2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第09讲 二次函数与一元二次方程、不等式（教师版）

第09讲二次函数与一元二次方程、不等式

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：7大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1二次函数解析式的三种形式

2b

f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是

2a

一般式

b4acb2

(,)

2a4a

顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)

2

f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax＋bx＋c＝0的两根，图象

零点式

的对称轴是x＝x1x2

2

知识点2二次函数的图象与性质

函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象

(抛物线)

定义域R

4acb24acb2

值域[,)(,]

4a4a

b

对称轴x＝－

2a

b4acb2

顶点坐标(,)

2a4a

奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

bb

在(,]上是减函数；在(,]上是增函数；

2a2a

单调性

bb

在[,)上是增函数在[,)上是减函数

2a2a

常用结论：

①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

a0a0

②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.

00

知识点3三个“二次”间的关系

判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx

＋c(a＞0)的图象

有两相等实根

一元二次方程ax2＋bx有两相异实根

b没有实数根

＋c＝0(a＞0)的根x1，x2(x1＜x2)x1＝x2＝－

2a

2

ax＋bx＋c＞0{x|x＞xb

2x|xR

(a＞0)的解集或x＜x1}2a

ax2＋bx＋c＜0

{x|x1＜x＜x2}∅∅

(a＞0)的解集

注意：

1.有关分数的性质

bbmbbm

(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).

aamaam

11

(2)若ab>0，且a>b.

ab

2.对于不等式ax2＋⇔bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.

3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别.

∅

解题方法

（1）

22

x2m1xmmxmxm10

，

解得mxm1，

所以不等式的解集为x|mxm1.

（2）由xxa1a得

教材习题01

x2a1xa0，

求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数：

(1)x22m1xm2m0；即xax10，

(2)xxa1a．当a1时，xax10即

2

x1x1x10恒成立，

不等式的解集为R.

当a1时，a1，所以不等式的解集为

x|x1或xa.

当a1时，a<1，所以不等式的解集为

x|xa或x1.

【答案】(1)x|mxm1

(2)答案详见解析

解题方法

因为

mx2m1x1mx1x10

，

1.当m0时，则x10，所以不

等式的解集为x|x1；

教材习题02

求关于x的不等式mx2m1x10的解集，其中2.当m0时，令mx1x10，

是常数．1

m解得x或x1，

m

1

（1）当m0时，可知01，

m

所以不等式的解集为

1

x|1x；

m

1

（2）当m0时，可知0，则有：

m

1

当1，即m1时，所以不

m

①

1

等式的解集为x|x或x1；

m

1

当1，即m1时，所以不

m

等②式的解集为R；

1

当1，即1m0时，所以

m

不③等式的解集为

1

x|x1或x；

m

综上所述：当m0时，不等式的解

集为x|x1；

当m0时，不等式的解集为

1

x|1x；

m

当m1时，不等式的解集为

1

x|x或x1；

m

当m1时，不等式的解集为R；

当1m0时，不等式的解集为

1

x|x1或x.

m

【答案】答案见详解

解题方法

教材习题03设每件售价xx15元，

某商店购进一批玩具魔方，若按每个15元的价格销

x15

售，每天能售出30个；若售价每提高1元，日销售则，解得

x302x15400

量则减少2个．为了使这批魔方每天的销售总收入不

15x20，

低于400元，销售价格最高是多少？

所以销售价格最高是20元.

【答案】销售价格最高是20元

考点一一元二次不等式的概念及辨析

1．已知二次方程ax2bxc0(a0)的两根分别为3,2，则不等式ax2bxc0的解集为（）

A．(3,2)B．[3,2]

C．(2,3)D．[2,3]

【答案】B

【详解】由题设ax2bxca(x3)(x2)0且a0，

所以(x3)(x2)0，所以不等式的解集为[3,2].

故选：B

（多选题）2．下列不等式是一元二次不等式的是（）

A．x20B．x2x5

C．mx25y0D．ax2bxc0

【答案】AB

【详解】对于A：x20，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确；

对于B：x2x5，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确；

对于C：mx25y0，含有两个未知数，故不是一元二次不等式，故C错误；

对于D：ax2bxc0，当a0时不是一元二次不等式，故D错误.

故选：AB

3．已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为{x|x3或x4}.

（1）a的取值范围为；

（2）用a表示b，c为；

（3）不等式bxc0的解集为；

（4）abc0；（填“”或“”）

（5）不等式cx2bxa0的解集为.

ba,11

【答案】a0{x∣x12}xx或x

c12a43

【详解】（1）关于x的不等式ax2bxc0的解集为{x|x3或x4}，因为解集在两根之外，所以a0.

（2）由题可知-3，4是ax2bxc0的两根，

b

34,

aba,

由根与系数的关系可得所以

cc12a.

