项A：因为，所以命题为假命题；选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；选项C：，故命题为真命题，故C正确.故选：C．3．用量词符号“”表述下列命题．(1)有些整数既能被整除，又能被整除；(2)某个四边形不是平行四边形．【答案】(1)，既能被整除，又能被整除；(2)，不是平行四边形．【详解】（1）因为存在量词命题的形式为“存在中的元素，”，用符号表示为“，”,所以原命题表述为：，既能被整除，又能被整除；（2）原命题表述为：，不是平行四边形.考点三判断全称命题与特称命题的真假1．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由，可得，所以错误，错误，错误，，即，正确.故选：D.2．已知命题：，，命题：，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】C【详解】当时，成立，所以命题为真命题；当或1时，命题为假命题，所以为真命题；故选：C.（多选题）3．下列说法正确的是（

）A．B．若是空集，则A与B均是空集C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件D．，使得为奇数【答案】AB【详解】对于A，当时，成立；当时，成立；当时，成立；故A正确；对于B，根据空集与交集的定义，若是空集，则A与B均是空集，故B正确；对于C，若是一元二次方程的一个根，则；若，则是一元二次方程的一个根，所以是q的充要条件，故C错误；对于D，因为时，表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，故不存在，使得为奇数，故D错误.故选：AB．（多选题）4．下列四个命题中，其中为真命题的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】因为，所以，由于不能同时取得，所以为真命题，故A正确；当时，，所以为假命题，故B错误；当时，成立，故为真命题，故C正确；因为，，所以或时，有最小值，故为假命题，故D错误.故选：AC5．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为．【答案】【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题，命题，都有，为真命题，则，即．命题，使，为真命题，则，即．因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故，故答案为：考点四全称量词命题与存在量词命题的否定1．已知命题，，命题，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】C【详解】对于命题，时，，所以，为假命题，为真命题，对于命题，，解得，或，所以，，为真命题，为假命题，所以和都是真命题.故选：C2．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，则其否定是.故选：C3．已知命题，，则命题的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】命题，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以的否定为，．故选：C．4．已知命题：，，命题：，，则（

）A．和均为真命题 B．和均为真命题C．和均为真命题 D．和均为真命题【答案】C【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题；，因为，所以成立，即为真命题，为假命题，故选：C5．已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为；若p为假命题，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】若p为假命题，则其否定命题“”为真命题.当时，集合，符合；当时，因为，所以由，得对于任意恒成立，所以，则.综上，当p为假命题时，.考点五含有一个量词的命题的否定的应用1．若“”为假命题，则的取值可以是（

）A．5 B．3 C．1 D．-1【答案】A【详解】因为“”为假命题，所以其否定恒成立，所以在上恒成立，所以即，所以的取值可以是5.故选：A2．若“”是假命题，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】由题意得：“”为真命题，所以，解得或.∴实数a的取值范围为故答案为：3．若“存在，使得”是假命题，则a的取值范围是.【答案】【详解】若“存在，使得”是假命题，则“任意，使得”是真命题，根据一次函数在上单调递减，所以，即.故答案为：.知识导图记忆知识目标复核1．全称量词与全称量词命题2．存在量词与存在量词命题3．含有一个量词的命题的否定1．设集合，命题是奇数，则（

）A．是奇数．是假命题B．是奇数．是真命题C．是奇数．是真命题D．是奇数．是假命题【答案】A【难度】0.85【知识点】特称命题的否定及其真假判断【详解】因为，且1是奇数，所以A正确．2．若：，，则是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【难度】0.85【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，若：，，则是“，”.故选：C.3．定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（

）A．若，则对于加法“＋”封闭 B．若，则对于减法“－”封闭C．若，则对于乘法“×”封闭 D．若，则对于除法“÷”封闭【答案】D【难度】0.85【知识点】集合新定义、常用数集或数集关系应用【分析】根据题设新定义，结合数的加减乘除性质判断各项正误.【详解】A：任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“＋”封闭，对；B：任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“－”封闭，对；C：任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“×”封闭，对；D：对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，故对于除法“÷”不封闭，错.故选：D4．某校组织了一次“我劳动、我快乐”的主题活动，旨在引导学生以自己的切身感受，体验劳动带来的乐趣，以促进学生道德品质的提高．已知参加此次活动的人数有50人，其中男生30名，女生20名，负责人将这些同学平均分为5个小组展开活动，则命题“存在某个小组，至少分配到1名女生”的否定是（

