2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第08讲 基本不等式（学生版）

第08讲基本不等式内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：4大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1基本不等式1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.知识点2两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.知识点3利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).注意：1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤≤.3.(a>0，b>0).知识点4基本不等式的拓展三元基本不等式：（a，b，c均为正实数），当且仅当a=b=c时取等号。多元基本不等式：（a，b，c均为正实数），当且仅当时取等号。教材习题01设，，求证下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．解题方法（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时取得等号，所以，命题得证.（2）要证明，只用证明，只用证明，因为，当且仅当时取得等号，所以成立，则成立，命题得证.（3），当且仅当时取得等号，所以，命题得证.（4）因为，，所以要证，只用证，只用证，根据基本不等式可知显然成立，当且仅当时取得等号，所以成立，命题得证.【答案】证明见解析教材习题02（1）把64写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把24写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？解题方法（1）设两正数为，则，由基本不等式得，，当且仅当时等号取到，即当两个正数都取时，它们的和最小，最小为.（2）设两正数为，则，由基本不等式得，，当且仅当时等号取到，即当两个正数都取时，它们的积最大，最大为.【答案】（1）当两个正数都取时，它们的和最小；（2）当两个正数都取时，它们的积最大教材习题03某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减小到最少．假设罐装饮料筒为圆柱体，上、下底半径均为r，高为h，体积为定值V，上、下底厚度分别是侧面厚度的2倍．试问：当r与h之比是多少时，用料最少？（可以到市场上进行调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果）解题方法圆柱底面积为，则．上、下底厚度分别是侧面厚度的2倍，设侧面厚度为1个单位，则上、下底厚度为2个单位，则所用材料的量值为：，当且仅当时等号成立，这时，解得．故.【答案】考点一利用基本不等式比较大小1．已知，设，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．不确定2．已知，，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．（多选题）3．已知，下列不等式正确的有（

）A． B．C． D．（多选题）4．已知a，，，，则（

）A． B．C． D．考点二由基本不等式证明不等关系1．已知．(1)若，证明：；(2)若，证明：；(3)若，证明．2．（1）已知，求函数的最小值；（2）若，，证明:.3．（1）已知，，，求证：．（2）已知，，，，求证：．4．已知，都是正数，求证：.5．（1）若，，，都是正数，求证：；（2）若，，都是正数，求证：.考点三最值定理（多选题）1．已知，为正实数，且，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为2．已知，且，则的最小值为．3．若，则的最小值是.4．（1）已知正数a，b满足，求的最大值；（2）已知，，求的取值范围．5．（1）已知，求的最大值；（2）已知正实数满足，求的最大值.考点四基本不等式的恒成立问题1．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对2．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或4．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为.5．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是.考点五基本（均值）不等式的应用1．一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（

）A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（

）A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算3．一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（

）A．黄金少给了 B．黄金刚好C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关4．如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为．5．海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为．考点六“1”的妙用1．已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．12 C． D．272．已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．（多选题）3．已知，且，则（

）A． B．C． D．4．已知，且，则的最小值是.知识导图记忆知识目标复核1．基本不等式2．两个重要的不等式3．利用基本不等式求最值4．基本不等式的拓展1．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为.为便于调控生产，分别将、、中的值记为并进行分析.则的大小关系为（

）A． B．C． D．2．已知,,且,则的最小值为(

)A． B． C． D．3．函数的最小值为（

）A．1 B．3 C．4 D．54．已知均为正实数，且，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．65．已知正数x，y满足，则的最大值为（

）A．8 B．10 C．12 D．146．若、都有恒成立，则（

）A． B．C． D．7．已知，且恒成立，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6（多选题）8．已知，则的值可以是（

）A．4 B．10 C． D．3（多选题）9．下列有关最值的结论正确的是（

）A．当时，函数的最小值为2B．若均为正数，且，则的最小值为4C．若均为正数，且，则的最小值为1D．若均为正数，且，则的最小值为210．若实数a，b满足，则的最小值为．11．已知，且是方程的一个根，则的最小值是．12．若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是.13．某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示．(1)写出：满足的关系式；(2)求温室体积的最大值．14．（1）已知是正实数，且，求的最小值；（2）函数的最小值为多少？15．已知，，且．(1)求的最大值；(2)求的最小值．16．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米）