34,

a

（3）由（2）得bxc0，即ax12a0，所以x12，即bxc0的解集为{x∣x12}.

（4）由于关于x的不等式ax2bxc0的解集为{x|x3或x4}，故x1时，ax2bxc0.即abc0.

（5）由以上分析可知不等式cx2bxa0即12ax2axa0.

1111

因为a0，故12x2x10，所以x或x.故不等式cx2bxa0的解集为xx或x.

4343

11

故答案为：a0;b1,c12a;,12;;,,.

43

考点二解不含参数的一元二次不等式

1．下列不等式中，与x23的解集相同的是（）

x1

A．x24x50B．0

x5

C．5xx10D．x24x50

【答案】A

【详解】由x23，则3x23，解得1x5.

对于A，由x24x50，则x5x10，解得1x5；

x1x1x50

对于B，由0，则，解得1x5；

x5x50

对于C，由5xx10，则x5x10，解得x1或x5；

对于D，由x24x50，则x5x10，解得5x1.

故选：A.

2．不等式(x2)(x1)0的解集是（）

A．(1,2)B．(2,1)

C．D．,12,

【答案】A

【详解】由x2x10，得1x2，

所以不等式的解集为1,2.

故选：A.

3．不等式x23x2x23|x|2的解集为.

【答案】{x∣x0或1x2}

【详解】当x0时，得∣x23x2∣x23x2，则有x23x20，解得1x2；当x0时，得

22

x3x①2x3x2.因为3x0，所以x23x20，且3x03x，所以x23x②2x23x2恒成

立.综上所述，原不等式的解集为{x∣x0或1x2}.

4．解下列不等式.

(1)4x24x10；

(2)x2(a1)xa0.

1

【答案】(1){x|x}

2

(2)答案见解析

2

【详解】（1）不等式可化为2x10，

1

不等式的解集是{x|x}.

2

（∴2）原不等式可化为(xa)(x1)0，

若a1时，解为{x|1xa},

若a1时，解为xax1，

若a1时，解为.

考点三解含参数的一元二次不等式

1

1．若“10”是“(xa)24”的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）

2x

A．{a|a4}B．{a|1a4}C．{a|1a4}D．{a|1a4}

【答案】D

11

【详解】由题意可得10(xa)24，且(xa)24¿10，

2x2x

13x

又100

2x2x

x2x30，

2x3，

x20

(xa)242xa2a2xa2，

a22，

则解得1a4，

3a2，

故选：D．

2．已知函数fx的定义域xa24axa28是关于x的不等式xa2x20的解集的子集，则

实数a的取值范围是.

【答案】26,

【详解】函数fx定义域非空集，则a24aa28，解得a2.记gxxa2x2，因为

2a224，所以gx0的解集为,a22,，依题意有a28a2或a24a2，

222

所以aa6或a4a20.又a2，aa426，所以a26,.

3．已知二次函数yax23a1x3（a0）．

(1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且VABC的面积为3，求实数a的值；

(2)求关于x的不等式y0的解集．

1

【答案】(1)a1或a

5

(2)答案见解析

1

【详解】（1）令y0，则有ax1x30，得A,B两点的横坐标分别为3,，

a

令x0，得点C的坐标为0,3，

111

故VABC的面积为333，解得a1或a.

2a5

（2）不等式y0可化为ax1x30，

1

当a0时，不等式y0的解集为xx3或x，

a

①

1

当a时，不等式y0的解集为，

3

②

11

当0a时，不等式y0的解集为x3x，

3a

③

11

当a时，不等式y0的解集为xx3.

3a

④

4．已知使不等式x22mxm20对于一切实数x恒成立的实数m取值的集合为A，关于x的不等式

x22mxm210的解集为B.

(1)求集合A与集合B；

(2)若p:aA,q:aB，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)A1,2，Bm1,m1

(2)0,1

【详解】（1）因为不等式x22mxm20对于一切实数x恒成立，

所以Δ4m24m20，解得1m2，

即A1,2．

因为x22mxm210，所以xm1xm10，

解得m1xm1，即Bm1,m1，

（2）因为p是q的必要不充分条件，故BA，

即m1,m11,2，

m12

所以，解得0m1，

m11

所以实数m的取值范围是0,1．

5．解关与x的不等式：a1x22a1x20

【答案】答案见解析

【详解】当a1时，不等式为x20，解得x2，

当a1时，由不等式(a1)x2(2a1)x20，可得(a1)x1(x2)0，

1

所以x(x2)0，

a1

1311

若2，则a，解不等式得x2或x，

a12a11a

13

若2，则a，不等式的解集为若x|x2，

a12

1311

若2，解得1a时，解不等式得x或x2，

a12a11a

当a1时，由不等式(a1)x2(2a1)x20，可得(a1)x1(x2)0，

1

所以x(x2)0，

a1

11

解得2x，

a11a

1

综上所述：当a1时，不等式的解集为2,，

1a

当a1时，不等式的解集为2,，

31

当1a，不等式的解集为,2,，

21a

3

当a时，不等式的解集为x|x2，

2

31

当a时，不等式的解集为,2,.

