2021-2022学年高中数学北师大版选修2-3同步课件：第二章　§6　正态分布

*§6

正态分布课标阐释思维脉络1.了解正态曲线和正态分布的概念.2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围内的概率.

曲线,简称正态曲线.正态分布完全由参数μ和σ确定,常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,记作X~N(μ,σ2),那么X的均值

EX=μ,方差DX=σ2(σ>0).2.正态曲线的性质(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交.(2)曲线关于直线x=μ对称.(4)曲线与x轴之间的面积是1.知识梳理

3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%;P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.4%;P(μ-3σ<X<μ+3σ)=99.7%.通常服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X在区间(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有0.3%.名师点拨1.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此可把正态分布记作N(μ,σ2).2.要正确理解μ,σ的含义.若X~N(μ,σ2),则EX=μ,DX=σ2,即μ为随机变量X取值的均值,σ2为其方差.3.若X是一个服从正态分布的随机变量,则对任意的常数a>0及b,随机变量aX+b也服从正态分布.【做一做1】

若随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ≤c)=P(ξ>c),则c的值为(

)

A.0 B.μ C.-μ D.σ解析由正态分布密度曲线的性质知:曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,其概率为图像与x轴以及垂直于x轴的直线所围成的图形的面积,则有c=μ.答案B答案:B思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)标准正态分布的均值与标准差分别为0和1.(

)(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.(

)(3)如果一个随机变量是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,那么它就服从或近似服从正态分布.(

)(4)把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的曲线C2,以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2.(

)答案(1)√

(2)√

(3)√

(4)×探究一探究二探究三思维辨析

【例1】

下图中分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误差分布的正态密度曲线,则下列说法不正确的是(

)A.三种品牌的石英钟时间误差的均值相等B.时间误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C.时间误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D.三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解析正态曲线中的参数μ,σ分别表示随机变量的均值和标准差.由图像可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同,故它们的时间误差的均值相等,A正确,B错误;再根据图像的扁平与尖陡情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙,这也说明甲品牌偏离均值的离散程度较小,所以甲品牌的质量最好,故C,D正确.答案B当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟

利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图像可求μ.且①当σ一定时,曲线随μ的变化沿x轴平移;②当μ一定时,曲线形状由σ确定:σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越分散.(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦.当堂检测变式训练

1如图为μ=0,σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的正态曲线,则σ1,σ2,σ3的大小关系是(

)A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析答案:D当堂检测探究一探究二探究三思维辨析【例2】在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学中成绩在80~85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人.分析本题主要考查正态分布及其应用,解题关键是要记住正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率,将所给问题转化为上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解依题意,由80~85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数,再求90分以上同学的人数.∵成绩服从正态分布N(80,52),∴μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85.于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.3%.由正态曲线的对称性知,成绩在(80,85]内的同学占全班同学的设该班有x名同学,则x·34.15%=17,解得x≈50.又μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,当堂检测探究一探究二探究三思维辨析∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.4%.∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.7%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%-47.7%=2.3%.即有50×2.3%≈1(人),即成绩在90分以上的同学仅有1人.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟

服从正态分布的概率的求法(1)正态分布完全由参数μ和σ确定,其中μ是随机变量取值的均值,可用样本均值去估计,σ是随机变量取值的标准差,可以用样本标准差去估计.(2)求正态总体X在某区间内取值的概率(即正态曲线与x轴之间在这个区间上的面积)的基本方法.①利用正态分布的三个常数数据,把所求的问题转化为X落在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%求解.②充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质.正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于直线x=μ对称的区间上概率相等.在利用对称性转化区间时,要注意区间是关于直线x=μ对称,而不是关于x=0(μ≠0时)对称.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练2设X~N(1,22),试求:(1)P(-1<X<3);(2)P(3<X<5);(3)P(X≥5).解:∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1<X<3)=P(1-2<X<1+2)=P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析【例3】有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布,即X~N(20,4).若这批零件共有5000个.试求:(1)这批零件中尺寸在18mm~22mm间的零件所占的百分比.(2)若规定尺寸在24mm~26mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个?分析解答此题需先确定μ,σ以及所给区间与μ,σ之间的关系.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2.∴μ-σ=18,μ+σ=22.于是零件尺寸X在18

mm~22

mm间的零件所占百分比大约是68.3%.(2)∵μ-3σ=20-3×2=14,μ+3σ=20+3×2=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,∴零件尺寸X在14

mm~26

mm间的百分比大约是99.7%,而零件尺寸在16

mm~24

mm间的百分比大约是95.4%.∴零件尺寸在24

mm~26

mm间的百分比大约是

=2.15%.因此尺寸在24

mm~26

mm间的大约有5

000×2.15%≈108(个).当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.在实际应用题中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称为3σ原则.2.正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间以外取值的概率只有0.3%,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,这是统计中常用的假设检验方法的基本思想.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练3在一次数学考试中,某班学生的分数ξ服从正态分布N(110,202),且满分为150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中,及格(大于90分)的人数和不低于130分的人数.解:因为ξ~N(110,202),所以μ=110,σ=20,所以P(110-20<ξ<110+20)=68.3%,P(ξ>90)=P(ξ≥130)+P(110-20<ξ<110+20)=68.3%+15.85%=84.15%,所以及格的有54×84.15%≈45(人),不低于130分的有54×15.85%≈9(人).当堂检测探究一探究二探究三思维辨析因不注意结合图形而致误【典例】

随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=84.13%,求P(-1<ξ≤0).易错分析对于随机变量ξ~N(μ,σ2),若其以直线x=μ为对称轴,应结合图形,利用对称性求解,否则容易出错.解:如图所示,因为P(ξ≤1)=84.13%,所以P(ξ>1)=1-84.13%=15.87%.所以P(ξ≤-1)=15.87%,所以P(-1<ξ≤0)=50%-15.87%=34.13%.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析纠错心得1.求解时,要注意结合图形对称性,不要错解为P(-1<ξ≤0)=1-P(ξ≤1)=15.87%.2.针对μ=0的正态分布,求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式:(1)P(X<-x0)=1-P(X≤x0);(2)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练佛山某学校的功能室统一使用“佛山照明”的一种灯管,已知这种灯管使用寿命ξ(单位:月)服从正态分布N(μ,σ2),且使用寿命不少于12个月的概率为80%,使用寿命不少于24个月的概率为20%.(1)求这种灯管的平均使用寿命μ;(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管,使用12个月时进行一次检查,将已经损坏的灯管换下(中途不更换),求至少有两支灯管需要更换的概率.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)∵ξ~N(μ,σ2),P(ξ≥12)=80%,P(ξ≥24)=20%,∴P(ξ<12)=20%,显然P(ξ<12)=P(ξ≥24).由正态分布密度函数的对称性可知,即这种灯管的平均使用寿命是18个月.(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1-0.8=0.2,假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支,则η~B(4,0.