高三数学（理）二轮复习课时作业第二部分传统文化训练二

[传统文化训练二]单独成册一、选择题1．(2017·长沙模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.eq\f(17,6)升 B.eq\f(7,2)升C.eq\f(113,66)升 D.eq\f(109,33)升解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝eq\f(3,2)＋eq\f(4,3)＝eq\f(17,6).选A.答案：A2．(2017·沈阳模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(modm)，例如11≡2(mod3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于()A．21 B．22C．23 D．24解析：当n＝21时，21被3整除，执行否．当n＝22时，22除以3余1，执行否；当n＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n＝23.故选C.答案：C3．(2017·南昌模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有________钱．()A．28 B．32C．56 D．70解析：设甲、乙、丙三人各持有x，y，z钱，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y＋z,2)＝90,y＋\f(x＋z,2)＝70,z＋\f(x＋y,2)＝56))，解方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝72,y＝32,z＝4))，所以乙手上有32钱．答案：B4．(2017·石家庄模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A－BCD中，AB⊥平面BCD.且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是()解析：如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD.设AB＝BD＝CD＝1，则eq\f(CP,AC)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(PQ,1)，即PQ＝eq\f(x,\r(3))，又eq\f(QR,1)＝eq\f(BQ,BC)＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以QR＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以PR＝eq\r(PQ2＋QR2)＝eq\r(\f(x,\r(3))2＋\f(\r(3)－x,\r(3))2)＝eq\f(\r(3),3)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)，所以f(x)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)＝eq\f(\r(6),6)eq\r(x－\f(\r(3),2)2＋\f(3,4))，故选A.答案：A5．欧拉公式eix＝cosx＋isinx是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数eeq\f(π,4)i·eeq\f(3π,4)i＋(1＋i)2的虚部是()A．－1 B．1C．－2 D．2解析：依题意得，eeq\f(π,4)i·eeq\f(3π,4)i＋(1＋i)2＝(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))＋2i＝－1＋2i，其虚部是2，选D.答案：D6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：程序运行如下：n＝1，a＝5＋eq\f(5,2)＝eq\f(15,2)，b＝4，a＞b，继续循环；n＝2，a＝eq\f(15,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(15,2)＝eq\f(45,4)，b＝8，a＞b，继续循环；n＝3，a＝eq\f(45,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(45,4)＝eq\f(135,8)，b＝16，a＞b，继续循环；n＝4，a＝eq\f(135,8)＋eq\f(1,2)×eq\f(135,8)＝eq\f(405,16)，b＝32，此时，a＜b.输出n＝4，故选C.答案：C7．(2017·衡水中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？()A．12日 B．16日C．8日 D．9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为an＝103＋13(n－1)＝13n＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为bn＝97－eq\f(1,2)(n－1)＝－eq\f(1,2)n＋eq\f(195,2)，二马相逢时所走路程之和为2×1125＝2250，所以eq\f(na1＋an,2)＋eq\f(nb1＋bn,2)＝2250，即eq\f(n103＋13n＋90,2)＋eq\f(n97－\f(1,2)n＋\f(195,2),2)＝2250，化简得n2＋31n－360＝0，解得n＝9或n＝－40(舍去)，故选D.答案：D8．埃及数学中有一个独特现象：除eq\f(2,3)用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的eq\f(1,2)，不够，若每人分得一个面包的eq\f(1,3)，还余eq\f(1,3)，再将这eq\f(1,3)分成5份，每人分得eq\f(1,15)，这样每人分得eq\f(1,3)＋eq\f(1,15).形如eq\f(2,n)(n＝5,7,9,11，…)的分数的分解：eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)，eq\f(2,7)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,28)，eq\f(2,9)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,45)，按此规律，eq\f(2,n)＝()A.eq\f(2,n＋1)＋eq\f(2,nn＋1)B.eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,nn＋1)C.eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,nn＋2)D.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋12n＋3)解析：根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即eq\f(2,n)＝eq\f(1,\f(n＋1,2))＋eq\f(1,\f(nn＋1,2))＝eq\f(2,n＋1)＋eq\f(2,nn＋1).故选A.答案：A二、填空题9．某同学想求斐波那契数列0,1,1,2，…(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项和，他设计了一个程序框图，则满足条件的整数P的值为________．解析：由题意，第1次循环：a＝0，b＝1，i＝3，S＝0＋1＝1，求出第3项c＝1，求出前3项和S＝0＋1＋1＝2，a＝1，b＝1，满足条件，i＝4，执行循环体；第2次循环：求出第4项c＝1＋1＝2，求出前4项和S＝0＋1＋1＋2＝4，a＝1，b＝2，满足条件，i＝5，执行循环体，……第8次循环：求出第10项c，求出前10项和S，此时i＝10，由题意不满足条件，跳出循环，输出S的值，故判断框内应为“i≤9？”，所以P的值为9.答案：910．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.解析：由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)－1))n2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)－2))n，于是N(n,24)＝11n2－10n，故N(10,24)＝11×102－10×10＝1000.答案：100011．(2017·贵阳模拟)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m＝5280，n＝12155，则输出的m的值为________．解析：法一：依题意，当输入m＝5280，n＝12155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m除以n的余数r＝5280，m＝12155，n＝5280，r≠0；进行第二次循环时，m除以n的余数r＝1595，m＝5280，n＝1595，r≠0；进行第三次循环时，m除以n的余数r＝495，m＝1595，n＝495，r≠0；进行第四次循环时，m除以n的余数r＝110，m＝495，n＝110，r≠0；进行第五次循环时，m除以n的余数r＝55，m＝110，n＝55，r≠0；进行第六次循环时，m除以n的余数r＝0，m＝55，n＝0，r＝0，此时结束循环，输出的m的值为55.法二：依题意，注意到5280＝25×3×5×11,12155＝5×11×221，因此5280与12155的最大公因子是55，即输出的m的值为55.答案：5512．(2017·合肥模拟)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放