21a

考点四一元二次不等式根的分布问题

1．已知一元二次方程x2a21xa20的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（）

A．a3a1B．a2a0C．a1a0D．a0a2

【答案】C

【详解】记yx2a21xa2，则函数为开口向上的二次函数，

要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要x1时，y0即可，

即1a21a20，解得1a0，所以实数a的取值范围是a1a0.

故选：C.

2

（多选题）2．若关于x的方程x2axa20(aR)的两个根x1,x2都在区间(1,4)上，则a的值可以为（）

13151719

A．B．C．D．

7777

【答案】BC

f(1)0,

2f(4)0,

【详解】设f(x)x2axa2，由题可知，若x1,x2都在区间(1,4)内，则需满足所以

Δ0,

1a4,

3a0,

187a0,18

2解得2a，故B，C符合.

4a4(a2)0,7

1a4,

（多选题）3．若方程ax2ax2ax2恰有一个实根，则实数a的取值范围可以是（）

A．a2B．a8

C．a1D．a1

【答案】BD

2222

【详解】由ax2ax2ax2可得axax2ax2，整理得aax3ax20.

由于方程ax2ax2ax2恰有一个实根，分以下几种情况讨论：

（i）当a2a0时，a0或1.

若a0，则22，矛盾；

2

若a1，则3x20，解得x，满足方程x2x2x2；

3

（ii）当a2a0时，即当a0且a1时，

若Δ9a28a2aa28a0，解得a8，

21

此时方程为36x212x10，即6x10，解得x，

6

满足方程8x28x28x2；

2x

若0，方程aax3ax20有两个不等的实根1、x2x1x2，

22

因为2224，所以，，

aa3a20x1x2

aaaa

2

2222

所以，aaaa3a20，即41a0，解得a1.

aa

综上所述，实数a的取值范围是aa8或a1.

故选：BD.

4．已知方程x2(m2)xm22m0有一正根一负根，则实数m的取值范围是．

【答案】(0,2)

2

【详解】设方程的两根为x1,x2，由韦达定理得x1x2m2m.

方程有一正根一负根，

2

∵x1x20，即m2m0，解得0m2，

∴实数m的取值范围是(0,2).

∴故答案为：(0,2).

5．方程x2k2x5k0的两根都大于2，则实数k的取值范围为

【答案】5k4

【详解】令f(x)x2(k2)x5k，由方程x2(k2)x5k0的两根都大于

2，

Δ(k2)24(5k)0k216

得f(2)k50，即k50，解得5k4．

k22k4

2

2

故答案为：5k4

考点五一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

2

1．“k3或k5"是“存在实数x使得不等式xk1x40成立”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分非必条件

【答案】B

【详解】存在实数x使得不等式x2k1x40成立，

(k1)2414k22k150，即(k5)(k3)0，

k3或k5.

由“k3或k5”不能推出“k3或k5”成立，

由“k3或k5”能推出“k3或k5”成立，

2

“k3或k5"是“存在实数x使得不等式xk1x40成立”的必要不充分条件.

故选：B.

4

2．已知关于x的不等式ax22bx40的解集为xmx，其中m0，则b的最小值为（）

m

5

A．-2B．1C．2D．

2

【答案】C

4

【详解】由题意得，a0，方程ax22bx40的两根为m,，

m

4442bm2

m×=,m+=-，a=1,b=--，

mama2m

∴4∴

m0，m£，m2，

m

∵∴

m2m2m2m2

b22，当且仅当，即m2时等号成立，

2m2m2m2m

∴

b的最小值为2.

∴故选：C.

（多选题）3．已知二次函数yax2bxc（a，b，c为常数，且a0）的部分图象如图所示，则（）

A．ab0B．abc0

C．abc0D．不等式bx2axc>0的解集为x2x1

【答案】BCD

【详解】由题设及函数图象知：ya(x1)(x2)a(x2x2)且a0，

所以ba,c2a，则ab0，abc2a30，abc0，A错，B、C对；

bx2axcax2ax2a0，则x2x2(x2)(x1)02x1，D对.