）A．存在某个小组，至少分配到2名女生 B．任意一个小组，至少分配到1名女生C．任意一个小组，没有分配到女生 D．存在某个小组，没有分配到女生【答案】C【难度】0.94【知识点】特称命题的否定及其真假判断【分析】利用存在量词命题的否定可求解.【详解】原命题是存在量词命题，其否定是“任意一个小组，没有分配到女生”．故选：C.5．甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员甲说：“冠军是李亮或张正”乙说：“冠军是林帅或张正”丙说：“林帅和李亮都不是冠军”丁说：“陈奇是冠军”．结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（

）A．林帅 B．李亮 C．陈奇 D．张正【答案】C【难度】0.85【知识点】推理案例赏析【分析】根据选项依次判断四人的推断结果即可.【详解】对A，若林帅获得冠军，则乙正确，甲、丙、丁都错误，故A错误；对B，若李亮获得冠军，则甲正确，乙、丙、丁错误，故B错误；对C，若陈奇获得冠军，则丙、丁正确，甲、乙错误，故C正确；对D，若张正获得冠军，则甲、乙、丙正确，丁错误，故D错误.故选：C6．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“，”的否定是“，”.故选：D7．下列命题的否定为真命题的是（

）A．，使得方程有整数解B．，C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．，方程是一元二次方程【答案】D【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断【分析】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可.【详解】原命题的否定为“，方程9没有整数解”，令，则，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A错误；原命题的否定为“”，，当且仅当时等号成立，即原命题的否定为假命题，B错误；原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误；原命题的否定为“，方程不是一元二次方程”，当时，原方程为是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D正确．故选：D.（多选题）8．下列说法中，正确的有（

）A．命题，则命题的否定为B．“”是“”的充要条件C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题D．命题“若，则”是假命题【答案】CD【难度】0.65【知识点】判断命题的真假、判断命题的必要不充分条件、全称命题的否定及其真假判断【分析】根据否定的定义判断A，应用特殊值法判断B，D，根据二次函数对称轴判断C.【详解】命题，则命题的否定为，A选项错误；当时，满足不满足，所以“”不是“”的充要条件，B选项错误；对任意实数，二次函数的图象关于轴对称，C选项正确；当时，得，则命题“若，则”是假命题，D选项正确.故选：CD.（多选题）9．下列判断正确的是（

）A．方程组的解集为B．“四边形是梯形”是“四边形有一组对边平行”的充分不必要条件C．若，则的取值集合为D．“”是存在量词命题【答案】BCD【难度】0.85【知识点】根据元素与集合的关系求参数、列举法表示集合、判断命题的充分不必要条件、判断命题是否为特称（存在性）命题【分析】求出方程组的解集判断A；利用充分不必要条件的定义判断B；由元素与集合的关系求出判断C；利用存在量词命题的定义判断D.【详解】对于A，方程组的解集为，A错误；对于B，梯形有一组对边平行，但有一组对边平行的四边形不一定是梯形，B正确；对于C，当时，，由，得，C正确；对于D，是存在量词命题，D正确的.故选：BCD（多选题）10．以下正确的选项是（

）A．不等式的解是B．集合，若，则的值为2或C．集合，则D．命题为真命题【答案】ABC【难度】0.65【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断两个集合的包含关系、特称命题的否定及其真假判断、利用不等式求值或取值范围【分析】由绝对值不等式的解法可得A正确；由集合中未知元素得4再结合元素的互异性可得B正确；由集合的意义和空集的性质可得C正确；由方程的解可得D错误；【详解】对于A，不等式等价于，解得，故A正确；对于B，由题意可得或，解得或或，当时，符合题意；当时，不满足集合元素的互异性，舍去；当时，；所以的值为2或，故B正确；对于C，集合表示横坐标大于2，纵坐标小于的点集，有无穷多个，所以，故C正确；对于D，，不为整数，故D错误.故选：ABC.（多选题）11．下列说法正确的是（

）A．空集是任意非空集合的真子集B．“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件C．已知，，则与是两个不同的集合D．已知命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则中有不属于的元素【答案】ABD【难度】0.85【知识点】判断两个集合是否相等、判断命题的必要不充分条件、全称命题的否定及其真假判断、子集的概念【分析】由真子集的概念可判断A选项；由充分条件、必要条件的判断方法可判断B选项；由集合相等概念可判断C选项；结合该命题否定的真假可判断D选项.【详解】对于A：由真子集的概念可知，空集是任意非空集合的真子集，故A正确；对于B：正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形，“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件，故B正确；对于C：因为，，所以集合与集合的元素相同，即，故C错误；对于D：命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则命题的否定“存在非空集合中的元素，不是集合中的元素”是真命题，所以中有不属