故选：BCD

2

（多选题）4．已知关于x的不等式a3mx2bmx12m0的解集为,11,，则下列结

论正确的是（）

A．a2b1

1

B．m

2

2

C．不等式a1x2bx2m0的解集为2,1

1

D．对满足条件的任意m，不等式m2m恒成立，则1t0

t

【答案】ACD

2

【详解】因为关于x的不等式a3mx2bmx12m0的解集为,11,，

所以a3m0，且方程a3mx22bmx12m0的两根为1和1，

2bm

11

a3m

所以，解得2bm0,a3m2m1,

12m

11

a3m

所以2bma3m2m1，解得a2b1，故A正确；

由a3m2m10，可得m1，故B错误；

2

a1x22bx2m0，即为mx2mx2m0m0，

即x2x20，即x2x10，解得2x1，故C正确；

122

由B选项可得m，设um，则muu，

22

222

则m2mu2uu11在u,1上单调递减，在u1,上单调递增，

2

2

所以m2mu22uu111.

1

因为不等式m2m恒成立，

t

1

所以1，解得1t0，故D正确.

t

故选:ACD.

5．函数ymx24mx3

(1)当y0恒成立时，求实数m的取值范围；

22

(2)当y0时方程有两个实数根x1,x2，且x1x23x1x20，求实数m的取值范围

(3)若mm0m1,mx24mx32x6m恒成立，求实数x的取值范围

3

【答案】(1)0,；

4

15

(2)m或m0；

16

(3)x.

【详解】（1）当m0时，f(x)30恒成立；

3

当m0时，fx0恒成立，则16m212m0，解得0m；

4

当m0时，fx0显然不恒成立.

3

综上，m的取值范围是0,.

4

3

（2）由fx0有两个实数根，所以m0，且16m212m0，解得m或m0，所以

4

3

xx4,xx，

1212m

21515

因为x2x23xx0，即xx5xx0，则160，解得m或m0，

12121212m16

15

综上，m或m0.

16

（3）若mm0m1,mx24mx32x6m恒成立，

x24x6m32x0对mm0m1恒成立，

3

0(x24x6)32x0x

则，即x为

22.

1(x4x6)32x0

3x1

考点六恒成立问题

1．若不等式mx2mx42x22x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（）

A．2,2B．14,2C．,22,D．14,2

【答案】D

【详解】mx2mx42x22xm2x2m2x40，

因为不等式对于任意x均成立，

所以当m2时，40，符合题意；

m20m2

当m2时，则2，解得m14,2，

Δ0m216m20

综上所述，m14,2，

故选：D．

2．当xR时，一元二次不等式kx2kx10恒成立，则k的取值范围是（）

A．0k4B．k4C．0k4D．k0或k4

【答案】A

【详解】由一元二次不等式kx2kx10，可得k0，

k0

从而2，解得：0k4.

k4k0

故选：A.

1

3．任意x1,1，使得不等式x2xm恒成立.则实数m取值范围是（）

2

1115

A．mB．mC．mD．m

2422

【答案】B

1

【详解】因为对任意x1,1，不等式x2xm恒成立.

2

21

所以xxm，其中x1,1，

2min

2

212111

设yxx，x1,1，因为yxxx，

2224

111

所以当x时，函数yx2x，x1,1取最小值，最小值为，

224

1

所以m，

4

故选：B.

4．已知函数ymx2m1xm1的值恒为正数，则实数m的取值范围是．

【答案】m1

【详解】二次函数的值恒大于0，

所以不等式∵mx2(m1)x(m1)0的解集为R，故实数m满足：

m0

2，解得m1.

(m1)4m(m1)0

当m1时，这个二次函数的值恒大0.

∴故答案为：m1.

1

5．若x[,2]，不等式x2ax10恒成立，则a的取值范围为．

2

5

【答案】(,)

2

11

【详解】由x[,2]时，x2ax10恒成立，即ax恒成立，

2x

1111

对于g(x)x(x[,2])，有x2x2，当且仅当x1时取等号，

x2xx

111515

又g(x)在[,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，且g()2，g(2)2，

222222

55

g(x)，故a的取值范围是(,).

max22

5

故答案为：(,)

2

考点七一元二次不等式的实际应用

1．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东45方向600km处的热带风暴中心正以20km/h

的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心450km以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟

应在（）

A．13:40B．13:45C．13:50D．13:55

【答案】A

【详解】如图，设风暴中心最初在A处，经th后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到

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热带风暴的影响，则OB450，所以OC2BC2450，即600cos45600sin4520t450，两边

15(221)15(221)

平方并化简，整理得4t21202t15750，解得t13.7或t28.7（舍去）.所以

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进港避风的时间最迟应在13点40分.

2．用一条长为16cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为xcm（长大于宽），要使矩形的面积大于12cm2，

则实数x的取值范围是（）

A．{x∣2x6}B．{x∣4x8}C．{x∣2x8}D．{x∣4x6}

【答案】D